Lý thuyết & bài tập môn Giải tích phức

GIẢI TÍCH PHỨC 01 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu chỉ có ơnh chất tham khảo – hƩp://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm. Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ơch phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở môn học mà ở các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1. Kiến thức bổ trợ a. Đồng nhất số phức Cho ݖ = ݔ + ݅ݕ khi đó phương trình ݖ = ܽ + ܾ݅ ⇔ ቄݔ = ܽݕ = ܾ b. Căn thức Số phức ݓ được gọi là căn bậc ݊ của số phức ݖ nếu ݓ௡ = ݖ (1) và phương trình (1) có đúng ݊ nghiệm được xác định bởi công thức ݓ௞ = √ݎ೙ ൬cosߠ + 2݇ߨ݊ + ݅ sinߠ + 2݇ߨ݊ ൰ , ݊ = 0,1, , ݊ − 1 1.2. Bài tập mẫu Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau: a. ૞ࢠ૛ + ૛ࢠ + ૚૙ = ૙ b. ࢠ૝ + ૡ૚ = ૙ c. ૛ࢠ = ࢏(૛+ ૢ࢏) d. ࢠ + ૛ࢠത = ૛ି࢏ ૚ା૜࢏ e. ࢠ૟ + ૚ = √૜࢏ f. ࢠ૛ = ࢏. Giải: a. 5ݖଶ + 2ݖ + 10 = 0 ⇔ ቎ݖଵ = ିଵା଻௜ହ = − ଵହ + ଻ହ ݅ ݖଶ = ିଵି଻௜ହ = − ଵହ− ଻ହ ݅ b. ݖସ + 81 = 0 ⇔ ݖସ = −81 Ta có −81 = 81(cos(ߨ) + ݅ sin(ߨ)) Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi ݖ௞ = √81ర ൬cosߨ + 2݇ߨ4 + ݅ sinߨ + 2݇ߨ4 ൰ = 3 ൬cosߨ + 2݇ߨ4 + ݅ sinߨ + 2݇ߨ4 ൰ , ݇ = 0,1,2 GIẢI TÍCH PHỨC 02 ݇ = 0 ⇒ ݖ଴ = 3 ቀcos గସ + ݅ sin గସቁ = 3 ቀ√ଶଶ + ݅ √ଶଶ ቁ ݇ = 1 ⇒ ݖଵ = 3 ቀcos ଷగସ + ݅ sin ଷగସ ቁ = 3 ቀ− √ଶଶ + ݅ √ଶଶ ቁ ݇ = 2 ⇒ ݖଶ = 3 ቀcos ହగସ + ݅ sin ହగସ ቁ = 3 ቀ− √ଶଶ − ݅ √ଶଶ ቁ ݇ = 3 ⇒ ݖଷ = 3 ቀcos ଻గସ + ݅ sin ଻గସ ቁ = 3 ቀ√ଶଶ − ݅ √ଶଶ ቁ Vậy ݖ଴, ݖଵ,ݖଶ,ݖଷ là nghiệm của phương trình ݖସ + 81 = 0 c. 2ݖ = ݅(2 + 9݅) ⇔ 2ݖ = −9 + 2݅ ⇔ ݖ = − ଽ ଶ + ݅ d. Đặt ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ݖ + 2ݖ̅ = 2 − ݅1 + 3݅ ⇔ ݔ + ݅ݕ + 2(ݔ − ݅ݕ) = (2 − ݅)(1 − 3݅)10 ⇔ 3ݔ − ݅ݕ = − 110 − 710 ݅ ⇔ ൝ 3ݔ = − ଵ ଵ଴ −ݕ = − ଻ ଵ଴ ⇔ ൝ ݔ = − ଵ ଷ଴ ݕ = ଻ ଵ଴ Vậy ݖ = − ଵ ଷ଴ + ଻ ଵ଴ ݅ e. ݖ଺ + 1 = √3݅ ⇔ ݖ଺ = −1 + √3݅ Ta có −1 + √3݅ = 2 ቀ− ଵ ଶ + √ଷ ଶ ݅ቁ = 2 ቀcos ଶగ ଷ + ݅ sin ଶగ ଷ ቁ Khi đó căn bậc 6 của −1 + √3݅ được xác định bởi ݖ௞ = √2ల ቌcos 2ߨ3 + 2݇ߨ6 + ݅ sin 2ߨ3 + 2݇ߨ6 ቍ = √2ల ൬cosߨ + 3݇ߨ9 + ݅ sinߨ + 3݇ߨ9 ൰ ݇ = 0 ⇒ ݖ଴ = √2ల ቀcosߨ9 + ݅ sinߨ9ቁ ݇ = 1 ⇒ ݖଵ = √2ల ൬cos 4ߨ9 + ݅ sin 4ߨ9 ൰ ݇ = 2 ⇒ ݖଶ = √2ల ൬cos 7ߨ9 + ݅ sin 7ߨ9 ൰ ݇ = 3 ⇒ ݖଷ = √2ల ൬cos 10ߨ9 + ݅ sin 10ߨ9 ൰ GIẢI TÍCH PHỨC 03 ݇ = 4 ⇒ ݖସ = √2ల ൬cos 13ߨ9 + ݅ sin 13ߨ9 ൰ ݇ = 5 ⇒ ݖହ = √2ల ൬cos 16ߨ9 + ݅ sin 16ߨ9 ൰ Vậy ݖ଴, ݖଵ,ݖଶ,ݖଷ,ݖସ,ݖହ là nghiệm của phương trình ݖ଺ + 1 = √3݅. f. ݖଶ = ݅ Ta có ݅ = cos గ ଶ + ݅ sin గ ଶ Khi đó căn bậc 2 của ݅ được xác định bởi ݖ௞ = cosߨ2 + 2݇ߨ2 + ݅ sinߨ2 + 2݇ߨ2 = cosߨ + 4݇ߨ4 + ݅ sinߨ + 4݇ߨ4 , ݇ = 0,1. ݇ = 0 ⇒ ݖ଴ = cosߨ4 + ݅ sinߨ4 = √22 + ݅ √22 ݇ = 1 ⇒ ݖଵ = cos 5ߨ4 + ݅ sin 5ߨ4 = −√22 − ݅ √22 Vậy ݖ଴, ݖଵ là nghiệm của phương trình ݖଶ = ݅. Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: ࢠ૛(૚ − ࢠ૛) = ૚૟ Giải: ݖଶ(1 − ݖଶ) = 16 ⇔ ݖସ − ݖଶ + 16 = 0 ⇔ ൤ݖଶ = 1 + 3√7݅ ݖଶ = 1 − 3√7݅ Xét 1 + 3√7݅ có ݎ = √1 + 63 = 8 ቐ cosߠ = ௫ ௥ = ଵ ଼ sinߠ = ௬ ௥ = ଷ√଻ ଼ , khi đó căn bậc 2 của 1 + √63݅ được xác định bởi ݖ௞ = √8 ൬cosߠ + 2݇ߨ2 + ݅ sinߠ + 2݇ߨ2 ൰ = 2√2 ൬cosߠ + 2݇ߨ2 + ݅ sinߠ + 2݇ߨ2 ൰ , ݇ = 0,1. ݇ = 0 ⇒ ݖ଴ = 2√2 ൬cosߠ2 + ݅ sinߠ2൰ ݇ = 1 ⇒ ݖଵ = 2√2 ൬cosߠ + 2ߨ2 + ݅ sinߠ + 2ߨ2 ൰ = −2√2 ൬cosߠ2 + ݅ sinߠ2൰ GIẢI TÍCH PHỨC 04 Ta có cos ఏ ଶ = ±ටଵାୡ୭ୱఏ ଶ = ±ටଵାభఴ ଶ = ± ଷ ସ và sin ఏ ଶ = ±ටଵିୡ୭ୱఏ ଶ = ±ටଵିభఴ ଶ = ± √଻ ସ Chọn cos ఏ ଶ = ଷ ସ ; sin ఏ ଶ = √଻ ସ , khi đó ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ݖ଴ = 2√2ቆ34 + √74 ݅ቇ ݖଵ = −2√2ቆ34 + √74 ݅ቇ Vậy ݖ଴, ݖଵ là nghiệm của phương trình ݖଶ = 1 + 3√7݅ Làm tương tự với 1 − 3√7݅ trong đó chọn cos ఏ ଶ = ଷ ସ ; sin ఏ ଶ = − √଻ ସ , khi đó ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ݖ଴ ᇱ = 2√2ቆ34 −√74 ݅ቇ ݖଵ ᇱ = −2√2ቆ34 − √74 ݅ቇ Vậy ݖ଴ᇱ , ݖଵᇱ là nghiệm của phương trình ݖଶ = 1 − 3√7݅ Suy ra ݖ଴,ݖଵ, ݖ଴ᇱ , ݖଵᇱ là nghiệm của phương trình ݖଶ(1 − ݖଶ) = 16 II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC 2.1. Kiến thức bổ trợ Để Ơm ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức ݓ = ݂(ݖ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ), ta xác định mối liên hệ của ݑ,ݒ dựa trên miền cho trước Ngược lại để Ơm tạo ảnh của hàm ݑ(ݔ,ݕ),ݒ(ݔ,ݕ), ta xác định mối liên hệ của ݔ, ݕ. 2.2. Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường ࢞ = ૚ qua ánh xạ phức ࢝ = ૚ ࢠ . (Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ݓ = ଵ ௭ = ଵ ௫ା௜௬ = ௫ ௫మା௬మ − ௬ ௫మା௬మ ݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) GIẢI TÍCH PHỨC 05 ⇒ ൞ ݑ(ݔ, ݕ) = ݔ ݔଶ + ݕଶ ݒ(ݔ, ݕ) = − ݕ ݔଶ + ݕଶ Với ݔ = 1, khi đó ݑ(ݔ, ݕ) = ଵ ଵା௬మ và ݒ(ݔ,ݕ) = − ௬ ଵା௬మ ⇒ ݑଶ + ݒଶ = 1 + ݕଶ(1 + ݕଶ)ଶ = 11 + ݕଶ = ݑ ⇔ ݑଶ − ݑ + ݒଶ = 0 ⇔ ൬ݑ − 12൰ଶ + ݒଶ = 14 Vậy ảnh của đường ݔ = 1 là đường tròn tâm (ଵ ଶ , 0), bán kính là ଵ ଶ . Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để Ơm ảnh của đường tròn |ࢠ − ࢠ૙| = ࡾ qua ánh xạ phức ࢝ = ࢏ࢠ − ૛. Giải: Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, ݖ଴ = ݔ଴ + ݅ݕ଴ Ta có |ݖ − ݖ଴| = ܴ ⇒ ݖ − ݖ଴ = ܴ݁௜௧ ⇔ ݖ = ݖ଴ + ܴ݁௜௧, khi đó ݓ = ݅ݖ − 2 = ݅(ݖ଴ + ܴ݁ ௜௧) − 2 = ݅൫ݔ଴ + ݅ݕ଴ + ܴ(cos ݐ + ݅ sin ݐ)൯ − 2 = (−ݕ଴ − 2 − ܴ sin ݐ) + ݅(ݔ଴ + ܴ cos ݐ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ,ݕ) = −ݕ଴ − 2 − ܴ sin ݐ ݒ(ݔ, ݕ) = ݔ଴ + ܴ cos ݐ ⇔ ൜ܴ sin ݐ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݕ଴ + 2ܴ cos ݐ = ݒ(ݔ,ݕ) − ݔ଴ ⇒ (ݑ + (ݕ଴ + 2) )ଶ + (ݒ − ݔ଴ )ଶ = ܴଶ Vậy ảnh của đường tròn |ݖ − ݖ଴| = ܴ qua ánh xạ ݓ = ݅ݖ − 2 là đường tròn tâm (−ݕ଴ − 2, ݔ଴), bán kính ܴ. Bài 2.3: Cho hàm ࢝ = ࢠ૛. Tìm ảnh của: a. Đường tròn |ࢠ| = ૛, b. Miền quạt ૙ < ࢇ࢘ࢍࢠ < ࣊ ૛ . Giải: a. Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ݓ = ݖଶ = (ݔ + ݅ݕ)ଶ = ݔଶ − ݕଶ + 2ݔݕ݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݕଶ ݒ(ݔ,ݕ) = 2ݔݕ Ta có phương trình tham số của đường tròn |ݖ| = 2 là: ൝ݔ = 2 cos ݐݕ = 2 sin ݐ0 ≤ ݐ ≤ 2ߨ GIẢI TÍCH PHỨC 06 Khi đó: ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = (2 cos ݐ)ଶ − (2 sin ݐ)ଶ = 4(cosଶݐ − sinଶݐ ) = 4 cos 2ݐ ݒ(ݔ, ݕ) = 2.2 cos ݐ . 2 sin ݐ = 4 sin 2ݐ ⇒ ቀ ݑ4ቁଶ + ቀݒ4ቁଶ = cosଶ2ݐ + sinଶ2ݐ = 1 ⇔ ݑଶ + ݒଶ = 16 Vậy ảnh của đường tròn |ݖ| = 2 trong mp(ݖ) là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính là 4 trong mp(ݓ) b. Đặt ܽݎ݃ݖ = ߙ ⇒ 0 < ߙ < గ ଶ Ta có ݖ = ݎ(cosߙ + ݅ sinߙ) ⇒ ݓ = ݖଶ = ݎଶ(cos 2ߙ + ݅ sin 2ߙ) ⇒ ܽݎ݃ݓ = 2ߙ Ta coi miền quạt 0 < ܽݎ݃ݖ < గ ଶ được quét bởi Ɵa ܽݎ݃ݖ = ߙ, với biến thiên từ 0 đến గ ଶ Theo chứng minh trên thì ảnh của Ɵa ܽݎ݃ݖ = ߙ qua phép biến hình ݓ = ݖଶ là Ɵa ܽݎ݃ݓ =2ߙ. Khi ߙ biến thiên từ 0 đến గ ଶ thì 2ߙ biến thiên từ 0 đến ߨ. Vậy ảnh của miền quạt 0 < ܽݎ݃ݖ < గ ଶ là nửa mặt phẳng trên 0 < ܽݎ݃ݓ < ߨ. Bài 2.4: Cho hàm ࢝ = ૚ ࢠ , ࢠ = ࢞ + ࢏࢟. Tìm: a. Ảnh của đường ࢞ = ࢉ b. Tạo ảnh của đường ࢛ = ࢉ. Giải: a. Ta có: ݓ = 1 ݖ = 1 ݔ + ݅ݕ = ݔ − ݅ݕݔଶ + ݕଶ = ݔݔଶ + ݕଶ − ݕݔଶ + ݕଶ ݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) ⇒ ൞ ݑ(ݔ, ݕ) = ݔ ݔଶ + ݕଶ ݒ(ݔ, ݕ) = − ݕ ݔଶ + ݕଶ + Trường hợp ݔ = ܿ = 0, khi đó ቊ ݑ(ݔ, ݕ) = 0 ݒ(ݔ, ݕ) = − ଵ ௬ , (ݕ ≠ 0) ⇒ ݓ = − ௜௬ Vậy ảnh của đường ݔ = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp ݔ = ܿ ≠ 0, khi đó GIẢI TÍCH PHỨC 07 ൞ ݑ(ݔ,ݕ) = ܿ ܿଶ + ݕଶ ݒ(ݔ,ݕ) = − ݕ ܿଶ + ݕଶ ⇒ ݑଶ + ݒଶ = ܿଶ + ݕଶ(ܿଶ + ݕଶ)ଶ = 1ܿଶ + ݕଶ = ݑܿ ⇔ ݑଶ − ݑ ܿ + ݒଶ = 0 ⇔ ൬ݑ − 12ܿ൰ଶ + ݒଶ = 14ܿଶ Vậy ảnh của đường ݔ = ܿ là đường tròn tâm ቀ ଵ ଶ௖ , 0ቁ, bán kình là ଵ ଶ|௖| , (ܿ ≠ 0). b. ݑ = ܿ ⇔ ௫ ௫మା௬మ = ܿ + Trường hợp ܿ = 0 ⇒ ݔ = 0 Vậy tạo ảnh của đường ݑ = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp ܿ ≠ 0, khi đó ݔଶ + ݕଶ = ௫ ௖ ⇔ ݔଶ − ௫ ௖ + ݕଶ = 0 ⇔ ቀݔ − ଵ ଶ௖ ቁ ଶ + ݕଶ = ଵ ସ௖మ Vậy tạo ảnh của đường ݑ = ܿ là đường tròn tâm ቀ ଵ ଶ௖ , 0ቁ, bán kình là ଵ ଶ|௖| , (ܿ ≠ 0). III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC 3.1. Kiến thức bổ trợ a. Giới hạn dãy số phức Cho ቊ {ݖ௡},ݖ௡ = ݔ௡ + ݅ݕ௡ lim ௡→ஶ ݖ௡ = ݖ଴ = ݔ଴ + ݅ݕ଴ ⇔ ቊ lim௡→ஶݔ௡ = ݔ଴lim ௡→ஶ ݕ௡ = ݕ଴ b. Giới hạn hàm phức Cho ݂(ݖ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ),ݖ଴ = ݔ଴ + ݅ݕ଴, ݈ = ߙ + ݅ߚ, khi đó lim ௭→௭బ ݂(ݖ) = ݈ ⇔ ൞ lim௫→௫బ௬→௬బ ݑ(ݔ, ݕ) = ߙlim ௫→௫బ ௬→௬బ ݒ(ݔ, ݕ) = ߚ Nếu khi xét ݖ → ݖ଴ theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận không tồn tại giới hạn tại ݖ = ݖ଴. GIẢI TÍCH PHỨC 08 c. Hàm liên tục Cho ݂ (ݖ) xác định trong lân cận điểm ݖ଴, khi đó: ݂(ݖ) liên tục tại ݖ଴ ⇔ ൞+ ݂(ݖ)ݔáܿ đị݊ℎ ݐạ݅ ݖ଴+ ܶồ݊ ݐạ݅ lim௭→௭బ ݂(ݖ) + lim ௭→௭బ ݂(ݖ) = ݂(ݖ଴) ݂(ݖ) liên tục trên miền ܩ nếu ݂ liên tục tại mọi điểm thuộc ܩ. 3.2. Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính ܔܑܕ ࢠ→૚ା࢏ (ࢠ૛ + ࢏) Giải: Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ݖଶ + ݅ = (ݔ + ݅ݕ)ଶ + ݅ = ݔଶ − ݕଶ + (2ݔݕ + 1)݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݕଶ ݒ(ݔ,ݕ) = 2ݔݕ + 1 ; ݖ଴ = 1 + ݅ lim ௫→ଵ ௬→ଵ ݑ(ݔ, ݕ) = lim ௫→ଵ ௬→ଵ (ݔଶ − ݕଶ) = 0 lim ௫→ଵ ௬→ଵ ݒ(ݔ, ݕ) = lim ௫→ଵ ௬→ଵ (2ݔݕ + 1) = 3 Vậy lim ௭→ଵା௜ (ݖଶ + 1) = lim ௫→ଵ ௬→ଵ ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ lim ௫→ଵ ௬→ଵ ݒ(ݔ,ݕ) = 3݅ Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng ܔܑܕ ࢠ→࢏ ૜ࢠ૝ − ૛ࢠ૜ + ૡࢠ૛ − ૛ࢠ + ૞ ࢠ − ࢏ = ૝ + ૝࢏. Giải: ܸܶ = lim ௭→௜ 3ݖସ − 2ݖଷ + 8ݖଶ − 2ݖ + 5 ݖ − ݅ = lim ௭→௜ (ݖ − ݅)[3ݖଷ + (3݅ − 2)ݖଶ + (5 − 2݅)ݖ + 5݅] ݖ − ݅ = lim ௭→௜ [3ݖଷ + (3݅ − 2)ݖଶ + (5 − 2݅)ݖ + 5݅] = 3݅ଷ + (3݅ − 2)݅ଶ + (5 − 2݅)݅ + 5݅ = −3݅ − 3݅ + 2 + 5݅ + 2 + 5݅ = 4 + 4݅ Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau: GIẢI TÍCH PHỨC 09 a. ܔܑܕ ࢠ→࢏ ࢠ૚૙ା૚ ࢠ૟ା૚ b. ܔܑܕ ࢠ→૙ ૚ି܋ܗܛ ࢠ ܛܑܖ ࢠ૛ c. ܔܑܕࢠ→૙(܋ܗܛ ࢠ) ૚ࢠ૛ Giải: a. Đặt ݂(ݖ) = ݖଵ଴ + 1; ݃(ݖ) = ݖ଺ + 1, khi đó ݂(݅) = ݅ଵ଴ + 1 = 0;݃(݅) = ݅଺ + 1 = 0 và ݃ᇱ(௜) = 6݅ହ = 6݅ ≠ 0 Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có lim ௭→௜ ݂(ݖ) ݃(ݖ) = lim௭→௜ ݂′(ݖ)݃′(ݖ) = lim௭→௜ 10ݖଽ6ݖହ = lim௭→௜ 53 ݖସ = 53 ݅ସ = 53 ⇒ lim ௭→௜ ݖଵ଴ + 1 ݖ଺ + 1 = 53. b. lim ௭→଴ ଵିୡ୭ୱ ௭ ୱ୧୬ ௭మ = lim௭→଴ ଵିቀଵିଶୱ୧୬మ೥మቁୱ୧୬ ௭మ = lim௭→଴ ଶୱ୧୬మ೥మୱ୧୬ ௭మ = lim௭→଴ ଵଶ ౩౟౤ మ೥ మ ቀ ೥ మቁ మ ౩౟౤ ೥మ ೥మ Ta có lim ௭→଴ ୱ୧୬మ ೥ మ ቀ ೥ మ ቁ మ = 1 và lim ௭→଴ ୱ୧୬ ௭మ ௭మ = 1 ⇒ lim ௭→଴ 1 − cos ݖsin ݖଶ = 12. c. lim ௭→଴ (cos ݖ) భ೥మ = Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của ܔܑܕ ࢠ→૙ ቀ ࢠ ࢠത ቁ ૛ . Giải: Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ௭ ௭̅ = ௫ା௜௬ ௫ି௜௬ + Cho ݖ → 0 theo hướng trục ܱݔ khi đó ݕ = 0 lim ௭→଴ ቀ ݖ ݖ̅ ቁ ଶ = lim ௫→଴ ௬ୀ଴ ൬ ݔ + ݅ݕ ݔ − ݅ݕ ൰ ଶ = lim ௫→଴ ௬ୀ଴ ቀ ݔ ݔ ቁ ଶ = lim ௫→଴ ௬ୀ଴ 1 = 1 (1) + Cho ݖ → 0 theo hướng đường thẳng ݕ = ݔ lim ௭→଴ ቀ ݖ ݖ̅ ቁ ଶ = lim ௫→଴ ௬ୀ଴ ൬ ݔ + ݅ݕ ݔ − ݅ݕ ൰ ଶ = lim ௫→଴ ௬ୀ଴ ൬ ݔ + ݅ݔ ݔ − ݅ݔ ൰ ଶ = lim ௫→଴ ௬ୀ଴ ൬ 1 + ݅1 − ݅൰ଶ = −1 (2) GIẢI TÍCH PHỨC 10 Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim ௭→଴ ቀ ௭ ௭̅ ቁ ଶ Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ݂(ݖ) = ቀ௭ ௭̅ ቁ ଶ không liên tục tại ݖ = 0. Bài 3.5: Xét ơnh liên tục của hàm ࢌ(ࢠ) = ቐࢠ૜ − ૚ࢠ − ૚ ܖếܝ |ࢠ| ≠ ૚ ૜ ܖếܝ |ࢠ| = ૚ ܜạܑ ࢠ૙ = ૚, ࢠ૙ = ࢏ Giải: + Tại ݖ଴ = 1 ta có: ݂(1) = 3 và lim ௭→ଵ ݂(ݖ) = lim ௭→ଵ ௭యିଵ ௭ିଵ = lim ௭→ଵ (ݖଶ + ݖ + 1) = 3 Vậy lim ௭→ଵ ݂(ݖ) = ݂(1) nên hàm số liên tục tại ݖ଴ = 1 + Tại ݖ଴ = ݅ ݂(݅) = 3 và lim ௭→௜ ݂(ݖ) = lim ௭→௜ ௭యିଵ ௭ିଵ = lim ௭→௜ (ݖଶ + ݖ + 1) = ݅ Vậy lim ௭→௜ ݂(ݖ) ≠ ݂(1) nên hàm số gián đoạn tại ݖ଴ = ݅ Bài 3.6: Cho các hàm a. ࢌ(ࢠ) = ࡾࢋ(ࢠ) ࢠ b. ࢌ(ࢠ) = ࢠ|ࢠ| c. ࢌ(ࢠ) = ࢠࡾࢋ(ࢠ)|ࢠ| Có thể gán giá trị của hàm số tại ࢠ = ૙ để nó trở thành hàm liên tục tại ࢠ = ૙ hay không? Giải: a. Chọn 2 dãy ݖ௡ = ଵ௡ và ݖ௡∗ = ௜௡, khi đó ݖ௡,ݖ௡∗ → 0 khi ݊ → ∞ Xét lim ௭೙→଴ ݂(ݖ௡) = lim ௭೙→଴ ܴ݁(ݖ௡) ݖ௡ = lim ௡→ஶ 1݊1݊ = lim௡→ஶ1 = 1 lim ௭೙ ∗→଴ ݂(ݖ௡∗) = lim ௭೙ ∗→଴ ܴ݁(ݖ௡∗) ݖ௡∗ = lim ௡→ஶ 01݊ = lim௡→ஶ0 = 0 GIẢI TÍCH PHỨC 11 Suy ra không tồn tại lim ௭→଴ ݂(ݖ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm ݖ = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại ݖ = 0. b. Chọn 2 dãy ݖ௡ = ଵ௡ và ݖ௡∗ = ଵ௡ + ௜௡, khi đó ݖ௡, ݖ௡∗ → 0 khi ݊ → ∞ Xét lim ௭೙→଴ ݂(ݖ௡) = lim ௭೙→଴ ݖ௡|ݖ௡| = lim௡→ஶ 1݊1݊ = lim௡→ஶ1 = 1 lim ௭೙ ∗→଴ ݂(ݖ௡∗) = lim ௭೙ ∗→଴ ݖ௡ ∗|ݖ௡∗| = lim௡→ஶ 1݊ + ݅݊ටቀ1݊ቁଶ + ቀ1݊ቁଶ = lim௡→ஶ1 + ݅√2 = 1 + ݅√2 Suy ra không tồn tại lim ௭→଴ ݂(ݖ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm ݖ = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại ݖ = 0. c. Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ Khi đó ݂(ݖ) = ௭ோ௘(௭)|௭| = (௫ା௜௬)௫ඥ௫మା௬మ = ௫మඥ௫మା௬మ + ௫௬ඥ௫మା௬మ ݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ݑ(ݔ, ݕ) = ݔଶ ඥݔଶ + ݕଶ ݒ(ݔ, ݕ) = ݔݕ ඥݔଶ + ݕଶ Ta có 0 ≤ ௫మ ඥ௫మା௬మ ≤ ௫మ|௫| = |ݔ| mà lim௫→଴ ௬→଴ |ݔ| = 0 nên lim ௫→଴ ௬→଴ ݑ(ݔ, ݕ) = lim ௫→଴ ௬→଴ ௫మ ඥ௫మା௬మ = 0 (1) 0 ≤ ฬ ௫௬ ඥ௫మା௬మ ฬ ≤ ௫మା௬మ ଶඥ௫మା௬మ = ඥ௫మା௬మ ଶ mà lim ௫→଴ ௬→଴ ඥ௫మା௬మ ଶ = 0 nên lim ௫→଴ ௬→଴ ݒ(ݔ, ݕ) = lim ௫→଴ ௬→଴ ௫௬ ඥ௫మା௬మ = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra lim ௭→଴ ݂(ݖ) = lim ௭→଴ ௭ோ௘(௭)|௭| = 0 Vậy có thể gán giá trị ݂(ݖ) = 0 tại ݖ = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại ݖ = 0. Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm ࢌ(ࢠ) = ࢠത liên tục trên ℂ. Giải: Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ݂(ݖ) = ݖ̅ = ݔ − ݅ݕ = ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) GIẢI TÍCH PHỨC 12 ⇒ ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = ݔ ݒ(ݔ,ݕ) = −ݕ Lấy tùy ý ݖ଴ = ݔ଴ + ݅ݕ଴ ∈ ℂ, khi đó ta có: ݂(ݖ଴) = ݔ଴ − ݅ݕ଴ Xét lim ௫→௫బ ௬→௬బ ݑ(ݔ,ݕ) = lim ௫→௫బ ௬→௬బ ݔ = ݔ଴ lim ௫→௫బ ௬→௬బ ݒ(ݔ,ݕ) = lim ௫→௫బ ௬→௬బ (−ݕ) = −ݕ଴ ⇒ lim ௭→௭బ ݂(ݖ) = lim ௫→௫బ ௬→௬బ [ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ)] = ݔ଴ − ݅ݕ଴ = ݂(ݖ଴) Suy ra hàm số liên tục tại ݖ = ݖ଴ Do ݖ଴ lấy tùy ý trong ℂ nên hàm ݂(ݖ) liên tục trên ℂ. Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ࢌ(ࢠ) = ࢠ૛ liên tục đều trên miền |ࢠ| < ૚. Giải: Đặt ܥ: {ݖ: |ݖ| < 1} Với ݖ, ݖ′ ∈ ܥ ta có |݂(ݖ)− ݂(ݖᇱ)| = |ݖଶ − ݖ′ଶ| = |ݖ − ݖ′||ݖ + ݖ′| ≤ |ݖ − ݖᇱ|(|ݖ| + |ݖᇱ|) < 2|ݖ − ݖ′| Vậy ∀ߝ > 0, ∃ߜ = ఌ ଶ ,∀ݖ, ݖᇱ ∈ ܥ: |ݖ − ݖ ᇱ| < ߜ ⇒ |݂(ݖ) − ݂(ݖᇱ)| < 2|ݖ − ݖᇱ| < 2ߜ = ߝ Do đó ݂(ݖ) = ݖଶ liên tục đều trên ܥ: |ݖ| < 1. Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm ࢌ(ࢠ) = ૚ ࢠ không liên tục đều trên miền |ࢠ| < ૚. Giải: IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC 4.1. Kiến thức bổ trợ a. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số) Cho hàm ݂ (ݖ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) có đạo hàm tại điểm ݖ = ݔ + ݅ݕ thì: GIẢI TÍCH PHỨC 13 + ݑ(ݔ,ݕ),ݒ(ݔ,ݕ) có đạo hàm riêng tại điểm (ݔ,ݕ) + Các đạo hàm riêng của ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ, ݕ)thỏa mãn phương trình ߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ ݒà ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ (1) Ngược lại nếu ݑ(ݔ,ݕ),ݒ(ݔ, ݕ) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm (ݔ,ݕ) và thỏa (1) thì ݂(ݖ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) có đạo hàm tại điểm ݖ = ݔ + ݅ݕ và ݂ ᇱ(ݖ) = ݑ௫ᇱ (ݔ,ݕ) + ݅ݒ௫ᇱ(ݔ,ݕ) ℎ݋ặܿ ݂ ᇱ(ݖ) = ݒ௬ᇱ (ݔ, ݕ) − ݅ݑ௬ᇱ (ݔ, ݕ). b. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng phức) Ta có ݔ = ݎ cosߠ ,ݕ = ݎ sinߠ , ݎ = ඥݔଶ + ݕଶ,ߠ = arctan ቀ௬ ௫ ቁ, khi đó điều kiện Cauchy- Rieamann dạng phức là ߲ݑ ߲ݎ = 1 ݎ ߲ݒ ߲ߠ ݒà ߲ݒ ߲ݎ = − 1 ݎ ߲ݑ ߲ߠ 4.2. Bài tập mẫu Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau: a. ࢌ(ࢠ) = ࢠ૜ b. ࢌ(ࢠ) = |ࢠ|૛ Giải: a. Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ݂(ݖ) = ݖଷ = (ݔ + ݅ݕ)ଷ = ݔଷ − 3ݔݕଶ + (3ݔଶݕ − ݕଷ)݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ,ݕ) = ݔଷ − 3ݔݕଶ ݒ(ݔ,ݕ) = 3ݔଶݕ − ݕଷ Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 3ݔଶ − 3ݕଶ; ߲ݒ ߲ݕ = 3ݔଶ − 3ݕଶ; ߲ݑ ߲ݕ = −6ݔݕ; ߲ݒ ߲ݔ = 6ݔݕ ⇒ ߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ = 3ݔଶ − 3ݕଶ ݒà ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ = −6ݔݕ Vậy ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ, ݕ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm (ݔ, ݕ) và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ݂(ݖ) có đạo hàm tại mọi điểm ݖ thuộc mặt phẳng phức b. Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, khi đó ݂(ݖ) = |ݖ|ଶ = ݔଶ + ݕଶ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) GIẢI TÍCH PHỨC 14 ⇒ ൜ ݑ(ݔ,ݕ) = ݔଶ + ݕଶ ݒ(ݔ, ݕ) = 0 Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 2ݔ; ߲ݒ ߲ݕ = 0; ߲ݑ ߲ݕ = 2ݕ; ߲ݒ ߲ݔ = 0 Hàm ݂(ݖ) có đạo hàm khi ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ ⇔ ൜ 2ݔ = 02ݕ = 0 ⇔ ݔ = ݕ = 0 Vậy hàm ݂(ݖ) có đạo hàm tại điểm ݖ = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ݖ ≠ 0 Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng ࢊࢠത ࢊࢠ ; ࢊ ࢊࢠ (ࢠ૛ࢠത) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức. Giải: + Chứng minh ௗ௭̅ ௗ௭ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, đặt ݂(ݖ) = ݖ,̅ khi đó ݂(ݖ) = ݖ̅ = ݔ − ݅ݕ = ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = ݔ ݒ(ݔ,ݕ) = −ݕ Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 1; ߲ݒ ߲ݕ = −1; ߲ݑ ߲ݕ = 0; ߲ݒ ߲ݔ = 0 Rõ ràng డ௨ డ௫ = 1 ≠ −1 = డ௩ డ௬ nên ݂(ݖ) không có đạo hàm tại mọi điểm ݖ thuộc mặt phẳng phức. Vậy ௗ௭̅ ௗ௭ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức + Chứng minh ௗ ௗ௭ (ݖଶݖ̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ, đặt ݂(ݖ) = ݖଶݖ,̅ khi đó ݂(ݖ) = ݖଶݖ̅ = (ݔ + ݅ݕ)ଶ(ݔ − ݅ݕ) = ݔଷ + ݔݕଶ + (ݔଶݕ + ݕଷ)݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) GIẢI TÍCH PHỨC 15 ⇒ ൜ ݑ(ݔ,ݕ) = ݔଷ + ݔݕଶ ݒ(ݔ,ݕ) = ݔଶݕ + ݕଷ Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 3ݔଶ + ݕଶ; ߲ݒ ߲ݕ = ݔଶ + 3ݕଶ; ߲ݑ ߲ݕ = 2ݔݕ; ߲ݒ ߲ݔ = 2ݔݕ Hàm ݂(ݖ) có đạo hàm khi ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ ⇔ ൜ 3ݔଶ + ݕଶ = ݔଶ + 3ݕଶ2ݔݕ = −2ݔݕ ⇔ ݔ = ݕ = 0 Suy ra hàm ݂(ݖ) có đạo hàm tại điểm ݖ = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ݖ ≠ 0 Vậy ௗ ௗ௭ (ݖଶݖ̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Bài 4.3: Cho hàm ࢌ(࢞,࢟) có ࡾࢋ(ࢌ) = ࢞૛ − ࢟૛. Giả sử ࢌ(ࢠ) có đạo hàm, Ơm ࢌ(ࢠ). Giải: Giả sử ݖ = ݔ + ݅ݕ,݂(ݖ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) Theo giả thiết ta có ݑ(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݕଶ ⇒ డ௨ డ௫ = 2ݔ; డ௨ డ௬ = −2ݕ Do ݂(ݖ)có đạo hàm nên ta có ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ߲ݒ ߲ݕ = 2ݔ (1) ߲ݒ ߲ݔ = 2ݕ (2) Từ (1): డ௩ డ௬ = 2ݔ ⇒ ݒ(ݔ,ݕ) = 2ݔݕ + ܥ(ݔ) ⇒ డ௩ డ௫ = 2ݕ + ܥ′(ݔ) thay vào (2) ta được 2ݕ + ܥᇱ(ݔ) = 2ݕ ⇔ ܥ ᇱ(ݔ) = 0 ⇒ ܥ(ݔ) = ܥ = ܿ݋݊ݏݐ Vậy ݂(ݖ) = ݔଶ − ݕଶ + (2ݔݕ + ܥ)݅ = (ݔ + ݅ݕ)ଶ + ܥ݅ = ݖଶ + ܥ݅. Bài 4.4: Tìm ࢠ sao cho các hàm sau khả vi a. ࢌ(ࢠ) = ࢞૛ − ࢟૛ − ૛࢞࢟ + ࢏(࢞૛ − ࢟૛ + ૛࢞࢟) b. ࢌ(ࢠ) = ࢠ૞ + ࢠത GIẢI TÍCH PHỨC 16 c. ࢌ(ࢠ) = ൜૛ ࢑ࢎ࢏ |ࢠ| > ૜ ૚ ࢑ࢎ࢏ |ࢠ| ≤ ૜ (đề thi môn GTP – K18) Giải: a. ݂(ݖ) = ݔଶ − ݕଶ − 2ݔݕ + ݅(ݔଶ − ݕଶ + 2ݔݕ) = ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ,ݕ) = ݔଶ − ݕଶ − 2ݔݕ ݒ(ݔ,ݕ) = ݔଶ − ݕଶ + 2ݔݕ Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 2ݔ − 2ݕ; ߲ݒ ߲ݕ = 2ݔ − 2ݕ; ߲ݑ ߲ݕ = −2ݔ − 2ݕ; ߲ݒ ߲ݔ = 2ݔ + 2ݕ ⇒ ߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ = 2ݔ − 2ݕ ݒà ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ = −2ݔ − 2ݕ Vậy ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ, ݕ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm (ݔ, ݕ) và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ݂(ݖ) có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm ݖ thuộc mặt phẳng phức b. Giả sử ݖ = ݎ(cosߠ + ݅ sinߠ), khi đó ݂(ݖ) = ݖହ + ݖ̅ = ݎହ(cos 5ߠ + ݅ sin 5ߠ) + ݎ(cosߠ − ݅ sinߠ) = (ݎହ cos 5ߠ + ݎ cosߠ) + ݅(ݎହ sin 5ߠ − ݎ sinߠ) = ݑ(ݎ, ߠ) + ݅ݒ(ݎ, ߠ) ⇒ ൜ ݑ(ݎ,ߠ) = ݎହ cos 5ߠ + ݎ cosߠ ݒ(ݎ, ߠ) = ݎହ sin 5ߠ − ݎ sinߠ Suy ra ߲ݑ ߲ݎ = 5ݎସ cos 5ߠ + cosߠ ; ߲ݒ ߲ݎ = 5ݎସ sin 5ߠ − sinߠ ߲ݑ ߲ߠ = −5ݎହ sin 5ߠ − ݎ sinߠ ; ߲ݒ ߲ߠ = 5ݎହ cos 5ߠ − ݎ cos ߠ Rõ ràng 1 ݎ ߲ݒ ߲ߠ = 1 ݎ (5ݎହ cos 5ߠ − ݎ cos ߠ) = 5ݎସ cos 5ߠ − cosߠ ≠ ߲ݑ ߲ݎ − 1 ݎ ߲ݑ ߲ߠ = − 1 ݎ (−5ݎହ sin 5ߠ − ݎ sinߠ) = 5ݎସ sin 5ߠ + sinߠ ≠ ߲ݒ ߲ݎ Vậy ݑ(ݎ, ߠ),ݒ(ݎ,ߠ) có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ݂(ݖ) không khả vi tại mọi ݖ. c. + Tập ܣ = {ݖ: |ݖ| > 3} là tập mở GIẢI TÍCH PHỨC 17 Ta có ݂(ݖ) = 2 = 2 + 0݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = 2 ݒ(ݔ,ݕ) = 0 Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 0; ߲ݒ ߲ݕ = 0; ߲ݑ ߲ݕ = 0; ߲ݒ ߲ݔ = 0 ⇒ ߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ = 0 ݒà ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ = 0 Vậy ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ,ݕ) có các đạo hàm riêng liên tục thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập ܣ nên ݂(ݖ) có đạo hàm hay khả vi trên ܣ. + Tương tự với ܤ = {ݖ: |ݖ| < 3} ta chứng minh được ݂(ݖ) có đạo hàm hay khả vi trên ܤ + Xét ܥ = {ݖ: |ݖ| = 3}, khi đó ݂(ݖ) = 1 Xét dãy ݖ௡ = (1 + ଵ௡)ݖ |ݖ௡| = ൬1 + 1݊൰ |ݖ| = ൬1 + 1݊൰ 3 > 3 ⇒ ݂(ݖ௡) = 2 Ta có ݖ௡ → ݖ khi ݊ → ∞, tuy nhiên ݂(ݖ௡) = 2 ≠ 1 = ݂(ݖ) nên hàm ݂(ݖ) không liên tục tại mọi điểm trên ܥ. Do đó ݂(ݖ) không khả vi tại mọi ݖ: |ݖ| = 3. Bài 4.5 (đề thi môn GTP – Cao học 2008-2009): Cho ࢌ(ࢠ) = ൜ࢠ૛ ࢜ớ࢏ |ࢠ| ≥ ૚ ૚ ࢜ớ࢏ |ࢠ| < ૚ Hàm ࢌ(ࢠ) có đạo hàm tại ࢠ = ࢠ૙ nào? Giải: + Xét tập ܣ = {ݖ: |ݖ| > 1} là tập mở Ta có ݂(ݖ) = ݖଶ = (ݔ + ݅ݕ)ଶ = ݔଶ − ݕଶ + 2ݔݕ݅ = ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݕଶ ݒ(ݔ,ݕ) = 2ݔݕ Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 2ݔ; ߲ݒ ߲ݕ = 2ݔ; ߲ݑ ߲ݕ = −2ݕ; ߲ݒ ߲ݔ = 2ݕ GIẢI TÍCH PHỨC 18 ⇒ ߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ = 2ݔ ݒà ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ = −2ݕ Vậy ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ, ݕ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập ܣ nên ݂(ݖ) có đạo hàm tại mọi điểm ݖ trên ܣ. + Xét tập ܤ = {ݖ: |ݖ| < 1} là tập mở Ta có ݂(ݖ) = 1 = 1 + 0݅ = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) ⇒ ൜ ݑ(ݔ, ݕ) = 1 ݒ(ݔ,ݕ) = 0 Suy ra ߲ݑ ߲ݔ = 0; ߲ݒ ߲ݕ = 0; ߲ݑ ߲ݕ = 0; ߲ݒ ߲ݔ = 0 ⇒ ߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ = 0 ݒà ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ = 0 Vậy ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ, ݕ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập ܤ nên ݂(ݖ) có đạo hàm tại mọi điểm ݖ trên ܤ. + Xét ܥ = {ݖ: |ݖ| = 1}, khi đó ݂(ݖ) = ݖଶ Với ݖ = ±1 thuộc ܥ thì ݂(ݖ) = ݖଶ = 1 = 1 + 0݅ ta chứng minh được ݂(ݖ) khả vi tại ݖ =±1 Với ݖ ≠ ±1. Xét dãy ݖ௡ = (1 − ଵ௡)ݖ |ݖ௡| = ൬1 − 1݊൰ |ݖ| = ൬1 − 1݊൰ 1 < 1 ⇒ ݂(ݖ௡) = 1 Ta có ݖ௡ → ݖ khi ݊ → ∞, tuy nhiên ݂(ݖ௡) = 1 ≠ ݖଶ = ݂(ݖ) nên hàm ݂(ݖ) không liên tục tại mọi điểm trên ܥ\{±1}. Do đó ݂(ݖ) không khả vi tại mọi ݖ trên ܥ\{±1}. V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA 5.1. Kiến thức bổ trợ a. Hàm giải ơch + ݂(ݖ) giải ơch trên miền mở ܦ nếu ݂ khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc ܦ GIẢI TÍCH PHỨC 19 + (ݖ) giải ơch tại điểm ݖ଴ nếu ݂ khả vi trong lân cận của điểm ݖ଴ + ݂(ݖ) = ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) giải ơch trong miền ܦ, các ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ,ݕ)có đạo hàm riêng liên tục trên ܦ thì ݑ(ݔ,ݕ),ݒ(ݔ,ݕ) thỏa phương trình Laplace: ߲ଶΦ ݔଶ + ߲ଶΦ ݕଶ = 0. b. Hàm điều hòa + Hàm thực hai biến có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa. + Hai hàm điều hòa ݑ(ݔ,ݕ),ݒ(ݔ,ݕ) sao cho ݂(ݖ) = ݑ(ݔ,ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) giải ơch được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp. + Hàm ݂(ݖ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ, ݕ) xác định trên miền ܦ đơn liên và giải ơch trên ܦ thì ݑ(ݔ, ݕ),ݒ(ݔ, ݕ) là các hàm điều hòa trên ܦ. + ݑ(ݔ,ݕ) là hàm điều hòa trên ܦ thì tồn tại ݂(ݖ) giải ơch trên ܦ sao cho ܴ݁(݂) = ݑ(ݔ,ݕ) 5.2. Bài tập mẫu Bài 5.1 (đề thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho ઴(࢞,࢟) = ૟࢞૛࢟૛ − ࢞૝ − ࢟૝ + ࢟ − ࢞ + ૚ a. Chứng tỏ ઴ là hàm điều hòa. b. Tìm hàm giải ơch ࢌ(ࢠ) sao cho ઴ = ܀܍(܎). Tìm ࡵ࢓(ࢌ). Giải: a. Chứng minh Φ là hàm điều hòa. ߲Φ ߲ݔ = 12ݔݕଶ − 4ݔଷ − 1, ߲ଶΦ ߲ݔଶ = 12ݕଶ − 12ݔଶ ߲Φ ߲ݕ = 12ݔଶݕ − 4ݕଷ + 1,߲ଶΦ ߲ݕଶ = 12ݔଶ − 12ݕଶ ⇒ ߲ଶΦ ߲ݔଶ + ߲ଶΦ ߲ݕଶ = 12ݕଶ − 12ݔଶ + 12ݔଶ − 12ݕଶ = 0 Vậy hàm thực Φ hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm (ݔ, ݕ) và thỏa phương trình Laplace nên Φ là hàm điều hòa (có thể gọi Φ là phần thực của hàm giải ơch). b. Tìm hàm giải ơch Giả sử hàm giải ơch cần Ơm có dạng: ݂(ݖ) = Φ(ݔ,ݕ) + iΨ(ݔ, ݕ), với Ψ(ݔ, ݕ) là hàm điều hòa liên hợp với Φ(ݔ,ݕ), khi đó Φ(ݔ,ݕ), Ψ(ݔ, ݕ) phải thỏa điều kiện Cauchy-Riemann GIẢI TÍCH PHỨC 20 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧߲Φ ߲ݔ = ߲Ψ ߲ݕ ߲Φ ߲ݕ = −߲Ψ ߲ݔ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ߲Ψ ߲ݕ = 12ݔݕଶ − 4ݔଷ − 1 (1) ߲Ψ ߲ݔ = −12ݔଶݕ+ 4ݕଷ − 1 (2) Từ (1): డஏ డ௬ = 12ݔݕଶ− 4ݔଷ − 1 ⇒ Ψ = 4ݔݕଷ − 4ݔଷݕ − ݕ + ܥ(ݔ) ⇒ డஏ డ௫ = 4ݕଷ − 12ݔଶݕ + ܥ′(ݔ) thay vào (2) ta có 4ݕଷ − 12ݔଶݕ + ܥᇱ(ݔ) = −12ݔଶݕ + 4ݕଷ − 1 ⇔ ܥᇱ(ݔ) = −1 ⇒ ܥ(ݔ) = −ݔ + ܥ ⇒ ܫ݉(݂) = Ψ(ݔ,ݕ) = 4ݔݕଷ − 4ݔଷݕ − ݕ − ݔ + ܥ Vậy ݂(ݖ) = 6ݔଶݕଶ − ݔସ − ݕସ + ݕ − ݔ + 1 + ݅(4ݔݕଷ − 4ݔଷݕ − ݕ − ݔ + ܥ). Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho ࢛(࢞,࢟) = ࢋି࢞(࢞ ܛܑܖ ࢟ − ࢟ ܋ܗܛ ࢟) a. Chứng tỏ ࢛(࢞,࢟) là hàm điều hòa trên một miền ࡰ thích hợp. b. Tìm một hàm giải ơch ࢌ(ࢠ) = ࢛(࢞,࢟) + ࢏࢜(࢞,࢟), giải ơch trên miền ࡰ. c. Biểu diễn ࢌ trong câu (b) theo biến ࢠ Giải: a. Chứng minh ݑ(ݔ,ݕ) là hàm điều hòa. ߲ݑ ߲ݔ = −݁ି௫(ݔ sinݕ − ݕ cos ݕ) + ݁ି௫ sinݕ = ݁ି௫(sinݕ − ݔ sinݕ + ݕ cosݕ) ߲ଶݑ ߲ݔଶ = −݁ି௫(sinݕ − ݔ sinݕ + ݕ cosݕ) − ݁ି௫ sinݕ = ݁ି௫(−2 sinݕ + ݔ sinݕ − ݕ cosݕ) ߲ݑ ߲ݕ = ݁ି௫(ݔ cosݕ − cos ݕ + ݕ sinݕ) ߲ଶݑ ߲ݕଶ = ݁ି௫(−ݔ sinݕ + sinݕ + sinݕ + ݕ cos ݕ) = ݁ି௫(2 sinݕ − ݔ sinݕ + ݕ cosݕ) ⇒ ߲ଶݑ ߲ݔଶ + ߲ଶݑ ߲ݕଶ = 0 Vậy ݑ(ݔ, ݕ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm (ݔ, ݕ) và thỏa phương trình Laplace nên ݑ(ݔ, ݕ) là hàm điều hòa. b. Hàm ݂(ݖ) = ݑ(ݔ, ݕ) + ݅ݒ(ݔ,ݕ) giải ơch trên miền ܦ nên ݑ(ݔ,ݕ),ݒ(ݔ, ݕ) thỏa điều kiện Cauchy-Riemann: GIẢI TÍCH PHỨC 21 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧߲ݑ ߲ݔ = ߲ݒ ߲ݕ ߲ݑ ߲ݕ = −߲ݒ ߲ݔ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ߲ݒ ߲ݕ = ݁ି௫(sinݕ − ݔ sinݕ + ݕ cosݕ) (1) ߲ݒ ߲ݔ = ݁ି௫(−ݔ cosݕ + cos ݕ − ݕ sinݕ) (2) Từ (1): డ௩ డ௬ = ݁ି௫(sinݕ − ݔ sinݕ + ݕ cosݕ) ⇒ ݒ(ݔ, ݕ) = ݁ି௫(− cosݕ + ݔ cosݕ + ݕ sinݕ + cos ݕ) + ܥ(ݔ) = ݁ି௫(ݔ cosݕ + ݕ sinݕ) + ܥ(ݔ) ⇒ ߲ݒ ߲ݔ = −݁ି௫(ݔ cos ݕ + ݕ sinݕ) + ݁ି௫ cosݕ + ܥᇱ(ݔ) = ݁ି௫(cosݕ − ݔ cosݕ − ݕ sinݕ) + ܥ′(ݔ) Thay vào (2) ta được: ݁ି௫(cosݕ − ݔ cosݕ − ݕ sinݕ) + ܥᇱ(ݔ) = ݁ି௫(−ݔ cosݕ + cosݕ − ݕ sinݕ) ⇔ ܥᇱ(ݔ) = 0 ⇔ ܥ(ݔ) = ܥ = ܿ݋݊ݏݐ ⇒ ݒ(ݔ, ݕ) = ݁ି௫(ݔ cosݕ + ݕ sinݕ) + ܥ Vậy ݂(ݖ) = ݁ି௫(ݔ sin ݕ − ݕ cos ݕ) + ݅(݁ି௫(ݔ cos ݕ + ݕ sinݕ) + ܥ) c. Biểu diễn ݂(ݖ) ở câu b theo biến ݖ ݂(ݖ) = ݁ି௫(ݔ sin ݕ − ݕ cos ݕ) + ݅(݁ି௫(ݔ cosݕ + ݕ sinݕ) + ܥ) = ݁ି௫ݔ sinݕ − ݁ି௫ݕ cosݕ + ݅݁ି௫ݔ cosݕ + ݅݁ି௫ݕ sinݕ + ܥ݅ = (݁ି௫ݔ sinݕ + ݅݁ି௫ݕ sinݕ) − (݁ି௫ݕ cosݕ − ݅݁ି௫ݔ cosݕ) + ܥ݅ = (ݔ + ݅ݕ)݁ି௫ sinݕ − (ݕ − ݅ݔ)݁ି௫ cos ݕ + ܥ݅ = (ݔ + ݅ݕ)݁ି௫ sinݕ + ݅ଶ(ݕ − ݅ݔ)݁ି௫ cosݕ + ܥ݅ = (ݔ + ݅ݕ)݁ି௫ sinݕ + ݅(ݔ + ݅ݕ)݁ି௫ cosݕ + ܥ݅ = (ݔ + ݅ݕ)݁ି௫(sinݕ + ݅ cosݕ) + ܥ݅ = −݅ଶ(ݔ + ݅ݕ)݁ି௫(sinݕ + ݅ cos ݕ) + ܥ݅ = ݅(ݔ + ݅ݕ)݁ି௫(cosݕ − ݅ sinݕ) + ܥ݅ = ݅(ݔ + ݅ݕ)݁ି௫݁ି௜௬ + ܥ݅ = ݅(ݔ + ݅ݕ)݁ି(௫ା௜௬) + ܥ݅ = ݅ݖ݁ି௭ + ܥ݅ GIẢI TÍCH PHỨC 22 VI. BÀI TOÁN TÌM VÀ PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG 6.1. Kiến thức bổ trợ a. Điểm bất thường + ݖ଴ được gọi là điểm bất thường của ݂(ݖ) nếu ݂(ݖ) không giải ơch tại ݖ଴. + ݖ଴ được gọi là điểm bất thường cô lập của ݂(ݖ) nếu tồn tại một lân cận bán kính ߜ > 0 sao cho trong lân cận đó hàm ݂(ݖ) không có điểm bất thường nào khác. + ݖ଴ được gọi là điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại số ݊ nguyên dương sao cho lim ௭→௭బ (ݖ − ݖ଴)௡݂(ݖ) = ܣ ≠ 0. + ݖ଴ được gọi là điểm bất thường bỏ được của của ݂(ݖ) nếu lim ௭→௭బ ݂(ݖ) tồn tại. + Điểm bất thường của ݂ (ݖ) tại ݖ = ∞ là điểm bất thường của hàm ݂ ቀଵ ௪