Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2011 – 2012 môn: Toán (không chuyên)

SỞ GD-ĐT KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN KHÔNG CHUYÊN NGÀY THI : 21/06/2011 Thời gian : 120 phút Bài 1 (2đ) Đơn giản biểu thức Cho biểu thức Rút gọn P và chứng tỏ P Bài 2 (2đ) Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 có 2 nghiệm x1; x2. Hãy lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm (x12 + 1) và (x22 + 1). Giải hệ phương trình Bài 3(2đ). Quãng đường từ A đến B dài 50 km. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vân tốc không đổi. Khi đi được 2 giờ, người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ. Muốn đến B đúng thời gian đã định, người đi xe đạp phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp. Bài 4 (4đ). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và H là trực tâm. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Giả sử OD = a. Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a. -----------HẾT----------- SỞ GD-ĐT KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN CHUYÊN NGÀY THI : 22/06/2011 Thời gian : 150 phút Bài 1(2đ) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức Cho x, y là các số khác 0 và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Bài 2 (2đ) Giải phương trình Với x, y, z là các số dương, giải hệ phương trình Bài 3. (2đ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn . Chứng minh: . Cho a, b là các số nguyên dương sao cho là 1 số nguyên. Gọi d là ước của số a và b. Chứng minh Bài 4.(3đ) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước) lấy hai điểm M. N (M. N khác A và B) sao cho M thuộc cung và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng . Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R. Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN. Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R. Tìm GTLN của diện tich tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán. Bài 5. (1đ) Cho hình thoi ABCD có . Tia Ax tạo với tia AB một góc và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức -------------------HẾT------------------- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM TOÁN CHUYÊN BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM 1.1 0.25 0.25 0.5 1.2 Ta có x + y = 1 suy ra x3 + y3 + xy = (x+y)(x2 + y2 –xy) + xy = x2 + y2 0.25 0.25 Đẳng thức xảy ra . Vậy nhỏ nhất bằng 0.25 Suy ra lớn nhất bằng 2 0.25 2.1 0.25 Đặt y = . Phương trình trở thành y(y-5) = 24 0.25 0.5 2.2 Hệ đã cho 0.25 Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được Do x, y, z lần lượt là các số dương, suy ra (4) 0.25 Lần lượt chia (4) cho (1), (2), (3) ta được Cộng (5), (6), (7) vế theo vế ta có 2(x + y + z) = 42 x + y + z = 21 (8) 0.25 Lần lượt lấy (8) trừ (5), (6), (7) ta được (thỏa hệ ban đầu). Kết luận. 0.25 3.1 Từ giả thiết a, b, c ta có 0.25 Do đó Tương tự 0.25 Suy ra 0.25 0.25 3.2 0.25 Do 0.25 Nếu d là ước chung của a và b thì a = md; b = nd 0.25 0.25 4.1 Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên đường thẳng MN. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng MN thì 0.5 Xét hình thang AA’B’B có OH là đường trung bình nên 0.5 4.2 Ta có 0.25 Suy ra bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường kính KI 0.25 Vì MN = R nên tam giác OMN đều Gọi O’ là trung điểm của IK thì O’ là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm M, N, I, K và R’ = O’M là bán kính của đường tròn này. 0.25 Do đó 0.25 4.3 Gọi P là giao điểm của IK và AB, do I là trực tâm của tam giác KAB nên , nên KP là đường cao tam giác KAB hạ từ K. Do O, O’ nằm trên trung trực đoạn MN, nên O, O’, H thẳng hàng. Xét tam giác MOO’ có Suy ra 0.25 Tam giác KAB có AB không đổi nên nó có diện tích lớn nhất khi KP lớn nhất Ta có 0.25 Đẳng thức xảy ra khi cân tại Kđều (do ) 0.25 Do đó Kết luận diện tích tam giác KAB lớn nhất bằng khi và chỉ khi MN//AB (hay đều) 0.25 5 Qua A dựng đường thẳng vuông góc Ax, cắt CD tại K. Ta có : 0.25 Xét hai tam giác ADK và ABM có : DA = AB (cạnh hình thoi); (Chứng minh trên và ) 0.25 Gọi AH là đường cao tam giác AKN vuông tại A, ta có 0.25 Mà 0.25