Mội số Chuyên đề bồi dưỡng học sinh

MỘI SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH. **************** Chủ đề 1. Chứng minh đặc tính hình học. Chủ đề 2. Tính toán. Chủ đề 3. Đẳng thức - Bất đẳng thức. Chủ đề 4. Cực trị. Chủ đề 5. Một số bài tập chọn lọc. Chủ đề 6. Một số bộ tham khảo. ************************* CHỦ ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐẶC TÍNH HÌNH HỌC. VẤN ĐỀ 1. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG – ĐỊNH LÝ TA – LÉT (THALES) A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Vận dụng các kiến thức: Định lý Ta-lét, hệ quả định lý Ta-lét.. Tam giác đồng dạng . B. BÀI TẬP: Bài 1. (Định Lý Xê-va) Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA và AB lấy các điểm D, E, F. Chứng minh rằng AD, BE và CF đồng quy khi và chỉ khi . Giải. a. Giả sử AD, BE và CF đồng quy tại G. Chứng minh: (1). Vẽ đường thẳng qua A song song với BC, cắt BE tại H và cắt CF tại I. Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét vào các tam giác: ; do đó : b. Giả sử có: . Chứng minh AD, BE và CF đồng quy. Gọi G là giao điểm của BE và CF, tia AG cắt BC tại D’. Ta có AD’, BE, CF đồng quy tại G nên: . Lại có suy ra . Vậy: AD, BE và CF đồng quy khi và chỉ khi . Bài 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Một đường thẳng d bất kỳ qua G cắt các cạnh AB, AC tại E và F. Chứng minh rằng: có giá trị không đổi khi d quay quanh G. Giải. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ BK // EF, với K thuộc AM. Vẽ CH // EF, với H thuộc AM. Ta có: (định lý Ta-lét) Xét các tam giác BMK và CMH, có: (không đổi) Vậy luôn có giá trị không đổi. Bài 3. (Định Lý Mênêlauyt) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB (hoặc đường thẳng chứa các cạnh) lấy các điểm D, E, F . Chứng minh rằng: khi và chỉ khi D, E, F thẳng hàng. Giải. a. Giả sử ba điểm D, E, F thẳng hàng. Chứng minh . Vẽ AG // BC, G thuộc DE. Ta có: (định lý Ta-lét) Khi đó : . b. Giả sử . Chứng minh D, E, F thẳng hàng. Gọi F’ là giao điểm của DE và AB, theo chứng minh trên ta có : Lại có: suy ra . Vậy: khi và chỉ khi D, E, F thẳng hàng. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Vẽ CM vuông góc với AB, CN vuông góc với AD. Chứng minh rằng: . Giải. Vẽ DH vuông góc AC tại H. Hay (vì AB = CD) Do đó: Vậy: Bài 5. Cho tam giác ABC (AB < AC). E là một điểm di động trên cạnh AB, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AE = AF. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, EF cắt AM tại I. Chứng minh rằng tỉ số luôn có giá trị không đổi. Giải. Vẽ Từ (không đổi). Vậy tỉ số luôn có giá trị không đổi. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC, vẽ phân giác AD. Vẽ DE vuông góc với AC tại E. Gọi F là trung điểm của DE. AF cắt BE tại H. Tính số đo góc AHB. Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh: . . Bài 3. Cho tam giác ABC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB và E thuộc cạnh AC sao cho . Chứng minh rằng đường trung tuyến AM của tam giác ABC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE. VẤN ĐỀ 2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN – TÍNH CHẤT VỀ TIẾP TUYẾN. A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Vận dụng các kiến thức: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. Tính chất tiếp tuyến. B. BÀI TẬP: Bài 1. Cho đoạn thẳng AB. Từ A và B, vẽ các đường xx’ và yy’ lần lượt vuông góc với AB. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lấy các điểm C thuộc xx’, D thuộc yy’ sao cho . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm E, đường kính AB. Giải. Vẽ EF vuông góc với CD tại F, tia CE cắt yy’ tại G. Xét hai tam giác CAE và GBE, có : . Khi đó tam giác CDG có DE là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác CDG cân tại G, suy ra Xét các tam giác CEF và GEB, ta có : Hay F thuộc đường tròn (E) đường kính AB Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (E) đường kính AB Bài 2. Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác vẽ tia Ax sao cho . Chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vẽ OE vuông góc với BC tại E. Suy ra OE là đường trung trực của AB. Ta có: Mà nên Khi đó: . Vậy Ax vuông góc với OA tại A thuộc đường tròn (O) nên Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE. Giải. Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Ta có: Tứ giác BCDE có nên D, E thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó: (tứ giác BCDE nội tiếp) Suy ra: Mà . Vậy Bài 4. Cho đường tròn (O) và A là điểm nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ các tiếp tuyến AB, với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Vẽ đường kính BE, AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Gọi G là trung điểm của EF. Từ B, vẽ đường thẳng vuông góc với OA tại D, đường thẳng BD cắt đường thẳng OG tại H. Chứng minh: EH là tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải. Ta có EF là dây không qua tâm của đường tròn (O), G là trung điểm của EF. . Khi đó: OA.OD = OH.OG Mặt khác tam giác ABO vuông tại B có BD là đường cao. OD.OA = OB2 = OE2 . Hay OH.OG = OE2 . Khi đó hai tam giác OEH và OGE có: Suy ra: tại E thuộc đường tròn (O). Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 5. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ dây AC khác đường kính. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau ở D. Gọi E là hình chiếu của C trên AB, F là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm B, E, D thẳng hàng. Gọi H là giao điểm của AD và BC, F’ là giao điểm của BD và CE. Ta có DA, DC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) Nên DA = DC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính) Suy ra OD là đường trung trực của AC mà (C thuộc đường tròn (O), đường kính AB. Suy ra OD // BC. Khi đó tam giác ABH có O là trung điểm của AB, OD//BC nên D là trung điểm của AH . Lại có CE // AH ( cùng vuông góc với AB) (D là trung điểm của AH) Suy ra CF’ = F’E hay F’ là trung điểm của CE. Hơn nữa F là trung điểm của CE (gt) Hay F trùng F’. Vậy ba điểm B, F, D thẳng hàng . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC của hai đường tròn (B thuộc đường tròn (O), C thuộc đường tròn (O’)). Tính BC theo R và R’. Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’. Bài 2. Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt đường tròn (O) tại B và C. Chứng minh tích MA.MB luôn không đổi khi d quay quanh A. Xác định vị trí của B trên đường tròn (O) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. C là điểm di động trên nửa đường tròn. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với AC tại D luôn đi qua một điểm cố định khi C di động trên nửa đường tròn C. VẤN ĐỀ 3. TỨ GIÁC NỘI TIẾP. A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Vận dụng các kiến thức: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp . Tính chất tứ giác nội tiếp. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại F, hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương. 1. Tứ giác ABCD nội tiếp. 2. . 3. 4. 5. EA.EB = EC.ED. 6. FA.FC = FB.FD. B. BÀI TẬP: Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt BC tại M. Gọi K là trung điểm của dây BC. Chứng minh hệ thức: MA2 = MB.MC. Vẽ AH vuông góc với OM tại H. Chứng minh . Giải. a. Xét các tam giác MAB và MCA, ta có: và (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) hay MA2 = MB.MC. b. Tam giác MAO vuông tại A, có AH là đường cao nên MA2 = MH.MO Suy ra MB.MC = MH.MO hay lại có hơn nữa O và C là hai đỉnh kề nhau của tứ giác BHOC nên tứ giác BHOC nội tiếp một đường tròn. Vậy . Bài 2. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua M cắt đường tròn (O) tại A và B (MA < MB). Vẽ các tiếp tuyến Ax và By của đường tròn (O), Ax cắt By tại C. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua hai điểm cố định khi cát tuyến MAB quay quanh M nhưng luôn cắt đường tròn (O). Gọi D là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với OM, Nối CD cắt AB tại E. Gọi F là trung điểm của AB. Chứng minh ME.MF không đổi. Giải. a. Ta có CA, CB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). suy ra các điểm A, O, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính CO. Gọi D là giao điểm của OM và đường tròn đường kính CO. Xét tam giác MAO và MDB, có: là góc chung. Vẽ tiếp tuyến MK với đường tròn (O). Xét tam giác MAK và MKB, có: là góc chung. Từ (1) và (2) suy ra . Lại có M, O cố định nên OM không đổi và OA không đổi do đó D cố định. Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua hai điểm cố định D và O khi cát tuyến MAB quay quanh M. b. ME.MF không đổi. Theo (1) ta có MD.MO = ME.MF (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra Không đổi. Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy tuỳ ý điểm M thuộc đường tròn (O). Gọi P, Q, R lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AC. Chứng minh rằng P, Q, R thẳng hàng. Giải. Tứ giác MPBQ có : nên các điểm P, Q cùng thuộc một đường tròn đường kính BM. Suy ra: Tứ giác MQRC có : nên các điểm Q, R cùng thuộc một đường tròn đường kính CM. Suy ra: Mặt khác tứ giác ABMC nội tiếp trong đường tròn (O), do đó: . Khi đó hai tam giác PBM và RCM có Từ (1), (2) và (3) suy ra Do đó:. Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng. Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn (O). Chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC = AC.BD. Giải. Trên đường chéo BD, lấy điểm E sao cho Lại có: (hệ quả góc nội tiếp) Xét các tam giác ABE và ADC, có: (hệ quả góc nội tiếp) Từ (1) và (2) suy ra: Vậy: AB.CD + AD.BC = AC.BD. Bài 5. Cho AB là dây cung khác đường kính của đường tròn (O). Vẽ OH vuông góc với AB tại H. Qua H vẽ hai dây cung tuỳ ý CD và EF của đường tròn (O) sao cho hai dây CE và DF cắt dây AB theo thứ tự tại I và K. Chứng minh HI = HK. Giải. Vẽ tại M, vẽ tại N, khi đó ta có M và N lần lượt là trung điểm của các dây cung CE và DF (tính chất đường kính và dây cung). Xét các tam giác CEH và FDH, ta có: (hệ quả góc nội tiếp) ; lại có , nên Mặt khác tứ giác OHIM có Do đó các điểm M và H cùng thuộc đường tròn đường kính OI nên tứ giác OHIM nội tiếp một đường tròn. Chứng minh tương tự ta có tứ giác KNOH nội tiếp một đường tròn. Từ (1), (2) và (3) suy ra: Tam giác IOK có OH là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến nên tam giác IOK cân tại O. vậy HI = HK. Bài 6. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm ứng với các cạnh AB, BC, CA. Các đường thẳng CI và ED cắt nhau tại K. Chứng minh: Tứ giác ADIF nội tiếp. . a. Tứ giác ADIF có suy ra các điểm D và F cùng thuộc đường tròn đường kính AI. Vậy tứ giác ADIF nội tiếp. b. Ta có (hệ quả góc nội tiếp) Suy ra: (tính chất hai góc kề bù) Lại có D và I là hai đỉnh kề nhau của tứ giác KDIF nên tứ giác KDIF nội tiếp một đường tròn. Mặt khác tứ giác ADIF nội tiếp. Vậy các điểm A, K, D, I, F cùng thuộc một đường tròn đường kính AI. Suy ra . Hay . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cung AB không chứa hai điểm C và D, lấy điểm L sao cho LA = LB. Các đường thẳng DA và CL cắt nhau tại K, DL và CB cắt nhau tại H. Chứng minh: Tứ giác KHCD nội tiếp. KH // AB. Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cung AC không chứa điểm B, lấy điểm D. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và CD. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt đường thẳng AD tại H. Chứng minh: a. . b. HK // BC. Bài 3. Cho đường tròn (O) và AB là dây khác đường kính của đường tròn. Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Vẽ đường thẳng qua K cắt đường tròn (O) tại C và D. Chứng minh: KA.KB = KC.KD. AC.BD = AD.BC.