Làm quen với các chức năng vẽ, dựng hình của Cabri Geometry

Chương 2 LàM QUEN VớI CáC CHứC NĂNG Vẽ, DựNG HìNH CủA Cabri Geometry Ví dụ 1. Quy trình sử dụng Cabri Geometry giải quyết bài toán: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định và điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và H’ là điểm sao cho HBH’C là hình bình hành. Chứng minh rằng H’ nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra quỹ tích của điểm H. Thao tác dựng: - Chọn công cụ Circle : dựng một đường tròn có tâm O và bán kính tuỳ ý - Chọn công cụ Point on Object : lấy ba điểm A, B, C bất kỳ thuộc đưòng tròn (O). - Chọn công cụ Triangle : dựng tam giác qua ba điểm A,B, C. - Chọn công cụ Perpendicular Line: dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC, đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC . - Chọn công cụ Intersection Points: lấy giao điểm H của hai đường thẳng trên. - Chọn công cụ Segment: dựng đoạn thẳng HC. Hình 2.1 - Chọn công cụ Parallel Line: lần lượt dựng đường thẳng đi qua C và song song với BH, đường thẳng đi qua B và song song với HC. - Chọn công cụ Intersection Points: xác định H là giao của hai đường thẳng trên. - Chọn công cụ Segment: dựng các đoạn thẳng BH’ và CH’, HH’. - Chọn công cụ Intersection Points: xác định giao điểm I của HH’ và BC. Kết quả ta được hình vẽ là: (Hình 2.1) Khai thác hình vẽ Cho A di chuyển trên đường tròn (O): - Khi AB vuông góc với BC tại B thì H trùng với B, H’ trùng với C. - Khi AC vuông góc với BC tại C thì H trùng với C, H’ trùng với B. Do đó B, C thuộc quỹ tích của H, nghĩa là quỹ tích của H cắt đường thẳng cố định BC tại hai điểm. Mặt khác H và H’ đối xứng nhau qua I mà H’ thuộc (O). Vậy ta dự đoán quỹ tích của H là đường tròn tâm O’ đối xứng với O qua I. Sau khi dự đoán quỹ tích của H, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của H. Ví dụ 2. Cho ba phép đối xứng tâm ĐA, ĐB, ĐC. Với điểm M bất kỳ, gọi M1 là ảnh của M qua ĐA, M2 là ảnh của M1 qua ĐB, M3 là ảnh của M2 qua ĐC. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MM3 là một điểm cố định. Từ đó suy ra quỹ tích của điểm M3 khi M chạy trên một đường tròn (O) hay một đường thẳng d. Thao tác dựng: Giả sử M chạy trên (O). - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn. - Chọn công cụ Label : Đặt tên là O. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên (O) . - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là M. - Chọn công cụ Point: Tạo 3 điểm bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên ba điểm là A, B, C. - Chọn công cụ Symmetry: Dựng điểm M1 đối xứng với M qua A, dựng điểm M2 đối xứng với M1 qua B, dựng điểm M2 đối xứng với M3 qua C. - Chọn công cụ Segment: Dựng các đoạn thẳng MM1, M1M2, M2M3, M3M1. - Chọn công cụ Midpoint: Xác định trung điểm đoạn M3M1. Hình 2.2 - Chọn công cụ Label: Đặt tên là K. Kết quả ta được hình vẽ là: (Hình 2.2) Khai thác hình vẽ: Cho M chạy trên (O) ta luôn thấy K không di chuyển vậy K cố định Ta dự đoán quỹ tích của M3 là đường tròn. Dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của M3. Ví dụ 3. Một hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định còn điểm C thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm D. (Bài 5, tr79, Hình học 10) Thao tác dựng: - Chọn công cụ Point: Tạo hai điểm bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên hai điểm là A và B. - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn. - Chọn công cụ Label : Đặt tên đường tròn là O. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên (O) . - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là C. - Chọn công cụ Segment: Dựng đoạn thẳng BC, AB. - Chọn công cụ Parallel Line: Dựng đường thẳng qua C song song với AB và đường thẳng qua A song song với BC. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của đường thằng vừa dựng. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa tạo là D. Hình 2.3 - Chọn công cụ Hide/ Show : ẩn đi đường thẳng vừa dựng. - Chọn công cụ Segment: Dựng hai đoạn thẳng CD , AD. Kết quả ta được hình vẽ là hình 2.3. Khai thác hình vẽ: Khi cho C di chuyển trên (O). Ta luôn có và song song. Mà C di chuyển trên (O) nên D cũng di chuyển trên một đường tròn. Sau khi dự đoán quỹ tích của D, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của D. Ví dụ 4. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC. (Bài 1, tr 89, Hình học 10) Thao tác dựng: - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn. - Chọn công cụ Label : Đặt tên là O. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên (O) . - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là A. - Chọn công cụ Point: Tạo 2 điểm bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên hai điểm là B, C. - Chọn công cụ Segment : Dựng các đoạn thẳng AB, BC, CA. - Chọn công cụ Midpoint: Xác định trung điểm đoạn BC, AC. - Chọn công cụ Label: Đặt tên lần lượt là I, E. Hình 2.4 - Chọn công cụ Segment : Dựng các đoạn thẳng BE, AI. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của BE, AI. - Chọn công cụ Label: Đặt tên là G. Kết quả ta được hình vẽ là : Hình 2.4 Khai thác hình vẽ Cho A di chuyển trên (O), xét G ở một số vị trí của A. Từ đó dự đoán quỹ tích của G. Sau khi dự đoán quỹ tích của G, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của G. Ví dụ 5. Cho một đường tròn (O) có đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung diểm của CQ. Tìm quỹ tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi. (Bài 3, tr 89, Hình học 10) Thao tác dựng: - Chọn công cụ Segment : Dựng một đoạn thẳng. - Chọn công cụ Label : Đặt tên là AB. - Chọn công cụ Midpoint: Xác định trung điểm đoạn AB. - Chọn công cụ Label: Đặt tên lần lượt là O. - Chọn công cụ Circle : Dựng đường tròn tâm (O) đi qua B. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên (O) . - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là P. - Chọn công cụ Line: Dựng một đường thẳng đi qua O, P. - Chọn công cụ Intersection Points: Xác định giao điểm của đường thẳng OP và (O). - Chọn công cụ Label : Đặt tên là Q. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng PQ. - Chọn công cụ Symmetry: Dựng điểm C đối xứng với A qua B. - Chọn công cụ Line: Dựng đường thẳng CQ, PA, PB - Chọn công cụ Intersection Points: Xác định giao điểm của đường thẳng AP và CQ, CQ và PB. - Chọn công cụ Label : Đặt tên lần lượt là M, N. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.5 Hình 2.5 Khai thác hình vẽ Cho PQ di chuyển quanh O: - Khi P º B, Q º A thì N º B, M thẳng hàng với A và C. - Khi P º A, Q º B thì M º A, N thẳng hàng với A và C. Ta thấy quỹ tích của M và N cắt đường thẳng cố định AC tại hai điểm phân biệt, từ đó ta dự đoán quỹ tích của M và N có dạng tròn. Sau khi dự đoán quỹ tích của M, N, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của M, N. Ví dụ 6. Cho đường tròn (O) và một điểm I cố định. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích của N. (Bài 4, tr 89, Hình học 10) Thao tác dựng: - Chọn công cụ Point: Tạo một điểm bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là I - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn. - Chọn công cụ Label : Đặt tên đường tròn là O. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên (O). - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là M. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng IM. - Chọn công cụ Angle Bisector : Dựng đường phân giác của góc MOI giác vừa dựng với IM. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa tạo là N. Kết quả ta được hình vẽ là: Hình 2.6 Hình 2.6 Khai thác hình vẽ: Giả sử OI cắt (O) tại hai điểm là E và F. Cho M di chuyển đến một số vị trí đặc biệt: - Khi M trùng với E thì N thuộc đường thẳng OI. - Khi M trùng với F thì N thuộc đường thẳng OI. Vậy quỹ tích của N cắt đường thẳng cố định OI tại hai điểm phân biệt. Do đó dự đoán quỹ tích của N có dạng tròn. Sau khi dự đoán quỹ tích của N, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của N. Ví dụ 7. Cho ba điểm A, B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, và M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích điểm M3. (Bài 3b, tr91, Hình học 10) Thao tác dựng: - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn. - Chọn công cụ Label : Đặt tên là O. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy 4 điểm trên (O) . - Chọn công cụ Label : Đặt tên 4 điểm vừa lấy là A, B, C, M. - Chọn công cụ Symmetry: Dựng điểm M1 đối xứng với M qua A, dựng điểm M2 đối xứng với M1 qua B, dựng điểm M2 đối xứng với M3 qua C. Hình 2.7 - Chọn công cụ Segment: Dựng các đoạn thẳng MM1, M1M2, M2M3, M3M1. - Chọn công cụ Midpoint: Xác định trung điểm đoạn M3M1. - Chọn công cụ Label: Đặt tên là G. Kết quả ta được hình vẽ là: Hình 2.7 Khai thác hình vẽ: Cho M chạy trên (O) ta luôn thấy G không di chuyển vậy G cố định Ta dự đoán quỹ tích của M3 là đường tròn. Dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của M3. Ví dụ 8. Cho (O) và P nằm ngoài (O). Một dây cung BC thay đổi của (O) nhưng có độ dài không thay đổi. Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác PBC. (Bài 9, tr 93, Hình học 10) Thao tác dựng: - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn. - Chọn công cụ Label : Đặt tên đường tròn là O. - Chọn công cụ Point: Tạo một điểm bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là P. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên (O). - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là B. - Chọn công cụ Numerical Edit: Nhập một số a bất kì. - Chọn công cụ Measurement Transfer: Tạo một điểm cách B một khoảng là a. - Chọn công cụ Circle : Dựng đường tròn tâm B đi qua điểm vừa tạo. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của đường tròn (O) và đường tròn tâm B. - Chọn công cụ Hide/ Show : ẩn đi đường tròn tâm B. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là C. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng BC, CP, BP. - Chọn công cụ Midpoint : Xác định trung điểm của các đoạn thẳng BP, CP. Hình 2.8 - Chọn công cụ Segment: Dựng đoạn thẳng trung tuyến của tam giác PCB. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của các đường trung tuyến. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là G. Kết quả ta được hình vẽ là: Hình 2.8 Khai thác hình vẽ Cho B di chuyển trên (O) ta thấy quỹ tích của G cắt đường thẳng cố định OP tại hai điểm phân biệt nên ta dự đoán quỹ tích của G có dạng tròn. Sau khi dự đoán quỹ tích của D, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của D. Ví dụ 9. Cho (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A . Gọi AB là đường kính của (O) và AC là đường kính của (O’) .Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Tìm quỹ tích giao điểm của BN và CM. (Bài 10, tr 93, Hình học 10) Thao tác dựng: - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn. - Chọn công cụ Label : Đặt tên đường tròn là O. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên (O). - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là A. - Chọn công cụ Line: Dựng một đường thẳng đi qua O, A. - Chọn công cụ Intersection Points: Xác định giao của đường thẳng OA và (O) - Chọn công cụ Label : Đặt tên là B. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng AB, OA. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên OA. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm vừa lấy là O’. - Chọn công cụ Circle : Dựng đường tròn tâm O’ đi qua A. - Chọn công cụ Line: Dựng một đường thẳng đi qua A. - Chọn công cụ Label : Đặt tên là d. - Chọn công cụ Intersection Points: Xác định giao điểm của đường thẳng d và (O), (O’) Hình 2.9 - Chọn công cụ Label : Đặt tên lần lượt là M, N. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng CN, BM. - Chọn công cụ Intersection Points: Xác định giao của CN và BM. - Chọn công cụ Label : Đặt tên là I. - Chọn công cụ Hide/ Show : ẩn đi đường thẳng OA. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.9 Khai thác hình vẽ: Cho d quay quanh A: - Khi MB, NC thì IO nên O thuộc quỹ tích của I. - Khi MA, NA thì I nằm trên AB. Từ đó dự đoán quỹ tích của I. Ví dụ 10. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Một điểm M di chuyển trên cạnh BC. Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt cạnh AB (hoặc tia BA) tại I và cắt tia CA (hoặc cạnh AC) tại K. Tìm quỹ tích trung điểm P của IK. Thao tác dựng: - Chọn công cụ Segment: Dựng đoạn thẳng. - Chọn công cụ Label: Đặt tên đoạn thẳng là BC. - Chọn công cụ Pecular Bisector: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên đưòng trung trực của BC. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là A. - Chọn công cụ Triangle : Dựng tam giác ABC. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của đường thằng trung trực của BC với BC. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là H. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một điểm trên cạnh BC. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là M. - Chọn công cụ Perpendicular Line: Dựng đường thẳng vuông góc với BC đi M. Hình 2.10 - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của đường thằng trên với cạnh AB ( hoặc tia BA ) và tia CA ( hoặc cạnh AC ). - Chọn công cụ Label : Đặt tên giao điểm lần lượt là I và K. - Chọn công cụ Midpoint : Xác định điểm giữa của 2 điểm I ,K. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là P. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.10 Khai thác hình vẽ: Cho M di chuyển trên cạnh BC : - Khi M trùng vào B thì I trùng vào B, P trùng vào . - Khi M trùng vào C thì K trùng vào C, P trùng vào . - Khi M trùng vào H thì P trùng vào A. Vậy ta dự đoán quỹ tích của P là đoạn đi qua A. Sau khi dự đoán quỹ tích của P, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của P. Ví dụ 11. Cho Ox và Oy là hai nửa đường thẳng vuông góc với nhau. Trong góc xOy có một tam giác đều biến thiên, mà một đỉnh của nó là điểm A cố định nằm trên Oy, còn đỉnh thứ hai thì di chuyển trên Ox. Chứng minh rằng quỹ tích điểm thứ ba là nửa đường thẳng có điểm đầu là đỉnh B của tam giác đều AOB và vuông góc với AB. Thao tác dựng: * Bổ sung một số chức năng cần thiết: Trong bài toán này ta chỉ cần bổ sung thêm macro tạo một tam giác đều khi biết một cạnh của nó. Cụ thể: tạo macro “Tam giác đều”. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng . - Chọn công cụ Circle : Dựng hai đường tròn tâm là hai đầu mút của đoạn thẳng, bán kính là đoạn thẳng vừa dựng. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao của hai đường tròn trên. - Chọn công cụ Triangle : Dựng tam giác có đỉnh là hai đầu đoạn thẳng và một trong hai giao điểm vừa tạo được. Ta được một tam giác đều. - Chọn công cụ Initial Objects: Lấy đối tượng ban đầu là đoạn thẳng. - Chọn công cụ Final Object: Lấy đối tượng kết thúc là tam giác đều. - Chọn công cụ Define Macro: Đặt tên cho macro là “tam giac deu”. * Các bước dựng: - Chọn công cụ Ray: Dựng tia Ox. - Chọn công cụ Numerical Edit: Nhập một số 90. - Chọn công cụ Rotation: Quay tia Ox một góc là 90 độ tia ảnh là tia Oy, được góc vuông xOy. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên tia Oy. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là A. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một một điểm trên tia Ox. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là C. - Chọn công cụ: “ Tam giac deu” để dựng tam giac đều cạnh AC. - Chọn công cụ Label : Đặt tên đỉnh còn lại là D. - Chọn công cụ: “ Tam giac deu” để dựng tam giac đều cạnh AO. Hình 2.11 - Chọn công cụ Label : Đặt tên đỉnh còn lại là B. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.11 Khai thác hình vẽ: Vì bài toán đã chỉ ra quỹ tích của D nên chúng ta chỉ sử dụng phần mềm để xác minh (khẳng định) lại quỹ tích trên hình vẽ một cách trực quan và hoàn toàn chính xác. Giáo viên chọn Animation và “cầm” điểm C cho di chuyển trên Ox. Cabri sẽ vạch cho ta quỹ tích của đỉnh thứ ba là D và ta thấy được cả hình dáng, vị trí, và giới hạn quỹ tích của điểm D. Hoặc sau khi dự đoán quỹ tích của D, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của D. Ví dụ 12. Cho đoạn thẳng AB và một điểm M thuộc đoạn AB. Dựng 2 hình vuông nằm cùng một phía bờ là AB là MAEF và MBCD. Gọi O1 và O2 là tâm 2 hình vuông trên. Tìm tập hợp trung điểm I của O1O2. Thao tác dựng: * Bổ sung chức năng tạo một hình vuông khi biết một cạnh. Cụ thể là tạo macro: “ Hinh vuong”. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng . - Chọn công cụ Label : Đặt tên đoạn thẳng là AB. - Chọn công cụ Circle: Dựng đường tròn tâm A, tâm B bán kính là AB. - Chọn công cụ Perpendicular Line: Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B. - Chọn công cụ Intersection Points: Lấy giao điểm của hai đường tròn tâm A và tâm B với hai đường vuông góc trên. - Chọn công cụ Label : Đặt tên hai giao điểm là C, D. - Chọn công cụ Polygon: Dựng đa giác ABCD. Khi đó ta được hình vuông ABCD. - Chọn công cụ Initial Objects: Xác định đối tượng ban đầu là đoạn thẳng AB. - Chọn công cụ Define Macro: Xác định đối tượng cuối là hình vuông ABCD. - Chọn công cụ Define Macro: Đặt tên cho macro là “ Hinh vuong”. * Các bước dựng: - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng . - Chọn công cụ Label : Đặt tên đoạn thẳng là AB. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một điểm trên đoạn AB. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm đó là M. - Chọn công cụ “Hinh vuong” : Dựng ba hình vuông cạnh AM, BM, AB. - Chọn công cụ Label : Đặt tên ba hình vuông là ABHK, MAEF và MBCD. - Chọn công cụ Segment: Dựng các đoạn thẳng BK, AH, AE, MF, BD và MC. - Chọn công cụ Intersection Points: Lấy giao điểm của AH và BK, AE và MF, MC và DB. - Chọn công cụ Label : Đặt tên các điểm lần lượt là O, O1, O2. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng O1O2. Hình 2.12 - Chọn công cụ Midpoint : Xác định trung điểm của O1O2.. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là I. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.12 Khai thác hình vẽ: Cho M chạy trên đoạn AB: - Khi M trùng với A thì O1 trùng với A, trùng O2 với O, I trùng với trung điểm của OA. - Khi M trùng với B thì O1 trùng với O, trùng O2 với B, I trùng với trung điểm của OB. Vì tam giác OAB là cố định nên ta dự đoán quỹ tích của I là đường trung bình của tam giác OAB. Sau khi dự đoán quỹ tích của I, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của I. Bài toán có thể thay đổi như sau: Hình 2.13 Cho đoạn thẳng AB, M thuộc AB. Dựng 2 hình vuông AMEF và MBCD về hai phía bờ AB. Gọi O1, O2 là tâm hình vuông trên. Tìm tập hợp trung điểm I của O1O2. Các bước dựng tương tự như bài toán trên Quỹ tích của I như hình vẽ (hình 2.13) Ví dụ 13 Cho góc xOy cố định; hai điểm A và B chuyển động tương ứng trên Ox và Oy sao cho OA + OB = m (m là đoạn cho trước). Tìm tập hợp trung điểm I của AB. Thao tác dựng: Vì OA + OB = a cho trước nên OA a. Vậy A di chuyển trên đoạn OA1 có độ lớn bằng a, A1 thuộc tia Ox và B di chuyển trên OB2 có độ lớn bằng a, B1 thuộc Oy. Ta có các bước dựng sau: - Chọn công cụ Ray: Dựng hai tia. - Chọn công cụ Label: Đặt tên hai tia là Ox và Oy. - Chọn công cụ Numerical Edit: Nhập số a. - Chọn công cụ Measurement Transfer: Xác định ảnh của điểm O cách O một khoảng cho trước a. - Chọn công cụ Circle: Dựng đường tròn tâm O đi qua điểm vừa tạo. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm giữa (O) với hai tia Ox và Oy. - Chọn công cụ Label: Đặt tên hai điểm là A1, B1. - Chọn công cụ Hide/ Show : ẩn đi đường tròn tâm O. - Chọn công cụ Point on Object: Lấy một điểm trên OA1. - Chọn công cụ Label: Đặt tên điểm là A. - Chọn công cụ Distance and Length: Xác định khoảng cách giữa 2 điểm O và là b - Chọn công cụ Calculate: Lấy a trừ đi b. - Chọn Measurement Transfer: Xác định ảnh của điểm O cách O một khoảng (a - b). - Chọn công cụ Circle: Dựng đường tròn tâm O đi qua điểm vừa tạo - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm giữa (O) và tia Oy. - Chọn công cụ Label: Đặt tên hai điểm là B. - Chọn công cụ Hide/ Show: ẩn đi đường tròn tâm O. - Chọn công cụ Segment: Dựng đoạn thẳng AB. - Chọn công cụ Midpoint: Xác định trung điểm của AB. - Chọn công cụ Label: Đặt tên trung điểm là I. Hình 2.14 Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.14 Khai thác thác hình vẽ Cho A di chuyển trên Ox: - Khi A trùng với A1 thì B trùng với O, I trùng vào trung điểm E của OA1. - Khi A trùng với O thì B trùng với B1, I trùng vào trung điểm F của OB1. Vậy ta dự đoán quỹ tích của I là đoạn EF, EF là đường trung bình vủa tam giác OA1B1. Hình 2.15 Sau khi dự đoán quỹ tích của I, dùng chức năng Locus để kiểm tra quỹ tích của I. Bài toán có thể mở rộng khi thay Ox, Oy bởi hai đường thẳng cắt nhau c, d * Các bước dựng tương tự như bài toán trên Khi đó đường tròn (O,a) giao với đường thẳng c tại hai điểm là A1, A2. A sẽ di chuyển trên đoạn A1A2. Đường tròn tâm O bán kính (a - b) giao với đường thẳng d tại hai điểm nên có hai điểm B thoả mãn OA + OB = a (cho trước). * Hình ảnh quỹ tích: Hình 2.15 Ví dụ 14. Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng a; M thuộc a, từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O). Tìm tập hợp điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM. Thao tác dựng: * Bổ sung chức năng cần thiết: Đó là tạo macro tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn. Cụ thể là tạo macro: “Tiep tuyen”. - Chọn công cụ Circle: Dựng một đường tròn . - Chọn công cụ Label: Đặt tên đường tròn là O. - Chọn công cụ Point: Tạo một điểm bất kì. - Chọn công cụ Label: Đặt tên điểm là C. - Chọn công cụ Segment: Dựng đoạn thẳng OC. - Chọn công cụ Midpoint: Lấy trung điểm OC. - Chọn công cụ Label: Đặt tên trung điểm là K. - Chọn công cụ Circle: Dựng đường tròn tâm K đường kính OC. - Chọn công cụ Intersection Points: Lấy giao của hai đường tròn tâm O và tâm K. - Chọn công cụ Line: Nối C với hai giao điểm . Ta được hai tiếp tuyến từ C tới (O). - Chọn công cụ Initial Objects: Xác định đối tượng đầu là đường tròn (O), điểm C - Chọn công cụ Final Object: Xác định đối tượng cuối là hai tiếp tuyến. - Chọn công cụ Define Macro: Đặt tên cho macro là “tiep tuyen”. * Các bước dựng: - Chọn công cụ Circle: Dựng một đường tròn . - Chọn công cụ Label: Đặt tên đường tròn là O. - Chọn công cụ Line: Dựng một đừờng thẳng bất kì. - Chọn công cụ Label: Đặt tên đường thẳng là a. - Chọn công cụ Point on Object : lấy một điểm trên a. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là M. - Chọn công cụ “tiep tuyen”: Dựng hai tiếp tuyến của M với (O). - Chọn công cụ Label : Đặt tên hai tiếp tuyến là MA, MB. - Chọn công cụ Midpoint : Lấy trung điểm OM. Hình 2.16 - Chọn công cụ Label: Đặt tên điểm là I. Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.16 Khai thác hình vẽ: Vì bài toán có nhiều trường hợp: a nằm ngoài (O), a cắt (O), a tiếp xúc với (O) nên nếu vẽ hình trên giấy chung ta sẽ mất nhiều thời gian. Còn nếu vẽ hình bằng phần mềm Cabri sẽ tiết kiệm được rất nhiều thời gian bằng cách di chuyển đường thẳng a cho từng trường hợp. Ví dụ 15. Cho hai đường thẳng x // y và một điểm O cố định thuộc vào miền phẳng nằm giữa x và y . Một cát tuyến thay đổi đi qua O cắt x và y tại A và B. Tại B kẻ đoạn BM vuông góc với OB và BM = OA. Chứng minh rằng M thuộc hai đường thẳng d cố định. Thao tác dựng: - Chọn công cụ Line: Dựng một đừờng thẳng bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên đường thẳng là x. - Chọn công cụ Point: Tạo một điểm bất kì. - Chọn công cụ Parallel Line: Dựng đường thẳng qua điểm vừa tạo và song song với đưòng thẳng x. - Chọn công cụ Label : Đặt tên đường thẳng là y. - Chọn công cụ Point: Tạo một điểm bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là O. - Chọn công cụ Line: Dựng một đừờng thẳng bất kì qua O. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm giữa cát tuyến vừa dựng với x và y. - Chọn công cụ Label : Đặt tên hai điểm là A và B. - Chọn công cụ Perpendicular Line: Dựng đường thẳng vuông góc với AB đi qua B và vuông góc với cát tuyến qua O. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng OA. - Chọn công cụ Compass: Dựng đường tròn với tâm và tâm B bán kính là OA. Hình 2.17 - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao của đường tròn tâm B và cát tuyến qua O. - Chọn công cụ Label : Đặt tên giao điểm là M. - Chọn công cụ Hide/ Show : ẩn đi đường tròn tâm B. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.17 Khai thác hình vẽ: Đối với bài toán này quỹ tích của M đã cho sắn là dạng thẳng. Cần chứng minh nó là hai đường thẳng cố định. Cabri có thể giúp xác minh quỹ tích trên hình vẽ một cách trực quanvà hoàn toàn chính xác. Giáo viên chọn Animation : cho cát tuyến quay quanh O khi đó ta sẽ thấy đựoc quỹ tích của M. Từ đó học sinh sẽ tìm ra cách chứng minh nhanh chóng hơn. Ví dụ 16. Cho đường tròn tâm O và điểm A cố định, đường kính BC quay quanh O. Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Thao tác dựng: - Chọn công cụ Circle : Dựng một đường tròn . - Chọn công cụ Label : Đặt tên đường tròn là O. - Chọn công cụ Point: Tạo một điểm bất kì. - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là A. - Chọn công cụ Point on Object : Lấy một điểm trên (O). - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là B. - Chọn công cụ Line: Dựng một đừờng thẳng qua B và O. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của đường thẳng trên với (O). - Chọn công cụ Label : Đặt tên điểm là C - Chọn công cụ Hide/ Show : ẩn đi đường thẳng qua B và O. - Chọn công cụ Segment : Dựng đoạn thẳng BC. - Chọn công cụ Pecular Bisector: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB và AC. - Chọn công cụ Intersection Points: Tạo giao điểm của hai đường trung trực trên. - Chọn công cụ Label : Đặt tên giao điểm là I. Kết quả ta được hình vẽ: Hình 2.18. (a) (b) (c)