Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo môn: Toán (hệ số 2)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: ( 2 điểm) 1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) sao cho x + y + z > 2 và x2 + y2 = 4 – 2xy; x2 + z2 = 9 – 2xz ; y2 + z2 = 16 – 2yz. 2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì là một số tự nhiên. Bài 2: ( 2 điểm) Cho hai số a, b thỏa: . Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất. Bài 3: ( 2 điểm) 1/ Cho . Chứng minh rằng . 2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương thỏa mãn các đẳng thức và Bài 4: (3 điểm) Cho đường thẳng (d) cố định và điểm A cố định không thuộc (d). Hai điểm B, C thay đổi trên (d) sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. 1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn (O). 2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O). Chứng minh: a/ AM.AN = AE.AB b/ Hai điểm M và N cố định. Bài 5: (1 điểm) Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Chứng minh ABC là tam giác đều. -----------------HẾT------------------ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: ( 2 điểm) 1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) sao cho x + y + z > 2 và x2 + y2 = 4 – 2xy; x2 + z2 = 9 – 2xz ; y2 + z2 = 16 – 2yz. 2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số là một số tự nhiên. Bài 2: (2 điểm) Cho hai số a, b thỏa: . Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất. Bài 3: ( 2 điểm) 1/ Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có: 2/ Tính Bài 4: (3 điểm) Cho đường thẳng (d) cố định và điểm A cố định không thuộc (d). Hai điểm B, C thay đổi trên (d) sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. 1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn (O). 2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O). Chứng minh: a/ AM.AN = AE.AB b/ Hai điểm M và N cố định. Bài 5: (1 điểm) Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH và trung tuyến AI chia góc thành ba phần bằng nhau. -----------------HẾT------------------ Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2010 – 2011 Chuyên Toán Bài Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 (2 đ) 1/ (1,0 đ) Ta có (x + y)2 = 4 x + y = Tương tự: x + z = ; y + z = Vì x + y + z > 2 nên chỉ có thể chọn x + y + z = hoặc x + y + z = * Với x + y + z = và x + y =2; x + z = 3; y + z = 4 Tính được () * Với x + y + z = và x + y = -2; x+ z = 3; y + z = 4 Tính được () 0,25 0,25 0,25 0,25 2/ (1,0 đ) Ta có Vì tử số là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6. Vậy là một số tự nhiên 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2 ( 2 đ) Dễ thấy a. Từ giả thiết ta có : Hay Từ đó a.b nhỏ nhất khi : và Tìm được : (a= 1 ; b = -2) ; (a = -1 ; b =2) 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (2 đ) 1/ (0,5 đ) Ta có (a -1)2 Hay 0,25 0,25 2/ (1,5 đ) Cộng vế theo vế hai đẳng thức đã cho ta có: Từ bất đẳng thức đã chứng minh câu 1/, suy ra: n * Với n = 2: thì Đẳng thức này chỉ xảy ra khi a1 = a2 =1 (Thỏa mãn các đẳng thức đã cho) * Với n = 1 thì không tồn tại a1 sao cho a1 =2 và Vậy n = 2. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4 (3 đ) 1/ (1đ)Chứng minh: và kề bù với Nên tứ giác BEFC nội tiếp trong (O) 2/ a/ (1đ)Tam giác AEN và AMB đồng dạng nên suy ra: AM.AN = AE.AB b/ (0,75)Chứng minh: HN.HM = BH.HC = AH2. Trong tam giác vuông ABH có: AE.AB = AH2 AM.AN = (AH – MH)(AH + NH) = AH2 – HN.HM + AH(NH – MH) = AH2 Suy ra: AH = NH – MH = a ( không đổi do A, H cố định) Ta có hệ: Suy ra Nên M và N cố định 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ đến câu 2/ 0,25 Bài 5 (1 đ) Đặt BC = a, AC = b, AB = c và x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c và bán kính đường tròn nội tiếp tâm O bằng 1 nên x, y, z > 2 Giả sử x y z = + + = = = = = Nên ax = by = cz = a+b+c = = nên = 1 z 3 z = 3 Từ = 1 và z = 3 3(x+y) = 2xy (2x-3)(2y-3) = 9 Suy ra 2x – 3 = 3 và 2y – 3 = 3 hoặc 2x – 3 = 9 và 2y – 3 = 1 Ta có: x = 3 và y = 3 và z = 3 nên tam giác ABC đều. 0,25 0,25 0,25 0,25 Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2010 – 2011 Chuyên Tin Bài Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 (2 đ) 1/ (1,0 đ) Ta có (x + y)2 = 4 x + y = Tương tự: x + z = ; y + z = Vì x + y + z > 2 nên chỉ có thể chọn x + y + z = hoặc x + y + z = * Với x + y + z = và x + y =2; x + z = 3; y + z = 4 Tính được () * Với x + y + z = và x + y = -2; x+ z = 3; y + z = 4 Tính được () 0,25 0,25 0,25 0,25 2/ (1,0 đ) Ta có Vì tử số là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6. Vậy là một số tự nhiên 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2 (2 đ) Dễ thấy a. Từ giả thiết ta có : Hay Từ đó a.b nhỏ nhất khi : và Tìm được : (a= 1 ; b = -2) ; (a = -1 ; b =2) 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (2 đ) 1/ (1,0 đ) = 0,5 0,5 2/ (1,0 đ) = 0,5 0,5 Bài 4 (3 đ) 1/(1đ)Chứng minh: và kề bù với Nên tứ giác BEFC nội tiếp trong (O) 2/ a/(1đ) Tam giác AEN và AMB đồng dạng nên suy ra: AM.AN = AE.AB b/ (0,75)Chứng minh: HN.HM = BH.HC = AH2. Trong tam giác vuông ABH có: AE.AB = AH2 AM.AN = (AH – MH)(AH + NH) = AH2 – HN.HM + AH(NH – MH) = AH2 Suy ra: AH = NH – MH = a ( không đổi do A, H cố định) Ta có hệ: Suy ra Nên M và N cố định 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ đến câu 2/ 0,25 Bài 5 (1 đ) Kẻ IK AC tại K ta có AHI = AKI Suy ra : IH = IK = BH Suy ra: IC =2IK nên Tính được Nên  = 900  0,25 0,25 0,25 0,25