Lý thuyết và bài tập Phương trình mũ và Logarit

A.PHƯƠNG TRÌNH MŨ VẤN ĐỀ 1: Các phương pháp giải phương trình mũ. I.Công thức lũy thừa và căn thức. II. Các phương pháp giải phương trình mũ. 1) Đưa về dạng cơ bản. 2)Phương pháp đưa về cùng cơ số. Biến đổi phương trình về dạng : Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x)) 3)Phương pháp dùng ẩn số phụ. Đặt t= chọn cơ số a thích hợp Điều kiện t >0 Biến đổi phương trình mũ về phương trình bậc 2 , bậc3 theo t Giải phương trình này và chọn nghiệm t >0 Giải tiếp suy ra x 4)Phương phương pháp đưa về phương trình tích. -Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phương trình tích 5)Phương pháp lấy logarit thích hợp 2 về. Dạng Lấy logarit cơ số a 2 vế 6)Phương pháp dùng tính đơn điệu. Biến đổi phương trình về dạng f(x)=g(x) Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu Đoán nhận 1 nghiệm x= Suy ra phương thình có nghiệm duy nhất x= III.Một số ví dụ. VD1:Giải phương trình Giải: VD2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện hoặc Đặt t=. Điều kiện t>0 ĐS: VD3.Giải phương trình (1) Giải: ĐS: x=1;x=3 VD4.Giải phương trình (1) Giải: Lấy logarit cơ số 3 hai vế VD5.Giải phương trình Giải: Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phương trình Đặt là hàm số giảm trên R là hàm số tăng trên R Mà f(1)=g(1) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1 VD6. Giải phương trình: Giải: Đặt là hàm số tăng trên R là hàm số giảm trên R Mà nên phương trình có nghiệm x= VD7 Giải phương trình: Giải : Đặt t= (t>0) (1) Với Với (3) có 1 nghiệm x=2 Đặt là hàm số tăng trên R là hàm số giảm trên R Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2 Vậy (1) có nghiệm : x=2 ; IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất. I. Tìm m để phương trình mũ: F(x,m)=0 (1) có nghiệm xD. Cách giải: -Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t. -Chuyển điều kiện xD thành điều kiện tT. -Biến đổi phương trình (1) thành phương trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2). *Cách 1. -Biến đổi (2) tương đương với f(t)=m (2’) với tT. -Tính f’(t), lập bảng biến thiên. -Để (1) có nghiệm xD khi và chỉ khi (2’) có nghiệm tT điều này cũng tương đương với đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t) -Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m. *Cách 2. -Ta có (1) f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t) -Để (1) có nghiệm xD khi và chỉ khi (2) có nghiệm tT Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T. II. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất *Cách 1. Điều kiện cần. -Giả sử phương trình có nghiệm x0. Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị tuyệt đối phương trình có nghiệm x1. -Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x0=x1. -Thay vào phương trình để tìm giá trị m. Điều kiện đủ. -Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình. -Giải phương trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất. Từ đó đưa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn. *Cách 2. -Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đưa phương trình đã cho về dạng f(t)=m. -Đặt y=f(t) với tT -Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T. -Từ đó phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y=m chỉ có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t). -Dựa vào bảng biến thiên để có được giá trị m cần tìm. III.Một số ví dụ : VD1: Định m để phương trình: có nghiệm Giải: Đặt: t=2x (t>0) Đặt Bảng biến thiên: Để (1) có nghiệm có nghiệm t>0Đường thẳng y=m cớ điểm chung với đồ thị . Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ĐS: Ví dụ 2: Cho phương trình: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Giải: Đặt: phương trình (1) trở thành Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu (2) có nghiệm t1, t2 thõa 0 < t1 < 1 < t2 Vậy phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: . Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Giải: Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: Phương trình có nghiệm duy nhất IV.Một số bài tập: Bài 1: Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 2: Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất. Bài 3: Định m để phương trình: Có đúng 2 nghiệm trong Bài 4:Tìm k để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Bài 5:Giải và biện luận phương trình B.PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VẤN ĐỀ 1: Các phương pháp giải phương trình logarit. I.Dạng cơ bản: Công thức đổi cơ số: ; II.Các phương pháp giải phương trình logarit. 1.Phương pháp đưa về cùng cơ số -Biến đồi phương trình về dạng: 2.Phương pháp đặt ẩn phụ: -Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phương trình đã cho thành một phương trình đại số. 3.Phương pháp đưa về dạng phương trình tích: -Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phương trình tích. 4.Phương pháp dùng tính đơn điệu. -Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất. 5.Dạng: -Suy đoán nghiệm x0 và chứng minh nghiệm duy nhất. -Nghiệm duy nhất x0 thõa: 6.Dùng phương pháp đối lập. 7.Dạng: III.Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: ĐK: Nếu 0< x <1 : Nếu x>1 ĐS: Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: ĐK: Đặt: ĐS: x=10; x=100 Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: Đặt: Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2) Vế trái là hàm số giảm. Vế phải là hàm số hằng. Nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất là ĐS: x=9 IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: VẤN ĐỀ 2: Định m để phương trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất: I.Tìm m để phương trình: có nghiệm -Đặt ẩn số phụ: thích hợp. -Chuyển điều kiện -Biến đổi (1) thành phương trình bậc 2 theo t. Biến đổi phương trình này về dạng: -Tính . Lập bảng biến thiên -Để (1) có nghiệm trên D (2) có nghiệm trên T. -Dựa vào bảng biến thiên điều kiên của m II. Định m để phương trình logarit có nghiệm duy nhất: Cho phương trình ( chứa logarit ) -Đặt: -Tìm điều kiện của -Biến đổi phương trình (1) về dạng: -Tính với -Lập bảng biến thiên trên T -Phương trình (1) có nghiệm duy nhất (2) có nghiệm duy nhất trên T. -Dựa vào bảng biến thiên Đk của m. Cách khác: Phương trình (1) (2) là phương trình bậc hai với Để (1) có nghiệm duy nhất có 1 nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm hoặc III.Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: có nghiệm. Giải: Ta có: Đặt: vì x>1 Bảng biến thiên: có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm x>1 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: Có 2 nghiệm x1, x2 thõa mãn: 4 < x1 < x2 < 6 Giải: Đặt: Điều kiện: có 2 nghiệm thõa mãn : có 2 nghiệm thõa Vậy: IV.Một số bài tập Bài 1: Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng Bài 2: Giải và biện luận phương trình theo m Bài 3: Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình (1) với mọi Bài 5: Với giá trị nào của a thì phương trình: Có nghiệm duy nhất.