Luyện thi vào lớp 10

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xBx’ , gọi C, D là hai điểm nằm trên đường tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt Bx’ tại N. a) Chứng minh: Δ ADC ~ Δ AMN. b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp. c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đường tròn. Bài 2: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với AB, AC tại B và C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC. Trên cung BC lấy một điểm M, kẻ MI, MH, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao điểm của CM và IH. a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp. b) Chứng minh MI2 = MH.MK c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp. Suy ra PQ vuông góc với MI. Bài 3: Cho đường tròn (O) và dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > BC, AC > AB; Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau ở E. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của AB với CD; AD với CE. a) Chứng minh DE // BC. b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp. c) Tứ giác PBCQ là hình gì? tại sao? d) Gọi R là giao điểm của AD và BC. Chứng minh Bài 4: Cho đường tròn (O) , vẽ dây AB. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở P. a) Chứng minh tứ giác AOBP nội tiếp. b) Kẻ hai dây AC // BD và nằm cùng phía đối với AB. Gọi Q là giao điểm của AD và BC. Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp. c) Chứng minh PQ // AC. Bài 5: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau ( R > R’ ). Các tiếp tuyến chung MN và PQ ( M, P nằm trên (O) ) a) Chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, OO’ đồng quy tại một điểm. b) Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp. c) Xác định vị trí của (O) và (O’) sao cho đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với MN và PQ. d) MQ cắt (O) , (O’) lần lượt tại S và T. Chứng minh MS = QT.. Bài 6: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D. Lấy điểm M trên cung nhỏ CB. Đường thẳng MB cắt (O’) tại N, CM cắt DN tại P. a) AMN là tam giác gì? tại sao? b) Chứng minh tứ gicá ACPD nội tiếp. c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O’). Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao? d) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N. Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ BC thì điểm E luôn nằm trên một đường tròn cố định. AV Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M nằm trên cung AB, gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tạ A ở K. AH cắt BM tại S. a) Tam giác Bá là tam giác gì? tại sao? Suy ra S nằm trên một đường tròn cố định. b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng KS với (B, BA ). c) Đường tròn đi qua B, I, S cắt đường tròn (B, BA ) tại N. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động. d) Xác định vị trí của M sao cho Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, một điểm M thay đổi trên cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BM tại N và cắt NA tại P. a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, N cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCP. c) Gọi D, E là các điểm đối xứng với M qua BA và BC chứng minh tứ giác BDCE nội tiếp. d) Xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE có đường kính nhỏ nhất. Bài 9: Cho đường tròn (O, R) đường kính AB, một điểm M trên đường tròn sao cho MA > MB, Các tiếp tuyến của đường tròn tại M và B cắt nhau ở P, các đường thẳng AB, MP cắt nhau tại Q; các đường thẳng AM, OM cắt BP lần lượt tại R, S. a) Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang. b) Chứng minh MB // SQ. c) Gọi C là điểm đối xứng với M qua AB. Chứng minh tứ giác AQS C nội tiếp. d) Gọi D là giao điểm của AM và SQ, cho biết OMDP là hình bình hành. Tính OS theo R. Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi M, N lần lượt là các điểm chính giữa của các cung AC, AD. MN cắt AC, AD thứ tự tại H, I; MD cắt CN tại K. a) Chứng minh ΔNKD, ΔMAK cân. b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp; suy ra KH // AD. c) So sánh góc CAK và DAK. d) Tìm hệ thức giữa số đo cung AC và AD là điều kiện cần và đủ để AK // ND. Bài 11: Cho đường tròn (O) trên đó có cung cố định AB bằng 900 và một điểm C thay đổi trên cung lớn AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AH, BH cắt (O) lần lượt tại M, N, AN cắt BM tại P. a) Chứng minh M, O, N thẳng hàng. b) Tứ giác ACBP là hình gì? tại sao? c) Chứng minh CO // PH. d) Chứng minh không phụ thuộc vào vị trí điểm C . Bài 12: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A, B ). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tạ M và cắt đường trung trực của đoạn thẳng AB tại I. Đường tròn tâm I tiếp xúc với AB và cắt d tại C, D ( D nằm trong góc BOM ). a) Chứng minh OC, OD lần lượt là tia phân giác của góc AOM, BOM. b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB. c) Chứn minh AC.BD = R2. d) Xác định vị trí điểm M sao cho SABCD nhỏ nhất. Bài 13: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M trên cung AB và điểm C nằm giữa A và B sao cho CA < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tiaAx, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax, By theo thứ tự tại P, Q. Gọi giao điểm của AM với CP; BM với CQ lần lượt là R, S. a) Chứng minh các tứ giác APMC, BQMC, RMSC nội tiếp. b) Chứng minh RS // AB. c) Tứ giác áC có thể là hình bình hành không? tại sao? d) Chứng minh nếu RC.RP = SC thì RC = SQ; RP = SC. Bài 14: Cho ΔABC > 900 ) nội tiếp đường tròn (O), một điểm M di động trên cung lớn AB. Gọi I là giao điểm của MC với AB và D là giao điểm của các tiếp tuyến tại B, C.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của IM, IA. a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp. b) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác BICD nội tiếp. c) Xác định vị trí của M để tứ giác AMPQ nội tiếp. d) Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để khi tứ giác BICD nội tiếp thì hai đường tròn (B, C, I) và (B, C, Q) bằng nhau. Bài 15: Cho góc xAy, một đường tròn (O) cắt Ax, Ay tại M, N, P, Q sao cho N nằm trên tia Mx, Q nằm trên tia Py, kẻ dây MR // PQ. a) So sánh góc PMR với MNQ. b) Chứng minh ΔANQ~ ΔPNR. c) Chứng minh đường tròn ( A, N, P) tiếp xúc với PR. d) Cho MR = PQ chứng minh (A,N,P) và (I,N,R) tiếp xúc với nhau tại N. Bài 16: Từ một điểm A ở ngoài (O,R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến AKD với đường tròn sao cho BD // AC. Nối BK cắt AC tại I. a) Chứng minh IC2 = IK.IB. b) Chứng minh ΔBAI~ ΔAKI và tính AI nếu KI = 16 cm, BI = 49 cm. c) Chứng minh AI = IC. d) Tìm điều kiện để CK AB. Bài 17: Cho ΔABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. a) Chứng minh BE.BC = BD.BA. b) Chứng minh c) Chứng minh tứ giác AFGC là hình thang. d) Chứng minh ba đường thẳng AC, DE, BF đồng quy. Bài 18: Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC, tia BD cắt tiếp tuyến tại Ax của đường tròn ở E, gọi F là giao điểm của EC với (O). a) Chứng minh BC // Ax. b) Tứ giác ABCE là hình gì? tại sao? c) Gọi I là trung điểm của CF ; BC cắt OI tại G so sánh góc BGO và BAC. d) Cho biết DF = 1/2 BC. Tính góc ABC. Bài 19: Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A nằm trên cung BC sao cho AB > AC. Lấy điểm D trên tia AC sao cho AD = AB, kẻ hình vuông BADE, tia AE cắt đường tròn (O) tại F. a) Chứng minh ΔFBC vuông cân. b) ΔFCD là tam giác gì? tại sao? c) Tiếp tuyến của (O) tạ B cắt CF tạ G. Chứng minh D, E, G thẳng hàng. d) Tìm tập hợp điểm E. Bài 20: Cho đường tròn (O) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Một điểm I nằm giữa O và C. Các tia AI, BI lần lượt cắt (O) tại các điểm M, N. Tia MO cắt dây BN tại P và cắt đương tròn (O) tại Q. AM cắt NQ tại R. a) Chứng minh N, Q đối xứng nhau qua AB. b) Chứng minh c) Chứng minh nếu tứ giác IPQR nội tiếp thì ΔOIP cân. d) Nếu ΔOIP cân thì tứ giác IPQR có nội tiếp được hay không? tại sao? Hướng dẫn Khai thác Bài 21: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cát nhau tại A và B. Các đường thẳng AO và AO’ cắt (O) lần lượt tại C, D và cắt (O’) lần lượt tại E, F. a) Chứng minh C, B ,F thẳng hàng. b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp ΔBDE. d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuýen chung của (O) và (O’). Hướng dẫn Khai thác Bài 22: Cho đường tròn (O)đường kính AC, trên đoạn OC lấy một điẻm B và vẽ đường tròn (O’) đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AB, qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt (O) tại D, E. Nối DC cắt (O’) tại I. a) Tứ giác DABE là hình gì? tai sao? b) Chứng minh BI // AD. c) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI. d) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng MI với (O’). Hướng dẫn Khai thác Bài 23: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tiếp tuyến Bx ở cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Nối A và hai điẻm C và D trên nửa đường tròn chúng lần lượt cắt Bx tại E và F. a) Chứng minh b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. c) Gọi I là trung điểm của FB , chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đường tròn. d) CD cắt Bx tại G, tia phân giác góc CGE cắt AE, AF lần lượt tại M, N. Chứng minh ΔAMN cân. Hướng dẫn Khai thác Bài 24: ChoΔ ABC vuông tại A (AB > AC ) với đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa đỉnh A vẽ đường tròn đường kính BH cắt cạnh AB tại E và đường tròn đường kính HC cắt cạnh AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp. c) Chứng minh EF là tiếp tuyến của hai nửa đường tròn. Hướng dẫn Khai thác