Lời giải và bình luận đề thi đại học năm 2008 - Môn Toán

Đề thi Đại học năm nay được đánh giá là sát với chương trình SGK, học sinh có tư duy, nắm vững kiến thức cơ bản là có thể đạt điểm cao. Đề thi không giành cho học sinh học tủ, học lệch. Sau đây là lời giải và phân tích một số câu trong đề thi các khối B và D. * Đề thi khối B: I.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1) của hàm số y=4x3-6x2+1, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1;-9). Giải: Phương trình đường thẳng d qua điểm M có dạng: y=ax+a-9, Đường thẳng d tiếp xúc với (1) hệ có nghiệm Từ hệ suy ra x=-1 hoặc x= * x=-1 a=24, phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=24x+15. * x= a=, phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=x+. Đây là một bài toán quen thuộc, không đòi hỏi tư duy, học sinh có kĩ năng tính toán có thể làm được bài này. Bài tập tự luyện: Tìm điểm trên đồ thị (C) của hàm số y=x3-3x2+2 sao cho tại điểm đó tiếp tuyến nằm ngang. Hãy viết phuơng trình các tiếp tuyến xuất phát từ điểm đó. II.1. Giải phương trình: sin3x-cos3x=sinx.cos2x-cosx.sin2x. Giải: * cosx=0 x= không phải là nghiệm phương trình. * cosx0 x, chia 2 vế cho cos3x, ta được phương trình: tan3x+tan2x-tanx-=0 tanx=- hoặc tanx=1 hoặc tanx=-1. + tanx=- + tanx=1 + tanx=-1 Kết hợp, ta được nghiệm phương trình là: và Nhận xét: Đây là phương trình thuần nhất bậc 3 đối với sinx và cosx. Bài tập tự luyện: Giải phương trình cos3x+(8+3)sin3x-24cosxsin2x+48sinxcos2x+3cosx-(24+9)sinx=0 II.2. Giải hệ phương trình: Nhận xét: Đây không phải là bài toán khó, nhưng không thuộc các dạng quen thuộc nên đa số học sinh “học gạo” không thể làm được. Các học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và có chút tư duy có thể làm tốt bài này. Giải: Ta viết hệ thành x4+12x3+48x2+64x=0 x=0 hoặc x=-4. + x=0 hệ phương trình vô nghiệm. + x=-4 y=. Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình . IV.1. Tính tích phân Giải: Đặt t=sinx+cosx dt=(cosx-sinx)dx, . Khi đó . Bài tập tự luyện: Tính tích phân IV.2. Cho hai số thực x,y thay đổi thoả mãn x2+y2=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải: * y=0 P=2. * y 0. Đặt x=ty. Khi đó +P=2 thì t=. +P 2, phương trình (1) có nghiệm -2P2-6P+36 0 -6 P 3. Giá trị lớn nhất của P là 3 x=3y=. Giá trị nhỏ nhất của P là -6 2x=-3y=. Đây là bài toán quen thuộc, bài toán có thể giải bằng phương pháp khảo sát hàm số. Bài tập tự luyện: Cho hai số thực x,y thay đổi thoả mãn 9x2+16y2=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Va.1. Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n và là số tổ hợp chập k của n phần tử). Đây là bài toán dễ, học sinh chỉ cần nắm được công thức tổ hợp là làm được. Giải: Bài tập tự luyện: Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k+1 ≤ n và là số tổ hợp chập k của n phần tử). *Đề thi khối D: II.1. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (1) Giải: Phương trình (1) 2(sinx-cosx)+2sinx(cos2x)=(1-sin2x) 2(sinx-cosx)+2sinx(cos2x-sin2x)=(sinx-cosx)2 + Trường hợp 1: sinx-cosx=0 . + Trường hợp 1: 2cosx+1=0 cosx= . Đây là phương trình dạng đưa về tích, nếu biết cách nhìn thừa số thì bài toán không khó. Khi dạy giáo viên nên phân tích cho học sinh hiểu được cách phân tích thành tích các thừa số. Chẳng hạn: khi gặp số hạng cos2x, học sinh có thể phân tích thành cos2x-sin2x hoặc 1-2sin2x hoặc 2cos2x-1,.... Tuỳ vào các số hạng khác trong phương trình. Bài tập tự luyện: Giải phương trình 2sinx+cos2x=(1-2sinx)+3-2cos2x II.2. Giải hệ phương trình Giải: Điều kiện: x 1; y 0. Từ phương trình (1) y(x+y)+(x+y)=(x+y)(x-y) x=2y+1, vì x+y>0. Thay vào (2), ta có: (y+1)=2(y+1) y=2, vì y+1>0. Khi đó x=5. Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình . IV.1. Tính tích phân Giải: Đặt . Khi đó Dạng từng phần trong đó vừa chứa logarit vừa phân thức đại số. Bài tập tự luyện: Tính tích phân IV.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với x và y là các số thực không âm thay đổi. Giải: Cách 1: Đặt a=1+x và b=1+y thì a 1; b 1. Ta được: . . Giá trị lớn nhất của P là a=2 và b=1, tức là x=1 và y=0. . Giá trị nhỏ nhất của P là - a=1 và b=2, tức là y=1 và x=0. Cách 2: P= x=1 và y=0. Giá trị lớn nhất của P là x=1 và y=0. P= - x=0 và y=1. Giá trị nhỏ nhất của P là - y=1 và x=0. Bài toán này được đánh giá là khó hơn cả trong các bài toán của đề thi Đại học năm nay. Một cách để làm đơn giản bài toán chứa ẩn ở mẫu là xem mẫu như một biểu thức đơn giản. Bài tập tự luyện: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với x,y,z là các số thực thuộc đoạn . Va.1. Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức . Giải: Xét + Với x=1, ta có: + Với x=-1, ta có: Từ đó suy ra: Đây là một bài toán quen thuộc với đa số học sinh. Bài tập tự luyện: Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức . Va.2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2=16x và điểm A(1;4). Hai điểm phân biệt B,C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc =900. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Giải: Hai điểm B,C thuộc (P) nên có toạ độ dạng B(b2;4b), C(c2;4c), với b,c là các số khác nhau và khác 1. +=900(b2-1)(c2-1)+(4b-4)(4c-4)=0 b+c=-17-bc + Phương trình đương thẳng BC: 4x-(b+c)y+4bc=0 4x+(17+bc)y+4bc=0 luôn đi qua điểm cố định I(17;-4). Bài tập tự luyện: 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2=2px và ba điểm phân biệt A,B,C trên (P) sao cho góc =900. a) Chứng minh nếu A cố định thì đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định I. b) Tìm quỹ tích I, khi A di động trên (P). 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2=2px và điểm A cố định nằm trên đường chuẩn của (P), qua A kẻ đến (P) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau lần lượt có các tiếp điểm là B,C. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Đây là một số lời giải và ý kiến nhận xét của cá nhân, mong được đóng góp nhằm làm phong phú thêm lời giải của các bài toán trong đề thi Đại học năm 2008.