Kỳ thi chọn HSG lớp 12 THPT năm học 2008-2009 đề thi môn toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1. Giải phương trình: Câu 2. Giải hệ phương trình: Câu 3. Tìm tất cả các số thực sao cho phương trình: thoả mãn với mọi R. Câu 4. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7. Các điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AN = BM. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM. Biết diện tích tam giác BOC bằng 2. Tính tỷ số Tính giá trị (kí hiệu là góc) Câu 5. Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . -------------------------Hết----------------------------- Chú ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………SBD: ……………………. SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008-2009 -------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) --------------------------------------------- Câu 1 (2,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm ĐK: 0,25 + Nếu , bình phương hai vế của PT ta được: 0,5 Đặt , ta có PT: . 0,5 Khi đó Trong trường hợp này tìm được 0,5 + Nếu thì : PT vô nghiệm 0,5 Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất . 0,25 Câu 2 (2,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Hệ 0,5 + Nếu thì (1) trở thành: . Thử lại không thoả mãn hệ 0,25 + Nếu thì (1) trở thành: 0,5 Kết hợp với PT thứ hai của hệ ban đầu ta có 0,5 Với thì ; Với thì . 0,5 Vậy hệ có hai nghiệm . 0,25 Câu 3 (1,5 điểm): Thay , PT đã cho trở thành: 0,25 Thay vào PT đầu có: 0,25 Tính hệ số của có: 0,25 Thay như trên vào PT đầu có: * Ta có (không xảy ra với mọi R) * Từ (1): 0,5 Vậy các giá trị cần tìm là: và 0,25 Câu 4 (2 điểm). a. 1,0 điểm. Nội dung trình bày Điểm a) Đặt . Suy ra , do đó: 0.25 Ngoài ra: , , 0.25 Do nên: 0.25 Giải PT trên được hay 0.25 b. 1,0 điểm. Nội dung trình bày Điểm Vì nên ta có: . Ta cũng có nên tứ giác AMON nội tiếp. 0.25 Trường hợp 1: . Gọi Q là trung điểm AM đều 0.25 là tâm ngoại tiếp tứ giác AMON và 0.25 Trường hợp 2: Tương tự trên có: 0.25 Câu 5 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Chứng minh được BĐT: (Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki) 0,25 Ta có 0,5 Mặt khác và 0,25 Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . 0,25 ---------------------------------------------