Ký thi tót nghiệ›p THCS môn Toán

Trần Mậu Quý - SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 28 tháng 5 năm 1997 Đề chính thức Môn thi: TOÁN (120 phút, không kể thời gian phát đề) A. LÝ THUYẾT (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau Đề 1: a) Định nghĩa hệ phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương của hệ phương trình. b) Giải hệ phương trình { 2x+ y = 9 x− y = 24 . Đề 2: a) Viết công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (có ghi chú các ký hiệu trong công thức). b) Áp dụng: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 3cm, BC = 4cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ được tạo thành khi cho hình chữ nhật quay quanh AB. B. BÀI TOÁN (Bắt buộc) Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức N = n+ 2 + √ n2 − 4 n+ 2−√n2 − 4 + n+ 2−√n2 − 4 n+ 2 + √ n2 − 4 với n ≥ 2 hoặc n ≤ −2. Bài 2. (2,5 điểm) Để làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc vuông của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng 25 diện tích đáy hộp ? Bài 3. (4,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Qua A vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC tại M và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại K (K 6= A). a) Chứng minh các tam giác AKC và ACM là đồng dạng. b) Chứng minh hệ thức AB2 = AK.AM . c) Cho biết B̂AC = 300, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R. Tính diện tích tam giác ABC theo R. ——————————Hết—————————— Trần Mậu Quý - BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ————— NĂM HỌC 1999 - 2000 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (150 phút, không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4,0 điểm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (G) của hàm số y = 12x− 1 + 1x−1 . 2. Dựa vào đồ thị (G), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 2 x− 1 + 1 x− 1 = m. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (G), trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 4. Bài 2. (2,0 điểm) 1. Cho hàm số f(x) = x−12 cos 2 x. Hãy tính đạo hàm f ′(x) và giải phương trình f(x)− (x− 1)f ′(x) = 0. 2. Có 5 tem thư khác nhau và 6 phong bì cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 phong bì đã được chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách dán như vậy? Bài 3. (2,0 điểm) Trên mặt phẳng Oxy, cho hyperbol (H) có phương trình (H) : 4x2 − 5y2 = 36. 1. Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của (H). 2. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua M(7 √ 3 2 ; 3) và có chung các tiêu điểm với (H). Bài 4. (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P ) và mặt cầu (S) có phương trình tương ứng là (P ) : 2x− 3y + 4z = 0, (S) : x2 + y2 + z2 + 3x+ 4y − 5z + 6 = 0. 1. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). 2. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ). Suy ra mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r và tọa độ tâm H của đường tròn (C). ——————————Hết—————————— Trần Mậu Quý - BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:..................................... ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh: ............................................. KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2000 Đề thi chính thức môn TOÁN - Khối A - Chưa phân ban Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) CÂU I. Cho hàm số f xác định bởi f(x) = { x2 sin 1x nếu x 6= 0 0 nếu x = 0 1. Tính đạo hàm của f tại mỗi x ∈ R. 2. Chứng tỏ rằng đạo hàm f ′ không liên tục tại x = 0. CÂU II. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x− 1x+1 . 2. Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 3. Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau. CÂU III. 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng x = 1− t y = t z = 4t  x = 2− t y = 4 + 2t z = 1 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 1, x = e, y = 0, và y = √ 1 + ln x x CÂU IV. 1. Giải và biện luận phương trình √ x−√x− 1 = a, với a là tham số. 2. Giải phương trình √ 3− cosx−√cosx = 1 = 2. CÂU IV. Cho SABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. 1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2. Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). —————————————————————— Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trần Mậu Quý - BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CHÍNH QUY ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KỲ THI NGÀY 11 - 12 THÁNG 7 NĂM 2000 Môn TOÁN - Khối A. Thời gian: 180 phút. Họ và tên thí sinh:...................................................................Số báo danh:....................... PHẦN I. Chung cho mọi thí sinh Câu I. Cho hàm số y = x 2+mx−m−1 x+1 (Cm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = −1. 2. Chứng minh rằng họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố định. 3. Tìm m để hàm số có cực trị. Xác định tập hợp các điểm cực trị. Câu II. 1. Giải phương trình sin2000 x+ cos2000 x = 1. 2. Giải bất phương trình |1 + logx 2000| < 2. 3. Chứng minh bất đẳng thức 1√ 2 ≤ 1√ 2∫ 0 dx√ 1−x2000 ≤ pi 4 . Câu III. Trong không gian, cho bốn điểm A(−4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2;−1) và D(7;−2; 3). 1. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D nằm trên cùng một mặt phẳng. 2. Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. 3. Tìm trên đường thẳng AB điểm M sao cho tổng MC +MD là nhỏ nhất. PHẦN II. Câu IVa. (Dành cho thí sinh đăng thi chương trình chưa phân ban) Tính tích phân pi 2∫ pi 4 sinx− cosx sinx+ cosx dx. Câu IVb. (Dành cho thí sinh đăng thi chương trình chuyên ban) Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau? —————————————————————— Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ®¹i häc huÕ Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................... Sè b¸o danh:........................ Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2007 M«n thi: Gi¶i tÝch (Dµnh cho Cao häc) Thêi gian lµm bµi: 180phót C©u I. a. T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm : ∞∑ n=1 1 n lnn x . b. Kh¶o s¸t sù héi tô ®Òu cña chuçi hµm ∞∑ n=1 1 (x+ n)(x+ n+ 1) trªn miÒn (0;+∞). c. TÝnh tÝch ph©n: ∫∫ D (x2 + y2)dxdy trong ®ã: D = {(x; y) ∈ R2/2ax 6 x2 + y2 6 2bx}, 0 < a < b. C©u II. Cho X lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c tËp con compact kh¸c ∅ cña R. a. Víi mäi x ∈ R, ®Æt d(x,A) = inf{|x − y| : y ∈ A}. Chøng minh r»ng, víi mäi x ∈ R, A ∈ X , tån t¹i x0 ∈ A sao cho |x− x0| = d(x,A). b. Gäi d : X ×X → R lµ ¸nh x¹ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: d(A,B) := inf{δ : A ⊂ Bδ, B ⊂ Aδ}, trong ®ã, Aδ = {x ∈ R : d(x,A) 6 δ}. Chøng minh r»ng d lµ mét metric trªn X . C©u III. Ký hiÖu X = C[0,2] lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm sè liªn tôc trªn [0, 2] víi chuÈn: ‖x‖ = max{|x(t)| : t ∈ [0, 2]} vµ kh«ng gian con Y = x ∈ X : x(0) = 0 cña X . Cho ¸nh x¹ A : X → Y, x 7→ Ax x¸c ®Þnh bëi: Ax(t) = t∫ 0 x(s)ds; t ∈ [0, 2] a. Chøng minh r»ng A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ X vµo Y . b. TÝnh ‖A‖. ¸nh x¹ A cã ph¶i lµ mét toµn ¸nh kh«ng ? C©u IV. Cho kh«ng gian Hilbert phøc H vµ tËp hîp {φn|n ∈ N} ⊂ H tháa m·n ‖φn‖ = 1 víi mäi n ∈ N vµ sao cho víi mäi f ∈ H , ta cã: ‖f‖2 = ∞∑ n=1 |〈f, φn〉|2. Chøng minh r»ng: a. {φn|n ∈ N} lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña H . b. D·y (φn)n∈N héi tô yÕu ®Õn 0. Trần Mậu Quý - bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ®¹i häc huÕ Hä vµ tªn thÝ sinh:..................................... Sè b¸o danh:........................ Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2007 M«n thi: ®¹i sè (Dµnh cho Cao häc) Thêi gian lµm bµi: 180phót C©u I. 1. Cho x1, x2, . . . , xn lµ c¸c vect¬ kh¸c kh«ng cña mét kh«ng gian vect¬ vµ A lµ mét phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian vect¬ ®ã sao cho: Ax1 = x1, Axk = xk + xk−1, k = 2, 3, . . . , n. Chøng minh r»ng c¸c vect¬ x1, x2, . . . , xn ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 2. Cho B lµ ma trËn vu«ng cÊp n x¸c ®Þnh trªn tr−êng F sao cho Bk = 0, víi k lµ mét sè tù nhiªn nµo ®ã. T×m (En −B)−1, trong ®ã En lµ ma trËn vu«ng ®¬n vÞ cÊp n. 3. TÝnh ( 0 1 −1 0 )2000 víi ( 0 1 −1 0 ) lµ ma trËn x¸c ®Þnh trªn tr−êng F . C©u II. 1. Cho ϕ vµ ψ lµ hai tù ®ång cÊu cña mét kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu trªn tr−êng sè phøc C sao cho ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ. Chøng minh r»ng ϕ vµ ψ cã chung mét vect¬ riªng. 2. Cho E lµ mét kh«ng gian vect¬ Euclid h÷u h¹n chiÒu vµ (v1, v2, . . . , vn) lµ mét hÖ trùc chuÈn trong E. Chøng minh r»ng nÕu víi mäi v ∈ E ta ®Òu cã: |v|2 = n∑ i=1 〈v, vi〉2 th× (v1, v2, . . . , vn) lµ mét c¬ së cña E. C©u III. Cho G lµ mét nhãm nh©n h÷u h¹n sao cho G cã mét tù ®¼ng cÊu ϕ tháa ϕ(a) 6= a,∀a 6= 1G. Chøng minh r»ng: 1. Víi mäi α ∈ G tån t¹i g ∈ G sao cho α = g−1ϕ(g); 2. NÕu ϕ cã cÊp b»ng 2, tøc lµ ϕ 6= id vµ ϕ2 = id, th× ϕ(g) = g−1 víi mäi g ∈ G vµ G lµ mét nhãm aben cã cÊp lµ mét sè lÎ. C©u IV. 1. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n víi ®¬n vÞ 1 6= 0 vµ I lµ mét i®ªan cña R. Chøng minh r»ng víi mçi a ∈ R, tËp con J = {ax + I|x ∈ R} ⊂ R/I lµ mét i®ªan cña R/I sinh bëi a+ I ∈ R/I . Tõ ®ã suy ra r»ng khi I lµ i®ªan tèi ®¹i cña vµnh R th× mäi phÇn tö kh¸c kh«ng cña R/I ®Òu kh¶ nghÞch. 2. Chøng minh r»ng tËp hîp c¸c sè h÷u tû d¹ng m n víi mÉu sè lµ mét sè nguyªn lÎ t¹o thµnh mét miÒn nguyªn chÝnh. Trần Mậu Quý -