Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long Năm học 2007 - 2008 Môn Toán

sở giáo dục và đào tạo quảng ninh -------ả-------- kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trường thpt chuyên hạ long năm học 2007 - 2008 đề thi chính thức môn : Toán. (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học) Ngày thi : 04/7/2007 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Chữ ký GT 1 : .............................. Chữ ký GT 2 : .............................. (Đề thi này có 01 trang) Bài 1. (2,0 điểm) 1. Cho m = và n = . So sánh m và n ? 2. Cho ba số thực dương thỏa mãn : Rút gọn biểu thức: M = Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình : 2. Cho hai phương trình : x2 + x + k = 0 (1) ; x2 + kx + 1 = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số k để hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung. Bài 3. (2,0 điểm) 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = x và y = - x + 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng khi m thay đổi, điểm M(1 ; m) luôn cách đều hai đường thẳng y = x và y = - x + 2. 2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (x; y; z) thoả mãn: x2 + y2 + z2 = x + y + z. Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R), ba điểm A, B, C thay đổi trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi I và H lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm của tam giác ABC. 1. Tính số đo góc BAC để 5 điểm B, I, O, H, C cùng thuộc một đường tròn. 2. Cho B, C cố định, tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để tam giác ABC có chu vi lớn nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp thì : ------------------------- Hết --------------------------- Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: ....................... sở giáo dục và đào tạo quảng ninh hướng dẫn chấm môn Toán chuyên (đề chính thức) thi tuyển sinh thpt chuyên hạ long năm học 2007-2008. Bài Sơ lược cách giải Cho điểm Bài 1.1 1,0 đ Chứng minh được m2 = n2 nhận xét được m, n > 0, từ đó suy ra m = n. 0,5 đ 0,5 đ Bài 1.2 1,0 đ Từ giả thiết => (a+bc) = (1-b-c+bc) = (1-b)(1-c) Tương tự, có: (b+ca) = (1-c)(1-a); (c+ab) = (1-a)(1-b) Từ đó suy ra M = a + b - Mặt khác từ giả thiết => 0 M = a + b - (1 - c) = a+b+c - 1 = 0 Vậy M = 0 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 2.1 1,0 đ ph/tr đã cho: ú = 1 - x2 ú x + 1 = (1-x2)2 ; 1-x2 ≥ 0 ú x4 - 2x2 - x = 0 ; 1-x2 ≥ 0 ú x(x+1)(x2-x-1) = 0 (1) ; 1-x2 ≥ 0 (*) Giải ph/tr (1), được các nghiệm x = 0; x = -1; x = (1)/2. Thử với điều kiện (*), thấy nghiệm x = (1)/2 không thoả mãn. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x = 0; x = -1 và x = (1)/2. 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 2.2 1,0 đ Giả sử hai ph/tr đã cho có nghiệm chung là x0. khi đó ta có: x02 + kx0 + 1 = 0 (1) ; x02 + x0 + k = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra (k-1)x0 + (1-k) = 0 => k = 1 hoặc x0 = 1. Từ x0 = 1, tìm được k = -2. Thử lại: Với k = 1 => hai phương trình đã cho cùng vô nghiệm. Với k = -2 => hai phương trình đã cho có 1 nghiệm chung là x = 1 Vậy với k = -2 thì hai phương trình đã cho có 1 nghiệm chung. 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 3.1 1,0 đ Trên hệ trục toạ độ Oxy vẽ các đường thẳng d1: y = x và d2: y =2 - x d2 y d3 d1 Tìm được d1 cắt d2 tại I(1;1). Mặt khác khi m thay đổi điểm M luôn thuộc đường thẳng d3: x = 1 Bằng việc tính góc giữa các đường thẳng d1, d2 với Ox suy ra I(1;1) OIK vuông, cân tại I. và d3 // Oy, d3 đi qua I(1;1) => d3 là đường phân giác của góc O K x OIK Từ đó suy ra M(1;m) luôn cách đều hai đường thẳng d1, d2 (đpcm !) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài Sơ lược cách giải Cho điểm Bài 3.2 1,0 đ Ta có: x2 + y2 + z2 = x + y + z (x2 - x) + (y2 - y) + (z2 - z) = 0 (*) Ta sẽ chứng minh: a2 - a ≥ 0 với mọi số nguyên a. Thật vậy: Nếu a > 0 => a ≥ 1 => a2 - a = a(a-1) ≥ 0; Nếu a = 0 thì a2 - a = 0 Nếu a a2 - a = a(a-1) > 0. Ta có đpcm! Khi đó (*)(x2 - x) =(y2 - y)=(z2 - z) = 0 x = 0; 1; y = 0; 1; z = 0; 1 Từ đó suy ra có 8 bộ số nguyên (x; y; z) thoả mãn yêu cầu bài toán là: (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 1; 1) 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 4.1 1,5 đ Tính được éBHC = 1800 - A; éBIC = 900 + (A/2); éBOC = 2A Do đó B; O; I; H; C cùng thuộc một đường tròn A = 600 0,75 đ 0,75 đ Bài 4.2 1,5 đ Kéo dài BA về phía A, lấy AD = AC. Gọi E là điểm chính giữa của cung lớn BC của đường tròn (O;R), chứng minh được ED = EB = EC Do B và C cố định => BC = const, nên chu vi tam giác ABC lớn nhất BD lớn nhất BD = BS A trùng với E. 0,75 đ 0,75 đ Bài 5 1,0 đ Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh AB, BC tại M, N => IM = IN = r. Trong tam giác IMA ta có IA = r/sin(A/2) => IA2 = r2/sin2(A/2). Tương tự, trong tam giác INC có IC2 = r2/sin2(C/2) => 1/IA2 + 1/IC2 = (sin2(A/2) + sin2(C/2))/r2 . Do tứ giác ABCD nội tiếp nên (A/2) + (C/2) = 900 => sin(C/2) = cos(A/2) Từ đó suy ra: 1/IA2 + 1/IC2 = (sin2(A/2) + cos2(A/2))/r2 = 1/r2 Chứng minh tương tự, được: 1/IB2 + 1/ID2 = 1/r2 Suy ra: 1/IA2 + 1/IC2 = 1/IB2 + 1/ID2 (đpcm !) 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Các chú ý khi chấm: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. Trong các phần có liên quan với nhau, nếu học sinh làm sai phần trước thì phần sau liên quan với nó dù làm đúng cũng không cho điểm. Trường hợp sai sót nhỏ có thể cho điểm nhưng phải trừ điểm chỗ sai đó. Không cho điểm lời giải bài hình nếu học sinh không vẽ hình. 2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm. Hình vẽ cho bài 4; 5: