Kỳ thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2005 - 2006 môn: Toán (vòng 1)

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2005 - 2006 Môn : Toán (Vòng 1) Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (8 điểm) Cho phương trình . Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thoả mãn hệ thức . Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của để nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất. Bài 2: (4điểm) Giải phương trình: (2) Bài 3: (8 điểm) Cho tam giác ABC có ( là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó. Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2005 - 2006 Môn : toán (Vòng 1) Đáp án và thang điểm: Bài 1 ý Nội dung Điểm 1. 8,0 1.1 (2,0 điểm) Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, cần và đủ là: 0.5 1.5 1.2 (3,0 điểm) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt (*) 0,50 0,50 0,5 0,5 Ta có: và 0,5 Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán: 0,5 1.3 (3,0 điểm) Phương trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi: 0,50 Khi đó 2 nghiệm của phương trình là: 0,50 Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm dương của phương trình là . Suy ra: 0,50 Theo bất đẳng thức Cô-si: 0,50 Suy ra: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: . 0,5 Vậy nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất là 0,5 2. (4,0 điểm) (2) (3) 0,5 1,0 Giải phương trỡnh theo t, ta cú: (loại); . Suy ra nghiệm của (3) là . 1,0 Giải phương trình Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: 1,0 0,5 3. 8,0 3.1 + Đặt . Ta có: . Suy ra diện tích của MNPQ là: 2,0 + Ta có bất đẳng thức: áp dụng, ta có: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: . Suy ra: . Vậy: khi hay M là trung điểm của cạnh AC. 2,0 3.2 + Giả sử đã dựng được hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'. Dựng hình chữ nhật: E'F'G'H' . Ta có: E'F'//EF và F'G'//FG, nên: . Do đó E'F'G'H' là hình vuông. 1,0 + Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông. 1,0 + Ta có: ; . Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F duy nhất. Trường hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở trên cạnh BC, lý luận tương tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E. Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất. 1,0 + Đặt . Ta có ; EFGH là hình vuông, nên Suy ra diện tích hình vuông EFGH là: 1,0 UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005 Môn : Toán (Vòng 2) Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (7 điểm) Giải hệ phương trình: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức: Thì Bài 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau. A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia ? Bài 3: (7 điểm) Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Đường tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD. Đường tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O1). Tính bán kính của các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R. Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005 Môn : toán (Vòng 2) Đáp án và thang điểm: Bài ý Nội dung Điểm 1. 7,0 1.1 (4,0 điểm) . Điều kiện để hệ có nghiệm là: (*) 0,5 Với điều kiện (*), ta có: 1,0 (vì nên ). 1,0 Thay vào (a): vì . So với điều kiện (*), ta có: . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : 1,5 1.2 (3,0 điểm) Điều kiện: 0,50 Ta có 0,50 Suy ra: Do đó: 1,0 1,0 2. 6,0 2.1 (4,0 điểm) Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng 0,5 , nên k chỉ gồm 2 chữ số: . 1,0 Nếu y lẻ: . Khi đó có chữ số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của phải là số chẵn khác với 1; 5; 9, do đó S không thể là . 1,0 Nếu y chẵn: Với y = 0: chỉ có thể là 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả điều kiện bài toán. Với y = 2: . Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng chục của k2 mới là 4, suy ra . Với y = 4; 6: , khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là . Với y = 8: y2 = 64; , khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì chữ số hàng chục của k2 mới bằng 4, suy ra hoặc (không thoả điều kiện bài toán). Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh và diện tích . 0,5 0,5 0,5 2.2 (2,0 điểm) Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C: Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu như thế thì C là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C là phái nữ. Mặt khác, con gái của B không thể là C nên phải là A, do đó A là phái nữ. Vậy B khác giới tính với hai người còn lại là A và C (cùng là phái nữ). 1,0 Nếu C là cha của A thì C chỉ có thể là song sinh với B, theo giả thiết B phải là phái nữ. Mặt khác, con gái của B không thể là C (gt) nên phải là A, suy ra C và B là vợ chồng chứ không phải là song sinh, dẫn đến mâu thuẫn. 0,5 Vậy chỉ có duy nhất trường hợp B là cha của A và B khác giới tính với hai người còn lại là A và C (cùng là phái nữ). 0,5 3. 7,0 + Gọi là độ dài bán kính đường tròn (O1). Ta có: 1,0 + Đường tròn (O2) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O2 ở trên tia phân giác của góc , (O2) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở trên đường thẳng nối 2 tâm O và O2, chính là giao điểm của tia phân giác góc với (O). + Đường thẳng qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B' và D' là tiếp tuyến chung của (O) và (O2). Do đó (O2) là đường tròn nội tiếp . + có phân giác góc O vừa là đường cao, nên nó là tam giác vuông cân và , suy ra: . + Vậy: Bán kính của (O2) cũng bằng . 2,0 + Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với nhau qua AB nên (O3) cũng bằng (O2), nên bán kính của (O3) cũng bằng . 1,0 + Đường tròn (O4) có hai trường hợp: a) Trường hợp 1: (O4) ở bên trái (O1): Kẻ tiếp chung của (O4) và (O1) tại tiếp điểm K cắt AC và AD tại E và F. CO và CA là còn là 2 tiếp tuyến của (O1), nên chu vi của bằng 2CO, suy ra nửa chu vi của nó là p = R. Ta có: . Suy ra bán kính của đường tròn (O4) là: 2,0 b) Trường hợp 2: (O'4) ở bên phải (O1): Khi đó: K' là tiếp điểm của 2 đường tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD tại E' và F', CD tiếp xúc với (O'4) tại H. Suy ra: Bán kính của đường tròn (O'4) là: 2,0