Kỳ thi thử chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2008 – 2009 môn toán lớp 12

TRƯỜNG THPT CAO LÃNH 2 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TỔ TOÁN Độc lập – Tự do – Hạnh phúc KỲ THI THỬ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Ngày thi: 9/11/2008 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3.0 điểm) 1. Giải phương trình: (1) 2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 2: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho (không đổi).Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. Bài 3: (3.0 điểm) 1.Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : 2. Chứng minh rằng: chia hết cho 8. Bài 4: (3.0 điểm): Cho dãy số (Un) xác định bởi: trong đó -1 <a < 0 1. Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với và (Un) là một dãy số giảm. 2. Tìm Lim Un Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: Bài 6: (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. Bài 7: (3.0 điểm) 1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu: Chúng được mắc song song. Chúng được mắc nối tiếp. -Hết- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Điểm ĐÁP ÁN 3.0 Bài 1: 1.5 Bài 1.1. Giải phương trình: (1) 0.5 (1) Û Û Û 0.5 Û Û Û 0.5 Û , k Î Z. Vậy phương trình có 1 họ nghiệm là: , k Î Z. 1.5 Bài 1.2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: Chứng minh tam giác ABC đều. 0.5 Trong mọi tam giác nhọn ta luôn có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (1) Đặt thì từ (1) ta có: x + y + z = 1 (2) Mặt khác: 0.5 Tương tự: và Giả thiết bài toán trở thành Theo bất đẳng thức Cauchy: 0.5 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó tgA = tgB = tgC hay DABC đều (đpcm). 3.0 Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho (không đổi).Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. 0.5 0.5 Kẻ đường phân giác trong của góc BAC là At. Do A,B, C cố định => At cố định. Gọi I là giao điểm của At với MN. Ta có: SDAMN = SDAMI + SDANI 0.5 0.5 (không đổi) 0.5 (không đổi) => I cố định và I Î MN 0.5 Vậy đường thẳng MN qua 1 điểm cố định I. 3.0 Bài 3: 1.5 Bài 3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 0.5 0.5 Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đc Dấu xảy ra 0.5 Từ phương trình: ( phương trình ước số ; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra ) Đáp số : nghiệm phương trình là 1.5 Bài 3.2. Chứng minh rằng: chia hết cho 8. 0.5 Ta có: 0.5 (M, N là các đa thức) 0.5 vì 2008 chia hết cho 8 (đccm) 3.0 Bài 4: 1.5 Bài 4.1. Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 (2) với và (Un) là một dãy số giảm. 0.5 CM bằng quy nạp: - với n = 1 thì U1 = a theo giả thiết - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1. - Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < Un < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1. 0.5 Từ (2) ta có: 0 < Un + 1 < 1 (*) Do đó và tức là: - 1 < Un+1 < 0 Vì - 1 < Un < 0 nên Un + 1 và với 0.5 Từ (1) suy ra: Vậy Un là dãy giảm. 1.5 Bài 4.2. Tìm lim Un 0.5 Đặt ta có: 0 0 và 0.5 Ta có: 0.5 Vì Lim (a + 1). qn - 1 = (a + 1). Lim qn - 1 nên Lim Vn = 0 Hay Lim Un = - 1 Câu hỏi thêm của bài này: CMR : Từ đẳng thức (1) suy ra: Vì Un là dãy giảm; -1 < Un < 0 với mọi n và U1 = a nên: với từ đó suy ra: Do đó: và từ (3) ta có: Theo chứng minh trên ta có: 2.0 Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau 0.5 Ta có: 0.5 Mặt khác: 0.5 Nên Do 0.5 Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c 3.0 Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1.5 6.1. Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 0.5 A E B K H F D C 0.5 Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ^ EF , H Î EF . D DFC = D DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC ) CF = CK . Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK . 0.5 Do đó D CEF = D CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau . CH không đổi, C cố định, CH ^ EF Þ EF luôn tiếp xúc với đ tròn cố định ( C , a ) 1.5 6.2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. 0.5 D HCF = D DCF ( H = D = 900  ; CF chung ; CH = CD = a ) Þ SHCF = SDCF Chứng minh tương tự ta có: SHCE = 1/2SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE 0.5 Þ SCEF = SCDFEB Þ SCEF = 1/2 ( a2 – SAEF ) SAEF ³ 0 Þ SCEF £ 1/2 a2 . Dấu “=“ xảy ra “Û SAEF = 0 0.5 Û E º B , F º A hoặc E º A , F º D . Vậy E º B , F º A hoặc E º A , F º D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất . 3.0 Bài 7: 1.5 7.1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 1.5 Kết quả: 14406 1.5 7.2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu: a. Chúng được mắc song song. Chúng được mắc nối tiếp. 1.5 Kết quả: P=0,02 P=0,28 Chú ý: Nếu học sinh có lời giải đúng và hợp lôgic thì vẫn chấm điểm tối đa. làm tròn điểm bài thi theo quy định.