Một số bài tập hình học chương 2

MộT Số Bài tập hình học chương 2 Đ2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song Bài 1: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SCD. a) Chứng minh rằng BF và DE chéo nhau. b) Chứng minh rằng EF // AD. Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành . Gọi M, N, P, Q là các điểm thuộc BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD. a) Chứng minh rằng PQ // SA. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Tìm quỹ tích của K khi M thay đổi trên cạnh BC. Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC, K là điểm thuộc BD sao cho KB = 2 KD. a) Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a. Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, đều, vuông tại A. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC. Tìm giao điểm I của Dx và mf(SAB). Chứng minh rằng AI // SB. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mf(AIC). Tính diện tích thiết diện thu được. Đ3 Đường thẳng song song với mặt phẳng Bài 5: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD, ACD. Chứng minh rằng EF // (BCD) và EF // (ABC). Bài 6: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình bình hành . Gọi H là trung điểm của SB. Chứng minh rằng SD // (AHC). Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng HM // (SCD). Bài 7 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AB, BC, CD, AM. Chứng minh rằng PQ // (MND). Bài 8 : Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là O, O’. Chứng minh rằng OO’ // (ADF), OO’ // (BCE). Gọi M, N lần lượt là trọng tâm, . Chứng minh rằng MN // (CEF) Bài 9 : Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành. () là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua trung điểm C’ của SC và song song với BC. Mặt phẳng () cắt các cạnh SA, SB, SD lần lượt tại A’, B’ và D’. Thiết diện A’B’C’D’ là hình gì? Chứng minh rằng () luôn chứa 1 đường thẳng cố định. Gọi . Chứng minh rằng khi () thay đổi M luôn thuộc 1 đường thẳng cố định. Bài 10: Cho hình chóp SABC có F, M, N lần lượt là trung điểm của SC, AB, AC. Gọi () là mặt phẳng chứa MN và song song với AF. Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (). Gọi Q, P lần lượt giao điểm của () với SB, SC. Chứng minh rằng QM, PN, SA đồng quy tại 1 điểm D nào đó. c*) Giả sử các tam giác SAB, SAC vuông tại A. Gọi chu vi là m. Tính chu vi theo m. Bài 11: Cho thiết diện đều ABCD cạnh a. M và P là 2 điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho AM = CP = x, ( 0 < x < a). Gọi () mặt phẳng qua MP và song song với CD . Chứng minh thiết diện của thiết diện tạo bởi mặt phẳng () là hình thang cân. Tính diện tích thiết diện và tìm x để thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 12: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB. Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng () trong các trường hợp sau () qua M và song song với 2 đường thẳng SO và AD. () qua O và song song với 2 đường thẳng AM và SC . Đ4 Hai mặt phẳng song song Bài 13: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA, SD . Chứng minh rằng (OMN) // (SBC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, ON. Chứng minh rằng PQ// (SBC). Bài 14: Cho 2 hình vuông ABCD và ABEF nằm trong 2 mặt phẳng khác nhau . Trên AC lần lượt lấy M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB kẻ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’. Chứng minh rằng (CBE) // (ADF). b) Chứng minh rằng (DEF) // (MNN’M’). Bài 15: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình thang(AB//CD) có CD = 3AB. Gọi m là diện tích tam giác SAB. Gọi () là mặt phẳng qua điểm MAD và () // (SAB). Đặt . Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết diện theo m và x. Tìm x để Sthiết diện = m. Bài 16: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành, BC = a, SB = AB = 2a, tam giác SBC vuông tại B. Gọi M là điểm thuộc đoạn AB, AM = x, () là mặt phẳng qua M và // (SBC). Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (). Thiết diện là hình gì? Tính chu vi và diện tích thiết diện theo a và x. Tìm x theo a để diện tích thiết diện lớn nhất. Bài 17*: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SB. Biết tam giác ACE đều và AC = OD = a. () là mặt phẳng // (ACE) và đi qua trung điểm I của OD. () cắt AD, CD, SC, SB và SA lần lượt tại M, N, P, Q và R. Có nhận xét gì về tam giác PQR và tứ giác MNPR ? Tìm tập hợp giao điểm của MP và NR khi I di động trên OD. Tính diện tích của đa giác MNPQR theo a và x = DI. Tìm x để diện tích đó lớn nhất. Bài 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trong mặt phẳng (ABB’A’) và (CDD’C’). Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng (ABCD). Bài 19: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, Q lần lượt là các trung điểm của BC, CD, AA’. Xác định thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng (MNQ). Bài 20: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Chứng minh rằng CB’ // (AHC’). Tìm giao điểm của AC’ với mặt phẳng (BCH). Bài 21: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. a) Chứng minh rằng (IKG) // (BB’C’C); (A’KG) // (AIB’). b*) Gọi M, N lần lượt trung điểm của BB’ và CC’. Hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm của tam giác ABC và cắt 2 đường thẳng AB’, NM. Bài 22: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là các tam giác đều cạnh a . Các mặt bên ABB’A’, ACC’A’ là các hình vuông. Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng IJ // (ABC). Xác định thiết diện của hình lăng trụ tạo bởi mặt phẳng (IJO). Chứng minh thiết diện là hình thang cân và tính diện tích thiết diện .