Luận văn Một số tính chất của k – độ sâu

1 Mục lục Trang Mục lục. 1 Mở đầu .... 2 1. Một số kiến thức chuẩn bị... 5 1.1. Chiều Krull của môđun.. 5 1.2. 1.3. Địa phương hóa và giá của môđun. Một số mở rộng đã biết của dãy chính quy.... 6 8 1.4. Môđun đối đồng điều địa phương.. 12 1.5. k – dãy chính quy... 16 2. k – độ sâu và áp dụng nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương.................................................................................................. 17 2.1. k – độ sâu.... 17 2.2. Tính không triệt tiêu và tính hữu hạn của môđun đối đồng điều địa phương 21 2.3. Giá của môđun đối đồng điều địa phương. 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo.. 30 2 Mở đầu Dãy chính quy là một khái niệm cổ điển trong lý thuyết vành giao hoán và môđun trên vành giao hoán, nó là một công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực của Đại số giao hoán, Đại số đồng điều, Hình học đại số. Cho (R,m) là một vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m, M là một R – môđun. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó mọi dãy chính quy của M trong I đều cùng độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I, kí hiệu là depth(I;M). Khi I = m thì depth(m;M) được viết gọn là depth(M) và gọi là độ sâu của môđun M. Khái niệm độ sâu của môđun được dùng để đặc trưng môđun Cohen- Macaulay là lớp quen thuộc nhất trong Đại số giao hoán. Cụ thể là môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu depthM = dimM, trong đó dimM là chiều Krull của môđun M (trong trường hợp tổng quát thì depthM£dimM). Ngoài ra khái niệm độ sâu là một bất biến còn được sử dụng rộng rãi trong Đại số giao hoán, Đại số đồng điều,. Đã có nhiều mở rộng của khái niệm dãy chính quy như dãy chính quy lọc được đưa ra bởi N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [5], dãy chính quy suy rộng được đưa ra bởi L. T. Nhàn [9]. Trong [6], N. Q. Chinh và L. T. Nhàn đã đưa ra khái niệm k-dãy chính quy. Khái niệm này là một mở rộng của khái niệm dãy chính quy nói trên. Khi k = -1 thì các k-dãy chính quy là các k-dãy chính quy thông 3 thường. Khi k = 0 thì các k-dãy chính quy chính là các dãy chính quy lọc và khi k = 1 thì các k-dãy chính quy chính là các dãy chính quy suy rộng. Cho I là một iđêan của vành R và M là một R – môđun. Cận trên của các độ dài của các k-dãy chính quy của M trong I được gọi là k-độ sâu của M trong I và được kí hiệu bởi k-depth(I;M). Giả sử dim(M/IM) ³ k. Khi đó mỗi k-dãy chính quy của M trong I đều có độ dài hữu hạn và các k-dãy chính quy tối đại của M trong I có chung độ dài. Độ dài chung này chính là k - độ sâu của M trong I. Như ta đã biết với I là một iđêan tuỳ ý của vành R thì cấu trúc của môđun đối đồng điều địa phương ( )iIH M nói chung được biết rất ít. Sử dụng khái niệm k - độ sâu, N. Q. Chinh và L. T. Nhàn [6] đã nghiên cứu được một số kết quả về tính không triệt tiêu, tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết và xác định chiều của giá của môđun đối đồng điều địa phương. Mục đích của Luận văn là trình bày về k - độ sâu và những áp dụng trong việc nghiên cứu tập các iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun đối đồng điều địa phương. Đây là một phần của kết quả trong bài báo [6] của N. Q. Chinh và L. T. Nhàn. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương 2: k – độ sâu và áp dụng nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương. Chương này là nội dung chính của Luận văn. Trong chương này 4 chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của k – độ sâu, áp dụng các tính chất này để nghiên cứu tính không triệt tiêu và tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass. Đặc biệt dùng một số tính chất của k – độ sâu để nghiên cứu giá của môđun đối đồng điều địa phương. Luận văn được hoàn thành vào tháng 06 năm 2011 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng; thầy PGS.TS. Lê Quốc Hán; thầy PGS. TS. Nguyễn Thành Quang; các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Vinh, các bạn bè trong lớp cao học Toán 16 – Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số đã có những ý kiến đóng góp quý báu để tác giả hoàn thành luận văn này. Mặc dù hết sức cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên. Vinh, năm 2011 Tác giả 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là vành giao hoán, có đơn vị và M là một R – môđun. Tiết 1.1 trình bày chiều Krull của môđun. Tiết 1.2 trình bày về địa phương hóa và giá của môđun. Tiết 1.3 dành để trình bày khái niệm và tính chất của dãy chính quy, độ sâu và các mở rộng đã biết của dãy chính quy như khái niệm dãy lọc chính quy giới thiệu bởi Nguyễn Tự Cường, Peter Schenzel và Ngô Việt Trung năm 1978, khái niệm độ sâu lọc giới thiệu bởi Z. Tang năm 2001, khái niệm dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng giới thiệu bởi Lê Thanh Nhàn năm 2005. Tiết 1.4 trình bày một số chuẩn bị về môđun đối đồng điều địa phương. Tiết 1.5 trình bày khái niệm k – dãy chính quy nhằm mục đích trình bày khái niệm k – độ sâu ở chương sau. 1.1. Chiều Krull của môđun Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R: p0 É p1 ÉÉ pn được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. Kí hiệu Spec R là tập các iđêan nguyên tố của R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R. 6 Cho p Î Spec R, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p). Cho I là một iđêan của R. Khi đó độ cao của I được xác định bởi ht(I) = { }inf ( ) Spec ,ht R IÎ Êp p p . Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R. Cho M là một R – môđun. Khi đó ( )dim / RR Ann M được gọi là chiều Krull của môđun M, kí hiệu là dim M. 1.2. Địa phương hóa và giá của môđun 1.2.1. Định nghĩa. Cho p là iđêan nguyên tố của R. Đặt S = R \ p và X = R´S. Trên X, xét quan hệ ( ) ( ), ,a s b t: nếu và chỉ nếu tồn tại u SÎ sao cho u(ta – sb) = 0. Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên X. Với (a,s) Î X ta kí hiệu a / s là lớp tương đương của (a,s). Gọi Rp là tập các lớp tương đương a / s với a Î R và s Î S. Trên Rp ta định nghĩa quy tắc cộng và nhân như sau ; a b at bs a b ab s t st s t st + + = = . Dễ thấy quy tắc cộng và nhân ở trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện của các phần tử trong Rp , vì thế nó là phép toán trên Rp. Cùng với hai phép toán này, dễ thấy Rp là một vành giao hoán, phần tử 0 là 0 / 1, phần tử đơn vị là 1 / 1. Vành Rp được gọi là vành các thương của R theo p hay địa phương hóa của R tại p. Chú ý rằng khái niệm vành các thương Rp là mở rộng của khái niệm trường các thương của một miền nguyên. Khi R 7 là miền nguyên thì 0 là iđêan nguyên tố, và vành địa phương hóa tại iđêan nguyên tố 0 chính là trường các thương của R. Với R không là miền nguyên, với mỗi iđêan nguyên tố p ta cũng có một đồng cấu :f R R¾¾® p cho bởi f(a) = a / 1. Đồng cấu f được gọi là đồng cấu tự nhiên, và phần tử f(a) = a / 1 được gọi là ảnh của phần tử a Î R trong Rp. Tuy nhiên, khác với phép nhúng chính tắc từ một miền nguyên vào trường các thương của nó luôn là đơn cấu, đồng cấu f định nghĩa ở trên không nhất thiết là đơn cấu. Hoàn toàn tương tự ta có khái niệm môđun địa phương hóa. Với S như trên, đặt X = M´S. Trên X, xét quan hệ ( ) ( ), ,x s y t: nếu và chỉ nếu tồn tại u Î S sao cho u(tx – sy) = 0. Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên X. Với ( ),s x XÎ ta kí hiệu x / s là lớp tương đương của (x,s). Gọi Mp là tập các lớp tương đương x / s với x Î M và s Î S. Trên Mp ta định nghĩa quy tắc cộng và nhân với vô hướng như sau: ; x y xt ys a x ax s t st s t st + + = = . Dễ thấy quy tắc cộng và nhân với vô hướng ở trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện của các phần tử trong Rp và Mp, vì thế nó là phép cộng trên Mp và tích với vô hướng từ Rp vào Mp. Cùng với chúng, dễ thấy Mp là một Rp – môđun. Môđun này là môđun các thương của M theo p hay địa phương hóa của M tại p. 1.2.2. Định nghĩa. Kí hiệu Supp M là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp ¹ 0. Tập Supp M được gọi là giá của M. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu { }( ) .V I SpecR I= Î Êp p 1.2.3. Định nghĩa. Với mỗi x MÎ , ta kí hiệu 8 { } { } { } ( ) 0 ; 0 0, . R R Ann x a R ax Ann M a R aM a R ax x R = Î = = Î = = Î = " Î Ta có ( )RAnn x và RAnn M là những iđêan của R; RAnn M gọi là linh hóa tử của M. Hơn nữa nếu M là R – môđun hửu hạn sinh thì Supp ( ).RM V Ann M= 1.2.4. Mệnh đề. Supp M là tập các iđêan nguyên tố chứa Ann M. 1.3. Một số mở rộng đã biết của dãy chính quy Một phần tử a RÎ được gọi là ước của 0 trong vành R nếu 0a ¹ và tồn tại phần tử 0 b R¹ Î sao cho 0ab = . Một phần tử a RÎ được gọi là chính quy trong vành R nếu nó không là ước của 0, trong trường hợp này luật giản ước được thực hiện đối với phần tử a. Khái niệm ước của 0 được mở rộng cho môđun. Tổng quát hơn, với M là một R- môđun, ta có khái niệm M – dãy chính quy, khái niệm này được sử dụng như một công cụ rất hữu ích trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. 1.3.1. Định nghĩa. (i) Một phần tử a RÎ được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại một phần tử , 0m M mÎ ¹ sao cho 0am = . (ii) Phần tử a RÎ được gọi là M – chính quy nếu M aM¹ và a không là ước của 0 đối với M. (iii) Một dãy 1 1,..., ia a R- Î được gọi là một M – dãy chính quy nếu 1 1( ,...., )iM a a M-¹ và ia là 1 1/ ( ,..., )iM a a M- - chính quy với mọi 1,....,i n= . Nhắc lại rằng vành R được gọi là vành Noether nếu mỗi dãy tăng những iđêan trong R đều dừng, tức là nếu 0 1 .... ....nI I IÍ Í Í Í là một dãy tăng những iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên 0n sao cho 0n nI I= với 9 mọi 0n n³ . Một R – môđun M được gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng những môđun con của M đều dừng. Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một hệ S gồm hữu hạn phần tử 1,...., nm m MÎ sao cho mỗi phần tử m MÎ đều là một tổ hợp tuyến tính của hệ S (tức là 1 1 .... n nm a m a m= + + với 1 ,...., na a RÎ ). Trong trường hợp này ta viết 1( ,...., )nM m m= . Một số tính chất của môđun Noether và mối quan hệ giữa môđun Noether và môđun hữu hạn sinh được cho bởi mệnh đề sau. 1.3.2. Mệnh đề. Các phát biểu sau là đúng. (i) Nếu M là Noether thì mọi môđun con, môđun thương của M cũng là Noether. (ii) Nếu M Noether thì M là hữu hạn sinh và mọi môđun con của M là hữu hạn sinh. (iii) Nếu M là hữu hạn sinh và R là vành Noether thì M là môđun Noether. Một vành Noether R được gọi là vành địa phương nếu R có duy nhất một iđêan tối đại. Khi viết (R, m) là vành Noether địa phương thì ta hiểu m là iđêan duy nhất của R. Chú ý rằng nếu (R , m) là vành địa phương và M là R – môđun hữu hạn sinh thì M IM¹ với mọi iđêan I Í m. Từ nay về sau, luôn giả thiết R là vành Noether và M là R – môđun hữu hạn sinh. Sau đây là một số tính chất của dãy chính quy. 1.3.3. Mệnh đề. Các phát biểu sau đây là đúng. (i) Nếu 1,..., na a là một M – dãy chính quy thì 11 ,..., nkk na a cũng là M – dãy chính quy với mọi số tự nhiên 1,...., nk k . 10 (ii) Nếu (R, m) là vành địa phương và ia không là ước của 0 đối với 1 1/ ( ,...., )iM a a M- với mọi i thì 1,..., na a là M – dãy chính quy. (iii) Nếu ( R, m ) là vành địa phương thì mọi hoán vị của M – dãy chính quy là M – dãy chính quy. 1.3.4. Mệnh đề. Cho I là một iđêan của R. Khi đó mọi dãy chính quy của M trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy tối đại, và các dãy chính quy tối đại của M trong I có chung độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth (I, M). Khi (R, m) là vành địa phương thì độ sâu của M trong m được kí hiệu là depth M và được gọi là độ sâu của M. 1.3.5. Định nghĩa. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử m MÎ sao cho Ann ( )R m=p . Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR M hay Ass M. 1.3.6. Mệnh đề. Cho (R, m) là vành địa phương. Khi đó phần tử a Î m là phần tử M – chính quy nếu và chỉ nếu aÏ p với mọi p Î Ass M. Đặc biệt, M có phần tử chính quy trong m nếu và chỉ nếu m Ass MÏ . Giả thiết (R, m) là vành địa phương và M là R – môđun hữu hạn sinh. Khái niệm dãy lọc chính quy được định nghĩa năm 1978 bởi Nguyễn Tự Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [5] là một mở rộng của khái niệm dãy chính quy . 1.3.7. Định nghĩa. Một phần tử a Î m được gọi là phần tử lọc chính quy đối với M nếu a Ï p với mọi p Î AssM\{m}. Một dãy các phần tử 1 ,...., na a của R được gọi là M – dãy lọc chính quy nếu ia là phần tử lọc chính quy của 1/ ( ,...., )nM a a M với mọi 1,....,i n= . 11 1.3.8. Định nghĩa. (i) Ta gọi độ dài của M là n nếu tồn tại một dãy tăng những môđun con của M có độ dài n và không tồn tại một dãy tăng những môđun con của M có độ dài lớn hơn n. Trong trường hợp tồn tại dãy tăng những môđun con của M có độ dài tùy ý thì ta nói M có độ dài vô hạn. Độ dài của M được kí hiệu là ( )Ml . (ii) Ta gọi chiều của M, kí hiệu là dim M, là số d nếu tồn tại một dãy tăng những iđêan nguyên tố của R chứa Ann M có độ dài d nhưng không tồn tại một dãy tăng những iđêan nguyên tố của R chứa Ann M có độ dài lớn hơn d. 1.3.9. Mệnh đề. Các phát biểu sau là đúng. (i) Phần tử a Î m là M – lọc chính quy nếu và chỉ nếu 0 :M a có độ dài hữu hạn. (ii) Phần tử a Î m là M – lọc chính quy nếu và chỉ nếu ( )dim 0: 0M a £ . (iii) Phần tử M – lọc chính quy trong m luôn tồn tại. Hơn nữa, với mổi số tự nhiên n luôn tồn tại một M – dãy lọc chính quy trong m có độ dài n. (iv) Cho I là iđêan của R. Nếu dim M/IM > 0 thì mỗi dãy M – lọc chính quy trong I có thể mở rộng thành một dãy lọc chính quy tối đại, và các M – dãy lọc chính quy tối đại trong I đều có chung độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu lọc của M trong I và được kí hiệu là f – depth (I, M). 1.3.10. Mệnh đề. Các phát biểu sau đây là đúng. (i) Nếu I là iđêan của R thì depth( , ) f - depth( , )I M I M£ (ii) depth M £ dim M. (iii) Nếu dim (M/IM) > 0 thì f - depth (I, M) £ dim M. 12 dim(0 : ) 1.M a £ (iv) Nếu dim (M/IM) = 0 thì f - depth (I, M) = ¥. Khái niệm dãy chính quy suy rộng, được định nghĩa năm 2005 bởi L. T. Nhàn [9], là một mở rộng của khái niệm dãy lọc chính quy. 1.3.11. Định nghĩa. Một phần tử a RÎ được gọi là phần tử chính quy suy rộng đối với M nếu a Ï p với mọi p Î Ass M thỏa mãn tính chất dim (R/ p) > 1. Một dãy các phần tử 1,..., na a của R được gọi là M – dãy chính quy suy rộng nếu ia là phần tử chính quy suy rộng của ( )1/ ,...., nM a a M với mọi 1,...., .i n= 1.3.12. Mệnh đề. Các phát biểu sau đây là đúng. (i) Phần tử a Î m là chính quy suy rộng đối với M nếu và chỉ nếu (ii) Nếu I là iđêan của R sao cho ( )dim / 1R I £ thì phần tử M – chính quy suy rộng trong I luôn tồn tại. Hơn nữa, với mỗi số tự nhiên n luôn tồn tại một M – dãy lọc chính quy trong I có độ dài n. (iii) Cho I là iđêan của R. Nếu dim M/IM > 1 thì mỗi M – dãy chính quy suy rộng trong I có thể mở rộng thành một M – dãy chính quy suy rộng tối đại, và các M – dãy chính quy suy rộng tối đại trong I đều có chung độ dài . Độ dài chung này được gọi là độ sâu suy rộng của M trong I và được kí hiệu là gdepth (I, M). 1.3.13. Mệnh đề. Các phát biểu sau đây là đúng. (i) Nếu I là iđêan của R thì f – depth (I, M) £ gdepth (I, M). (ii) Nếu dim (M/IM) > 1 thì gdepth (I, M) £ dim M. (iii) Nếu dim (M/IM) £ 1 thì gdepth (I, M) = ¥. 1.4. Môđun đối đồng điều địa phương 13 Giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương. Một dãy các R – môđun và các đồng cấu R – môđun 1 1 1 i if f i i iM M M-- +¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾®L L được gọi là một đối phức nếu 1Im Keri if f- Í với mọi i. Nếu dãy này là một đối phức thì môđun 1Ker / Imi if f - được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của đối phức này. Dãy trên được gọi là khớp tại mắt thứ i nếu 1Im = Keri if f- . Ta gọi dãy này là khớp nếu nó khớp tại mọi mắt. Một dãy khớp có dạng 0 ' " 0f gM M M¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® được gọi là một dãy khớp ngắn. Chú ý rằng dãy này là khớp khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f = Ker g. 1.4.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của R. Với mỗi R – môđun N ta định nghĩa ( ) 0 ( ) 0 : nI N n N I ³ G =U . Nếu : 'f N N¾¾® là đồng cấu các R – môđun thì ta có đồng cấu * : ( ) ( ')I If N NG ¾¾®G cho bởi * ( ) ( ).f x f x= Khi đó nếu 0 ' " 0f gM M M¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® là một dãy khớp ngắn các R – môđun thì dãy cảm sinh * * 0 ( ') ( ) ( ") 0f gI I IM M M¾¾®G ¾¾®G ¾¾®G ¾¾® cũng khớp. Vì hàm tử ( )IG - có tính chất đã nêu ở trên nên ta nói ( )IG - là hàm tử hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R – môđun đến phạm trù các R – môđun. Hàm tử ( )IG - được gọi là hàm tử I - xoắn . Một R – môđun E được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu f : N ® M và mỗi đồng cấu g: N ® E, tồn tại một đồng cấu h: M ® E sao cho g = hf. Cho E là một R – môđun và M là môđun con của E. Ta nói E là một mở rộng cốt yếu của M nếu M Ç L ¹ 0 với mọi môđun con L ¹ 0 của 14 E. Ta nói E là bao nội xạ của M nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và E là một môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi R – môđun M đều có bao nội xạ và bao nội xạ của M là xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu. Vì thế ta kí hiệu bao nội xạ của M là ER(M) hay E(M). 1.4.2. Định nghĩa. Một lời giải nội xạ của một R – môđun N là một dãy khớp 0 1 20 N E E E¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾®L trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều nhúng được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có lời giải nội xạ. 1.4.3. Định nghĩa. Cho N là R – môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I – xoắn ( )IG - ứng với N được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của N với giá I, kí hiệu là ( )nIH N . Cụ thể, nếu 0 1 0 1 20 u uN E E E¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾®L là giải nội xạ của N, tác động hàm tử ( )IG - ta có đối phức 0 1 0 1 20 ( ) ( ) ( ) u uE E E¾¾®G ¾¾®G ¾¾®G ¾¾®L Khi đó ( ) * * 1Ker / ImnI n nH N u u -= , tức là môđun đối đồng điều thứ n của N với giá I chính là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên. Chú ý rằng môđun * * 1Ker / Imn nu u - không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của N. Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương. 1.4.4. Mệnh đề. Cho N là một R – môđun. Các phát biểu sau đây là đúng. (i) ( ) ( )0I IH N N@ G (ii) Nếu N là nội xạ thì ( ) 0iIH N = với mọi 1.i ³ (iii) Nếu ( )IN N= G thì ( ) 0iIH N = với mọi 1.i ³ 15 (iv) ( )iIH M là môđun I – xoắn với mọi I, tức là ( ) ( )( )i iI I IH M H M= G . Đặc biệt, ( )( ) 0j iI IH H M = với mọi j > 0. 1.4.5. Mệnh đề. Cho 0 ' " 0N N N¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® là dãy khớp ngắn các R – môđun. Khi đó tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu ( ): "nn IH Nd ¾¾® 1 ( ')nIH N+ sao cho ta có dãy khớp dài 0 1 1 1 1 2 0 ( ') ( ) ( '') ( ') ( ) ( '') ( ') I I I I I I I N N N H N H N H N H N d d ¾¾®G ¾¾®G ¾¾®G ¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾® ¾¾®L Các đồng cấu nd trong mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối. 1.4.6. Mệnh đề. Đặt ( )/ IM M M= G . Khi đó với mọi số tự nhiện 1n ³ ta có ( ) ( )n nI IH M H M@ . Độ sâu của môđun M trong một iđêan I được đặc trưng thông qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau. 1.4.7. Mệnh đề. Cho I là iđêan của R ta có ( ) { }depth , inf ( ) 0 .iII M i H M= ¹ Kết quả sau đây nói rằng chiều của một môđun hữu hạn sinh M là một bất biến quan trọng của M có liên quan trực tiếp tới tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương. 1.4.8. Mệnh đề. { }dim sup ( ) 0iM i H M= ¹m . Kí hiệu ara (I) là số tự nhiên t bé nhất sao cho có t phần tử của R sinh ra I . Ta có kết quả sau. 1.4.9. Mệnh đề. ( ) 0iIH M = với mọi ( )i ara I> . Một R – môđun A được gọi là Artin nếu mỗi dãy giảm các môđun con của A đều dừng. Độ sâu lọc cũng đặc trưng thông qua tính không Artin của môđun đối đồng điều địa phương như sau 16 1.4.10. Mệnh đề. { }f-depth( , ) inf ( ) không ArtiniII M i H M= . Cho L là một R – môđun tùy ý (không nhất thiết hữu hạn sinh). Chiều của giá của L, kí hiệu là dim Supp L, được định nghĩa là số n nếu có một dãy tăng những iđêan nguyên tố trong Supp L có độ dài lớn hơn n. Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng độ sâu lọc được đặc trưng thông qua chiều của giá của môđun đối đồng điều địa phương . 1.4.11. Mệnh đề. ( ) { }f-depth , inf dimSupp ( ) 0iII M i H M= > . Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng độ sâu suy rộng được đặc trưng thông qua tính hữu hạn của giá của môđun đối đồng điều địa phương. 1.4.12. Mệnh đề. gdepth( ),I M = inf { i ê Supp ( )iIH M là tập vô hạn }. 1.5. k – dãy chính quy 1.5.1. Định nghĩa. (i) Cho 0k ³ là một số tự nhiên. Một dãy 1,......, nx x các phần tử của m được gọi là một k – dãy chính quy đối với M nếu xi Ï p với mọi p ( )1 1/ ,..., iAss M x x M-Î thỏa mãn tính chất dim R/p ³ k , với mọi i = 1,,n . (ii) Một phần tử x Î m được gọi là k – chính quy đối với M nếu x Ï p đối với M nếu x Ï p với mọi p Î Ass M thỏa mãn điều kiện dim R/p ³ k. 1.5.2. Nhận xét. Khái niệm k – dãy chính quy là mở rộng của các khái niệm dãy chính quy, dãy lọc chính quy và dãy chính quy suy rộng. Khi k = -1 thì k – dãy chính quy là các dãy chính quy thông thường. Khi k = 0 thì các dãy chính quy là các dãy lọc chính quy, và khi k = 1 thì các k – dãy chính quy là các dãy chính quy suy rộng. 17 Chương 2 k – độ sâu và áp dụng nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương Chương này giới thiệu khái niệm k – độ sâu và những ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương. Các kết quả của chương này được tham khảo từ một phần bài báo ra năm 2008 của Nông Quốc Chinh và Lê Thanh Nhàn [6]. 2.1. k – độ sâu Trong tiết này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M là R – môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho I là iđêan của R và k ³ - 1 là một số nguyên. 2.1.1. Định nghĩa. Cận trên của các độ dài của các k – dãy chính quy của M trong I được gọi là k – độ sâu của M trong I và được kí hiệu bởi k – depth(I; M). 18 Trước khi trình bày một số tính chất về k – độ sâu ta cần nhắc lại khái niệm hệ tham số của M. Ta đã biết rằng độ dài ( / )nM m Ml là một đa thức với hệ số hữu tỷ với n đủ lớn và { }1 1 deg( ( / )) inf ,...., , ( / ( ,...., ) ) . n t t d M m M t x x m M x x M = = $ Î < ¥ l l Vì thế luôn tồn tại một hệ gồm d phần tử ( )1 ,......, dx x sao cho độ dài 1( / ( ,...., ) )dM x x Ml là hữu hạn. Một hệ như thế được gọi là hệ tham số của M. Một hệ ( )1 ,......, rx x với r d£ được gọi là một phần hệ tham số của M nếu có thể bổ sung thêm d – r phần tử để được một hệ tham số của M. 2.1.2. Bổ đề. Giả sử dim(M / IM) = d – r . Khi đó (i) k – depth (I;M) £ r với mọi k = 0, 1,, d – r . (ii) k – depth (I;M) = ¥ với mọi k > d – r . Chứng minh. (i). Cho k £ d – r . Khi đó mỗi dãy k – chính quy của M trong I là một phần hệ tham số của M. Chú ý rằng mỗi phần hệ tham số của M trong I đều có độ dài không quá r. Vì thế k – depth(I;M) £ r. (ii). Cho k > d – r. Giả thiết rằng k – depth(I;M) = n < ¥. Cho 1,..., nx x là một k – dãy chính quy của M trong I. Nếu I Í p với p Î Ass 1( / ( ,...., ) )nM x x M nào đó thỏa mãn dim R / p ³ k thì d – r = dim M/IM ³ dim (M/ pM) = dim R/ p ³ k > d – r , điều này là vô lí. Vì thế I Í p với mọi p Î Ass 1( / ( ,...., ) )nM x x M thỏa mãn dim R /p ³ k. Suy ra, tồn tại một phần tử 1nx I+ Î sao cho 1 1,...., nx x + là một k – dãy chính quy của M. Suy ra k – depth(I ; M) ³ n + 1 Điều này là vô lí. ð 19 2.1.3 Định nghĩa. Một k – dãy chính quy 1,...., nx x của M trong I được gọi là tối đại nếu không tồn tại một phần tử y IÎ sao cho 1,...., ,rx x y vẫn là k – dãy chính quy của M. Theo Bổ đề 2.1.2 và những tính chất về dãy chính quy đã trình bày trong chương I ta có kết quả sau. 2.1.4 Hệ quả. Giả sử dim( / )M IM k³ . Khi đó ta có (i) Mỗi k – dãy chính quy của M trong I có độ dài hữu hạn, các k – dãy chính quy tối đại của M trong I có chung độ dài. Độ dài chung này chính là k – độ sâu của M trong I . (ii) Nếu 1x IÎ là một phần tử k – chính quy đối với M thì 1depth( ; ) depth( ; / ) 1k I M k I M x M- = - + . Kết quả tiếp theo là một số đặc trưng của k – độ sâu. 2.1.5. Mệnh đề. Cho 0k ³ là một số nguyên và I là iđêan nguyên tố của R. Giả sử rằng dim( / )M IM k³ . Khi đó ta có k- depth(I