Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo môn: Toán (hệ số 2) Năm 2011-2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: ( 2 điểm) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = - mx +2 1/ Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của m. 2/ Xác định m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác AOB ứng với giá trị của m vừa tìm được. Bài 2: ( 2 điểm) 1/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có n3 + 5n chia hết cho 6. 2/ Cho x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 – 3x + a = 0; x3 và x4 là nghiệm của phương trình x2 – 12x + b = 0 và biết rằng . Tìm a và b. Bài 3: ( 2 điểm) Cho a, b, c 0 và các số x, y, z thỏa mãn điều kiện : . Tính giá trị biểu thức: Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp trong nửa đường tròn (O; R) và có đường cao CH. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của H qua CA và CB. 1/ Chứng minh : a/ Ba điểm M, C, N thẳng hàng. b/ Các đường thẳng AM, BN và AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. 2/ Tìm vị trí của C trên (O) để tích AM.BN lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại E và F. Đường thẳng BI cắt EF tại M. Chứng minh tam giác MBC vuông. -----------------HẾT------------------ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: ( 2 điểm) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = - mx +2 1/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của m. 2/ Xác định m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác AOB ứng với giá trị của m vừa tìm được. Bài 2: (2 điểm) 1/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta đều có n3 + 5n chia hết cho 6. 2/ Cho x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 – 3x + a = 0; x3 và x4 là nghiệm của phương trình x2 – 12x + b = 0 và biết rằng . Tìm a và b. Bài 3: ( 2 điểm) Bốn người góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 6 tỉ đồng. Số tiền người thứ I, II, III góp lần lượt bằng tổng số tiền của ba người còn lại. Hỏi mỗi người góp bao nhiêu vốn? Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp trong nửa đường tròn (O; R) và có đường cao CH. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của H qua CA và CB. 1/ Chứng minh : a/ Ba điểm M, C, N thẳng hàng. b/ Các đường thẳng AM, BN và AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. 2/ Tìm vị trí của C trên (O) để tích AM.BN lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn OC lấy điểm E và trên đoạn OD lấy điểm F sao cho EF bằng bán kính của đường tròn (O). Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại điểm P khác A. Tam giác AEP có vuông ở E không ? -----------------HẾT------------------ Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2011 – 2012 Chuyên Toán Bài Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 (2 đ) 1/(1.0) Xét phương trình hoành độ giao điểm: Có Kết luận: 0.25 0,5 0,25 2/(1,0) Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) ta có: Vậy MinAB2 = 16, MinAB = 4 khi và chỉ khi m = 0 Khi đó A(-2; 2), B(2; 2) SAOB = 4 0,25 0,25 0,25 0.25 Bài 2 ( 2 đ) 1/ (1,0) Ta có n3 + 5n = (n3 – n) + 6n Vì n3 – n = n(n-1)(n +1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Và vì (2, 3) =1 nên n3 – n chia hết cho 6 Do đó n3 – n + 6n chia hết cho 6 Vậy n3 + 5n chia hết cho 6 0,25 0,25 0,25 0,25 2/ (1,0) Đặt = k Ta có : Từ (1) và (2) ta có : k2 = 4 k = 2 k = -2 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 ( 2 đ) Từ gt ta có: (*) Do . Nên (*) x = y = z = 0 Vậy S = 0 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Bài 4 (3 đ) Bài 5 (1đ) 1/ a/ Ta có : = 2v Nên ba điểm M, C, N thẳng hàng. b/ CM = CH = CN nên C là tâm đường tròn đường kính MN từ suy ra AM MN và BN MN nên AM, BN và AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. 2/ Ta có : AM.BN = AH.BH = CH2 R2 Vậy AM.BN = R2 lớn nhất AM = BN = CH =R C là điểm chính giữa cung AB . Nếu M thuộc tia đối FE : = 900 – = Suy ra tứ giác MFIC nội tiếp và ta có IF AC nên IM MC do đó tam giác BMC vuông tại M Nếu M thuộc đoạn EF : Tương tự nên = 2v do đó tứ giác MFCI nội tiếp và ta có IF AC nên IM MC hay tam giác BMC vuông tại M. 1.0 0.75 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2011 – 2012 Chuyên Tin Bài Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 (2 đ) 1/(1.0) Xét phương trình hoành độ giao điểm: Có Kết luận: 0.25 0,5 0,25 2/ (1,0) Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) ta có: Vậy MinAB2 = 16, MinAB = 4 khi và chỉ khi m = 0 Khi đó A(-2; 2), B(2; 2) SAOB = 4 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2 (2 đ) 1/ (1,0) Ta có n3 + 5n = (n3 – n) + 6n Vì n3 – n = n(n-1)(n +1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Và vì (2, 3) =1 nên n3 – n chia hết cho 6 Do đó n3 – n + 6n chia hết cho 6 Vậy n3 + 5n chia hết cho 6 0,25 0,25 0,25 0,25 2/ (1,0) Đặt = k Ta có : Từ (1) và (2) ta có : k2 = 4 k = 2 k = -2 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 (2 đ) Gọi x, y, z, t lần lượt là số tiền góp vốn của người thứ I, II, III, IV (tính bằng tỉ đồng và x, y, z, t > 0) Ta có hệ phương trình : Tính được : x = 1,5 ; y = 1,2 ; z = 1, t = 2,3 Kết luận. 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 (3đ) Bài 5 (1đ) 1/ a/ Ta có : = 2v Nên ba điểm M, C, N thẳng hàng. b/ CM = CH = CN nên C là tâm đường tròn đường kính MN từ suy ra AM MN và BN MN nên AM, BN và AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. 2/ Ta có : AM.BN = AH.BH = CH2 R2 Vậy AM.BN = R2 lớn nhất AM = BN = CH =R C là điểm chính giữa cung AB . - Khi E O thì F D P ; tam giác AEP vuông tại E. - Khi E C thì F O và BP ; tam giác AEP vuông tại E. - Khi E C và O thì F O và D. Giả sử AEP vuông tại E : Từ E vẽ đường cao EH ta có EHF APB Suy ra : hay AP = 2EH Gọi I là trung điểm AP thì AP = 2AI Suy ra điểm I H khi đó E O (không xảy ra) Nên AEP không vuông tại E. 1.0 0.75 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5