Lăng kính và góc lệch cực tiểu

để dạy tốt và học tốt môn vật lý Lăng kính và góc lệch cực tiểu Nguyễn Dũng (Hà Nội) LTS. Bài báo này đã đ−ợc đăng trên Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ cách đây đã lâu. Xét thấy đây là một bài báo rất bổ ích, chúng tôi đã xin phép Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ đăng lại bài báo này để bạn đọc tham khảo. Trong bài báo này chúng tôi khảo sát về góc lệch cực tiểu của tia sáng đi qua lăng kính và chứng minh rằng nó có một góc lệch cực tiểu. Góc lệch qua một lần khúc xạ Xét một tia sáng đi từ không khí vào n−ớc, chẳng hạn (H.1). Giữa góc tới và góc khúc xạ có hệ thức: rni sinsin = trong đó 33,1=n là chiết suất của n−ớc. Ta gọi riD −= là góc lệch của tia sáng đang xét. Khi góc tới i tăng thì góc khúc xạ r cũng tăng. Ta sẽ chứng minh rằng khi này góc lệch D cũng tăng. Ta có: 2 cos 2 sin2sinsin ririri +−=− 2 cos 2 sin2sin)1( riDrn +=−⇒ 2 cos/sin)1( 2 sin2 rirnD +−=⇒ Khi i tăng tử số của biểu thức trên tăng còn mẫu số của nó giảm, suy ra 2/sin D tăng, tức D tăng. Góc lệch của tia sáng qua lăng kính Khi tia sáng đi qua lăng kính, nó bị khúc xạ hai lần (H.2). Từ hình vẽ ta thấy: Arr =′+ (1) AiiririD −′+=′−′+−= )()( (2) Tr−ờng hợp đặc biệt khi tia tới và tia ló đối xứng qua đ−ờng phân giác của tiết diện lăng kính, tức là khi 0iii =′= , ta có: 2/Arr =′= ; AiD −= 02 (3) và )2/sin(sin 0 Ani = (4). Ta sẽ chứng minh rằng (3) là góc lệch cực tiểu. Muốn thế ta chỉ cần chứng minh rằng: 02iii ≥′+ (5) với mọi 090,0 ≤′≤ ii . ở trên ta đã chứng minh rằng )( ri − tăng khi i tăng. Do đó: riri −>′−′ nếu ii >′ hay rrii −′>−′ nếu ii >′ Khi đó với i và i′ là hai góc nhọn bất kỳ, thì: 2 cos 2 cos rrii −′≤− ′ (6) Mặt khác, 2 cos 2 sin2sinsin iiiiii ′ − ′+ =′+ 2 cos 2 sin2)sin(sin rrrrnrrn ′−′+=′+= Suy ra: 2 cos: 2 cos 2 sin 2 sin iirrrrnii ′ − ′ − ′+ = ′+ Kết hợp với (6), (4) và (1), từ biểu thức trên ta suy ra: 0sin2 sin 2 sin iAnii =≥ ′+ Từ đó suy ra (5) là điều cần chúng minh.