Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2007 - 2008 môn: Toán

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: Tìm để có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức . Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên. Bài 2: (4,0 điểm) Cho phương trình ( là tham số). Với giá trị nào của thì phương trình đã cho có hai nghiệm và sao cho . Với giá trị nào của thì phương trình đã cho có hai nghiệm và sao cho Bài 3: (3,0 điểm) Cho bốn số thực bất kì . Chứng minh: Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức có giá trị lớn nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó. Bài 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M là trung điểm của CD. Hỏi M di chuyển trên đường nào ? Nêu cách dựng đường này và giới hạn của nó. Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K. Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 5: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương. Tớnh số cỏc ụ nhỏ nhất phải quột sơn trờn một bảng để cho bất kỡ vựng nào đú trờn bảng này cũng chứa ớt nhất 4 ụ đó quột sơn. Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2007 - 2008 Môn : toán Đáp án và thang điểm: Bài Cõu Nội dung Điểm 1 (4 điểm) 1.1 (2 đ) Để A có nghĩa, trước hết . Đặt Để biểu thức A có nghĩa thì: (*) Khi đó, rút gọn ta được: 1,0 0,5 0,5 1.2 (2 đ) Để A là số nguyên thì x nguyên và phải bằng hoặc . - Nếu ( loại vì trái điều kiện (*)). - Nếu (loại) - Nếu và - Nếu và Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì và . 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (4 điểm) 2.1 Để phương trình có hai nghiệm thì: (1) 0,5 Với điều kiện (1), và (thỏa điều kiện (1) và đều khác -2 và khác 3) 0,5 0,5 0,5 2.2 Với điều kiện (1), (2) 0,5 + Nếu và cùng dấu thì 0,5 hoặc (3) 0,25  Khi đó (2) (thỏa điều kiện (3)). 0,25 + Nếu và trái dấu thì (4) Khi đó (2) (không thỏa điều kiện (4). 0,5 + Vậy, để thì 3 (3,0 điểm) 3.1 Ta có: : đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kì. Vậy: Dấu đẳng thức xảy ra khi hay 0,5 0,5 0,5 3.2 áp dụng kết quả trên, ta có: nên khi 1,0 0,5 4 (6,0 điểm) 4.1 + Ta có: Tam giác ACD cân tại A (gt) nên (Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD) + Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI //BD (đường trung bình của tam giác BCD), nên: ( không đổi). +Do đó: M chạy trên cung tròn nhìn đoạn IC dưới góc không đổi. 0,5 0,5 1,0  + Dựng tia OI cắt đường tròn (O) tại N, ta có: . + Dựng tia , dựng đường thẳng qua I và vuông góc với cắt trung trực đoạn IC tại O1. Đường tròn tâm O1 và đi qua C là đường cần dựng. + Khi A chạy trên cung lớn BC tới trùng với A thì D trùng với trên tiếp tuyến Bt của (O) và BD0 = BC , khi đó M trùng với M0 là trung điểm của CD0. + Vậy M chỉ di chuyển trên cung lớn CM0 của đường tròn (O1). 0,5 0,5 0,5 0,5 4.2 + Gọi là khoảng cách từ K đến AB, ta có: . + Suy ra: (1) + Tương tự: Đặt , ta có: (1) Do đó: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 5 (3,0 điểm) 5.1 Để và là hai số chính phương và Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: Từ suy ra Thay vào , ta được . Vậy với thì và là hai số chính phương 0,5 0,5 0,5  5.2 + Dọc theo chiều ngang sát sát cạnh trên của bảng có 3 vùng ở 3 vị trí . Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô, ta có thêm 3 vùng . Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô nữa, ta có thêm 3 vùng . Do đó có 9 vùng con của bảng , mỗi vùng con đều chứa 5 ô vuông con thuộc hình chữ thập đã tô màu. 0,75 + Nếu chỉ quét sơn như hình vẽ bên thì mỗi vùng con đều chứa 4 hoặc 5 ô được quét sơn. Vậy: Để mỗi vùng con của bảng chứa ít nhất 4 ô được quét sơn, thì chỉ cần quét số ô nhỏ nhất là 7 ô như hình vẽ bên. 0,75