Một số bài tập luyện thi đại học môn Toán

MỤC LỤC Phần một: ĐẠI SỐ Bài 1: Phương trình và bất phương trình 3 Bài 2 :Tam thức bậc hai 6 Bài 3 : Phương trình – bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 10 Bài 4: Phương trình vô tỉ 11 Bài 5: Bất phương trình vô tỉ 15 Bài 6 : Phương trình trình mũ 17 Bài 7: Bất phương trình mũ 20 Bài 8 Phương trình logarit 21 Bài 9 : Bất phương trình logarit 23 Bài 10 : Hệ phương trình 25 Bài 11 : Bất đẳng thức 35 Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số sau: 34 Phần hai : LƯỢNG GIÁC Bài 1 Các công thức lượng giác 36 Bài 2 :Phương trình lượng giác 40 Bài 3:.Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác 43 Bài 4 Phương trình bậc nhất đối với s inx và cosx 45 Bài 5: Phương trình đẳng cấp, thuần nhất bậc hai ,bậc ba đối với sinx và cosx 47 Bài 6 : Phương trình đối xứngđối với sinx và cosx 49 BÀI 7 Hệ phương trình lượng giác 51 BÀI 8: Các bài toán biến đổi tam giác và giải tam giác 52 BÀI 9: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 55 Phần ba : TÍCH PHÂN Bài 1 : Đạo hàm 57 Bài 2 :Nguyên hàm 58 Bài 3 Nguyên hàm của hàm hữu tỉ 61 Bài 4 Nguyên hàm của hàm lượng giác 63 Bài 5 :Tích phân xác định 65 Bài 6: Tích phân bằng phương pháp đổi biến số 68 Bài 7: Tích phân bằng phương pháp từng phần 72 Bài 7: Chứng minh đẳng thức tích phân 75 Bài 8: Bất đẳng thức tích phân 77 Bài 8 Diện tích hình phẳng 79 Bài 10 : Thể tích vật thể tròn xoay 82 Phần bốn: BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ Bài tập lượng giác 83 Bài tập đại số 90 Đại số Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I/ Giải phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d = 0 Cách giải :phương pháp nhẩm nghiệm +Bước 1 : nhẩm nghiệm x0 (thường là ước của d) + Bước2: chia ax3+bx2+cx+d cho x- x0 , đưa về phương trình dạng tích (x- x0 )( ax2+ Bx+ C) = 0 Chia đa thức theo sơ đồ hocner a b c d x0 a B C 0 Với B = a. x0 + b C = B. x0 + c Bài tập 1/ x3–3x2+5x = 0 2/ x3-5x2+2x+2 = 0 3/ 2x3-7x2 +9 = 0 4/ Cho đa thức: Tính P(m) Tìm m để pt P(x)= 0 có 3 nghiệm dương phân biệt II/ Phương trình bậc bốn: 1/ Phương trình trùng phương: Cách giải: đặt t = x2 , điều kiện: t 0 2/ Phương trình phản thương loại 1: Cách giải: + x = 0 : không là nghiệm + : chia hai vế cho x2 , ta được Đặt t = , ĐK . Ta được 3/ Phương trình phản thương loại 2: Cách giải: + x = 0 : không là nghiệm + : chia hai vế cho x2 , ta được Đặt t = , Điều kiện Ta được 4/ Phương trình. Đặt t = x + Ví dụ: 5/ Phương trình bậc bốn đầy đủ: Cách giải: tương tự như phương trình bậc ba: tìm nghiệm x0 rồi chia vế trái cho (x – x0) Bài tập: Giải các phương trình sau (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 0 Cho đa thức P(x)= a) Tính P(1), P(-1) Tìm m để pt P(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt II/ Giải bất phương trình Cách giải bất phương trình dạng f(x) 0 - Giải phương trình f(x) = 0 Xét dấu biểu thức f(x) Chọn khoảng nghiệm thích hợp Lưu ý: Dấu của đa thưc bậc bất kỳ : khoảng ngoài cùng bên phải luôn cùng dấu với a, qua nghiệm đơn đổi dấu qua nghiệm kép không đổi dấu Ví dụ : giải bất phương trình 1/ x2-3x > 0 2/ x2-4x+4 0 3/ x2-5x+7 >0 4/ x3-4x2+80 5/ 6/ 7/ x3-5x2+8x-4 0 Bài 2 :TAM THỨC BẬC HAI I/ Tóm tắt giáo khoa 1/Định lý Viet: a.Định lý thuận: cho phươnh trình :ax2+bx+c = 0 có hai nghiệm x1,x2. Ta có b. Định lý viet đảo :Nếu biết thì x, y là nghiệm phương trình X2– SX+ P = 0 Hệ quả: Dấu các nghiệm số của p trình bậc hai Phương trình bậc hai có hai nghiệm Trái dấu Cùng dấu Cùng dương Cùng âm 2/Tam thức bâc hai f(x) = ax2+bx+c (a0) Định lý Thuận về dấu của tam thức bậc hai: . 0 với mọi x . = 0 thì af(x) > 0 với mọi x . > khi đó f(x) có hai nghiệm và af(x) > 0 với mọi x ngoài af(x) < 0 với Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: Nếu tồn tại số sao cho a.f() < 0 thì phương trình có hai nghiêm phân biệt và số nằm trong khoảng hai nghiệm đó và Điều kiện tam thức không đổi dấu f(x) , f(x) , d. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số + + f( + + e. Điều kiện f(x) có nghiệm thoả x > TH 1: f(x) có nghiệm f( TH2: f(x) có nghiệm TH3: f(x) có nghiệm (làm tương tự cho trường hợp < x và khi xảy ra dấu bằng) IICÁC DẠNG BÀI TẬP Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiêïn: 1/(m+2)x2-2(m+8)x+5(m-2) = 0 , 2/ (m+1)x2-2(2m-1)x+3(2m-1) = 0 , 3/ (m+1)x2-2(m-1)x+m2+4m-5 = 0 , 2 4/ 3x2-2(m+5)x+m2-4m+15 = 0 , 5/ x2-2mx+3m-2 = 0 , 6/mx2-2(1-m)x+m-3 = 0 , 7/ x2-2mx+m2-3m+2 = 0 có đúng một nghiệm x 8/ x2–(m+5)x–m+6 = 0 có hai nghiệm thoả 2x1 + 3x2 = 13 9/ mx2 + (2m-1)x + m-3 = 0, có 2 nghiệm thoả 10/Tìm m để phương trình x2 -2(m+4)x + m2+ 8 = 0 có hai nghiệm dương 11/ Cho pt Tìm m để pt có nghiệm Tìm m để pt có nghiệm thoả Tìm giá trị lớn nhất GTNN của biểu thức 12/ Cho phương trình Tìm m để Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Phương trình vô nghiệm 13/ Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt 14/ Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiêïn: 15/ -x2+(m+1)x+2m > 0 , 16/ mx2-4x+3m+1 > 0 , 17/ sin2x + 4sinx + 2m 18/ x2- (3m+1) + m > 0 , 19/ sin2x -2cosx + 2m > 0 , 20/ x2-2(m+1)x-m+5 Bài 3 : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I. Một số kiến thưc cần nhớ 1/ Định nghĩa 2/ Một số tính chất + Tính chất 1 : + Tính chất 2: + Tính chất 3: + Tính chất 4: + Tính chất 5 : + Tính chất 6: dấu băng xảy ra khi và chỉ khi A , B cùng dấu II. BÀI TẬP 1) 2) ( ĐH Huế 1997-D) 3) 4) ( ĐH Hàng hải,1996) 5) ( ĐH SP vinh,1999) 6) 7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất (dùng phương pháp đồ thị) ĐS:m 1 Bài 4:phương trình vô tỉ I .TÓM TẮT GIÁO KHOA: + + Khi giải phương trình vô tỉ có các cách sau: - Bình phương hai vế - Đặt ẩn phụ - Đưa về phương trình bậc hai ẩn t, x là tham số - Đưa vệ phương trình ẩn x, t II.CÁC DẠNG BÀI TẬP: 1/ x - 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 3 9/ (x+3)(1-x)+5 10/ 11/ 12/ 13/ (4x-1) 14/ 15/ 16/ 17/ 2 18/ 19/ 20/ 21/ (Phương pháp đánh giá) 22/ (KD-2006) 23/ (KA-2006) 24/ 2 (KD-2005) 15/ (KB-2002) Tìm m để các pt sau có nghiệm thỏa điều kiện 1/ có nghiệm 2/ a.Có nghiệm b. Có hai nghiệm phân biệt 3/ a.có nghiệm b. Có hai nghiệm phân biệt 4/ có nghiệm 5/ có nghiệm (ĐH y-dược TPHCM, 1999) 6/ có nghiệm 7/. Tìm m để phương trình a. Có nghiệm duy nhất b. Có hainghiệm phân biệt 8/ m Tìm m để phương trình có nghiệm (KB-2004) 9/ m có hai nghiệm phân biệt 10/ có nghiệm 11/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt (KB – 2006) 12/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực (KA-2007) 13/ Chứng minh với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt (KB-2007) 14/ Tìm m để pt sau có nghiệm: ( ĐH Thuỷ sản 1998) Bài tập làm thêm: 1/ 2/ Cho pt Giải pt khi a = 3 Tìm a để pt có nghiệm 3/ Cho pt a) Giải pt khi m = 3 b) Tìm m để pt có nghiệm 4/ 5/ 2(1-x) 6/ () 7/ ( Giả sử ; không thoả Do đó x > 0 Bình phương hai vế ( Đs: x = 8) 8/ (bình phương, Đs :x = ) 9/ (Nhân lượng liên hợp ) Đs :x = 8 10/ (Bình phương, Đs x = 1, ) 11/ 12/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( Bình phương, đặt t =, phương pháp hàm số , Đs: ) Bài 5: BẤT phương trình vô Tỉ I Bất phương trình vô tỉ cơ bản + + + + + Giải các bất phương trình sau : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ (KA-2004) 6/ 7/ (x+1)(x+4) 8/ 9/ (x-3) 10/ ( (KD-2002) 11/ 12/ 13/ 14/ (KA-2005) Tìm m để các bất pt sau có nghiệm thỏa điều kiện: 14/ có nghiệm 15/ có nghiệm 16/ có nghiệm 17/ có nghiệm 18/ x+4 19/ 20/ m Bài 6 : PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH MŨ I.TÓM TẮT GIÁO KHOA: 1/ Công thức luỹ thừa (n số a) , 2/ Phương trình mũ cơ bản + + af(x) = c f(x) = logac + Chú ý: Phương trình dạng thì chia hai vế cho b2x ta được A. đặt t = III.CÁC DẠNG BÀI TẬP : 1/ 2/ ( 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ ( 8/ 9/ 2. 10/ 3. 11/ 12/ 13/ 7. 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 1+ 22/ 3x+x-4 = 0 24/ 25/ 26/ 3. 27/ 28/ 29/ 30/ Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện 1/ Có hai nghiệm phân biệt Có hai nghiệm phân biệt thỏa x1+x2 = 3 2/ m9x+3(m-1) 3x-5m+2 = 0 có hai nghiệm trái dấu 3/ Tìm m để phương trình Có nghiệm Có 2 nghiệm phân biệt 4/ Cho phương trình Giải pt khi a = 7 Biện luận theo a số nghiệm của pt Bài 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình mũ cơ bản + Cơ số a > 1 : ax > ab x > b ax > c x > logac + Cơ số 0 < a < 1 : ax > ab x < b ax > c x < logac + Giải các bất phương trình mũ sau 1/ 2/ 3/ ( 4/( 5/ ( (Học viện giao thông vận tải năm 1998) 6/ 7/ 8/ ( Chia hai vế cho , đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất) Bài 8 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I/ Các công thức logarit 1/Định nghĩa logarit : cho a N > 0 Ta có : 2/Tính chất : , , , 3/ Các phép toán về logarit 4/ Công thức đổi cơ số ; ; 5/ Phương trình logarit cơ bản Giải các phương trình logarit sau 1/ 2/ 3/ 2lg(x-1)+lg(2x+5) = lg(13-2x) 4/ log5(25x+ 5x +1)+log5(5x –1) = 3x+1 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ (x-1) 14/ 15/ 16/ (x+2) 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ ( Khối A 2008) Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện 1/ lg(x2+mx) – lg(x-3) = 0 có nghiệm 2/ có nghiệm thỏa 2 < x1 < x2 < 4 3/ có nghiệm x 4/ cho phương trình (*) a.Giải (*) với m = 2 b. Tìm m để (*) có ít nhất 1 nghiệm x (KA-2002) Bài 9 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bất phương trình logairit cơ bản + Cơ số a > 1 logax > logab x >b logax > c x > ac + Cơ số 0 logab x <b logax > c x < ac Giải các bất phương trình logrit sau : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ ( KB-2002) 7/ 8/ (ĐH SP TP HCM,2000) 9/ (ĐH Thuỷ lợi,99) 10/ (Đ H NT, 1998) 11/ (ĐH SP Vinh. 1998) 12/ (ĐH Huế , 1998) 13/ (ĐH ngân hàng TPHCM 1998) 14/ (ĐH Bách khoa Hà Nội) 15/ (Đ H Quốc gia TPHCM,1999) 16/ ( Khối B 2008) 17/ ( Khối D 2008) Bài 10 : Hệ Phương Trình I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 1.Đa thức đẳng cấp bậc n hai ẩn x vày có dạng P(x,y) = Mọi hằmg số được coi như đa thức đẳng cấp bậc 0 2.Hệ phương trình đẳng cấp: Hệ phương trình đẳng cấp có dạng :vế trái là những đa thức cùng bậc,vế phải là những đa thức cùng bậc,bậc vế trái và phải không nhất thiết cùng bậc 3.Cách giải: + Khi x = 0 :giải hệ + Khi x đặt y = kx thay vào hệ giải tìm t,y,x * Chú ý : đối với hệ đẳng cấp bậc hai ta có thể giải bằng phương pháp thế ,bằng cách khử sau đó suy ra y thế vào được pt trùng phương 4.Các bài tập: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ II. Hệ phương trình đối xứng loại I 1. Định nghĩa : Là hệ phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x 2. Cách giải : + Đặt S = x+y , P = x.y + Giải hệ tìm S và P + x , y là nghiệm của phương trình X2-SX+P = 0 * Cần nhớ : Hệ có nghiệm khi Hệ có nghiệm duy nhất khi: * Chú ý :tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Ta có thể thực hiện theo các bước sau: Bước 1 Điều kiện cần -Nhận xét rằng nếu có nghiệm (xo,yo ) thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ,do đó hệ có nghiệm duy nhất xo = yo (*) - Thay (*) vào hệ tìm được giá trị tham số.Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất Bước 2 Điều kiện đủ (thử lại) 3.Các bài tập : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ a. Chứng minh rằng với moi giá trị của m hệ phương trình sau luôn có nghiệm b.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 6/ (ĐH N Thương 99 ) 7/ (ĐHNT) 8/ (ĐH N Thương 98) 9/ (NT HN97) 10/ Cho hệ phương trình .Gọi (x,y) là nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy nhỏ nhất 11/ Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực (KD-2007) 12/ (Đề dự trữ A-2005) III. HỆ ĐỐI XỨNG LOAI II 1.Định nghĩa : là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia củahệ 2.Cách giải :lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) * Chú ý : tìm tham số để hệ có nghiệm duy nhất cũng tương tự như hệ đối xứng loại I 3.Các bài tập 1/ 2/ (KB-2002) 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ (KA97) 10/ (KA-2003) 11/. Cho a0. Xét hệ phương trình (ĐH Huế KA97) CMR hệ có nghiệm duy nhất khi a > 0 .Điều đó còn đúng không khi a < 0 12/ Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình với m = 0 Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất VI.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ ĐẶT ẨN PHỤ 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ (ĐHQG HN - 1999) HD : Đặt nhân tử chung ĐS: (1; 1) , (– 1; – 1) , ( ; –) , ( –; ) 7/ (ĐHQG HN - 1997) HD : Đặt nhân tử chung ĐS: (–2; –2) 8/ (CĐSP Qui nhơn 2001) HD: Đặt ẩn phụ ĐS: (), (2 ; 1) 9/ ( ĐH Hàng Hải–2001) HD: Đặt ẩn phụ u = x - y , v = x.y ĐS: (0 ; 0) ; (3 ; 2) , (–2 ; –3) 10/ (ĐH TCKT – 2001) HD: Đặt ẩn phụ: ĐS : ( 0; 1) , ( 0 ; –1) , ( 1 ; 0) , ( –1 ; 0) 11/ HD: Đặt ; ĐS: 12/ HD: Đặt u = x2 + y , v = x.y 13/ HD: Đặt x+y la nhân tử 14/ Thế V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1/ (ĐH Nông nghiệp HNI,2000) 2/ 3/ (ĐH Thái Nguyên 1998) 4/ 5/ BÀI 11 : BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH DÙNG ĐỊNH NGHĨA Bài 1 : cho a,b,c R. Chứng minh rằng 1/ 2/ Bài 2 : Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Bài 3: Bất đẳng thức Côsi . Cho. Chứng minh rằng Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Bài 5 : cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và p là nửa chu vi.Chứng minh rằng: 1/ 2/ Bài 6 : cho x, y ,z ,t > 0 .Chứng minh rằng : 1/ x + y + z +t 2/ x + y +z 3/ 4/ Bài 7 : Chứng minh rằng : Bài 8 : Chứng minh rằng : CHUYÊN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁCH ÁP DỤNG BĐT CÔSI BĐT CÔSI : cho n số không âm . Ta có Dấu bằng xảy ra khi Bài 1: CMR : Bài 2 : cho a ,b , c > 0 và a + b + c = 1. CMR Bài 3 : giải phương trình : Bài 4 : Cho a,b,c là 3 số dương .Chứng minh rằng 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Bài 5 : cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các bất đẳng thức 1/ 2/ 3/ Bài 6 : Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh Bài 7: Cho Bài 8 :cho a>b ,a.b = 1 .Chứng minh ( HD : ) Bài 9: Cho x, y, z thoả mãn x.y.z = 1 Chứng minh rằng (KD 2005) Bài 10 :Cho Bài 11 :Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác .CMR : Bài 12 : Cho x,y,z là các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng (KA 2005) Bài 13 :Chứng minh rằng với mọi x R Khi nào đẳng thức xảy ra ? (KB 2005) Bài 14 : Chứng minh các bâùt đẳng thức sau : 1/ (với a,b,c 0) 2/ 3/ 4/ CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG ĐẠO HÀM 1/ Chứng minh: 2/ Chứng minh: ln(1+x) 0 3/ CMR: 4/ cosx > 1–, x >0 5/ ln(1+x) > 1 + x + Bài 12:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ SAU: 1/ y = (3sinx-4cosx-10) (3sinx+4cosx-10) 2/ y = x6+4(1-x2)3 , x 3/ y = (Khối D-2003) 4/ y = x+ (Khối B-2003) 5/ y = x(1+ 6/ y = 7/ y = cos2x+4sinx , x 8/ Cho x, y ,zlà các số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (KA-2007) 9/ Cho x, y, z là ba số thưc dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức (KB-07) 11/Cho x, ythay đổi và thoả mãn điều kiện (x + y)xy= x2+y2– xy. Tìmgiá trị lớn nhất của biểu thức ( KA-06) LƯỢNG GIÁC Bài 1 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Các thưc cơ bản và các hệ quả sin2x+cos2x = 1 4) 1+tg2x = tgx = 5) 1+cotg2x = cotgx = 6) tgx.cotgx = 1 II . công thức cộng trừ sin(a+b) = sina.cosb+cosa.sinb sin(a-b) = sina.cosb - cosa.sinb 3) cos(a+b) = cosa. cosb – sina.ainb 4) cos(a-b) = cosa. cosb + sina.ainb 5) tg(a+b) = 6)tg(a-b) = III công thức nhân đôi : 1) sin2a = 2sina.cosa 2) cos2a = cos2a – sin2a = 1 – 2sin2a = 2cos2a – 1 3) tga= IV. Công thức nhân ba : sin3a= 3sina – 4in3a cos3a = 4cos3a – 3cosa 3) tg3a = V . Công thức hạ bậc : 2) 1) sinx = 2) cosx = 3) tgx = VI. Công thức biểu diễn sinx, cosx, tgx qua t = tg VII . Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = sina.sinb = - sina.cosb = VIII. Công thức biến đổi tổng thành tích : cosa + cosb = 2cos . cos cosa - cosb = -2sin . sin 3) sina + sinb = 2sin . cos 4) sina - cosb = 2cos .sin 5) tga + tgb = 6) tga - tgb = IX. Công thức liên hệ của các cung góc liên quan đặc biệt 1.Góc đối : 2.Góc bù : 3. Góc phụ : 4. Góc sai kém : X. Công thức bổ sung : cos+sin = cos() =sin() cos-sin = cos() =sin() 1+sin2x =(sinx+cosx)2 XI.Định lý hàm số cosin : a2 =b2+c2-2bc.cosA Suy ra : cosA = b2 =a2+ c2– 2ac.cosB c2 =a2+ b2 – 2ab.cosC XII. Định lý hàm số sin: === 2R Suy ra : XIII.Công thức tính diện tích tam giác XII. Công thức tính diện tích tam giác 1) S =a.ha =b.hb =c.hc 2) S =a.b.sinC =b.c.sinA =c.a.sinB 3) S = ( P= ) 4) S =p.r 5) S = Bài 2 :PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.Phương trình lượng giác cơ bản: 1/Phương trình lượng giác cơ bản: là phương trình sau khi biến đổi và rút gọn có dạng sinx = m cosx = m tagx = m cotgx = m Lưu ý: Phương trình sinx = m , cosx = m chỉ có nghiệm khi 1/Công thức nghiệm 1) cosU = cosV ( kZ) 2) sinU = sinV 3) tgU = tgV U = V +k 4) cotgU = cotgV U = V +k 2/ Công thức nghiệm đặc biệt: 1) sinU = 1 U = + k2 2) sinU = -1 U = - + k2 3) cosU = 1 U = k2 4) cosU = -1 U = +k2 5) sinU = 0 U = k 6) cosU = 0 U = + k 3/ Bài tập : tg5x.tgx =1 2cos3x+sinx+cosx = 0 (ĐH Huế 99-D) sin2x+sin2(2x)+sin2(3x) = ( ĐH Huế 98-A) 3-4cos2x = sinx(2sinx+1) (ĐH Cần thơ 98-D) 1+3cosx+cos2x =cos3x+2sinx.sin2x (ĐH Đà Nẵng 98-B) (1-tgx)(1+sin2x) = 1+tgx (ĐHTCKTHN 97) tgx + cotgx =2(sin2x+cos2x) (ĐHCTVT 98) sin3x.cos3x+cos3x.sin3x = sin3(4x) (ĐH NT99-A) cos4x+sin4x = cos4x (ĐH Huế 99-RT) cos7x + sin2(2x) = cos2(2x) (ĐH Hàng hải 98) sin6x+cos6x = 2(sin8x+cos8x) (ĐHQGHN99-B) sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x (ĐHNT99) cos3x+sin3x= 2(cos5x+sin5x) (ĐHQGHN 98-B) (ĐH BKHN20-A) sin3x+cos3x+sin3x.cotgx+cos3x.tgx = (ĐH kiển trúc HN2000) 1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x (ĐHNT 20-A) (2sinx+1)(3cos4x + 2sinx-4) + 4cos2x = 3 (ĐH Hàng hải 2000) - 2cosx = 2 sin2x(cotgx+tg2x) = 4cos2x (Mỏ địa chất 2000) cos3x+sin3x = cos2x (ĐH Ykhoa HN 2000) 21) cos3x-sin3x = sinx-cosx (ĐH Đà Nẵng 99) 22) sin4x+cos4(x+) = (ĐH Hàng hải 95) 23) sin(2x+) – 3cos(2x -) = 1+2sinx 24) sin22x- cos28x = sin() 25)+ = 26) tg2x-tg3x-tg5x = tg2x.tg3x.tg5x 27) 2tgx+cotgx = 28) 3sinx + 2cosx = 2+3tgx 29) Tìm x thuộc đoạn [0,14] nghiệm đúng phương trình cos3x-4cos2x+3cosx-4 = 0 ( KD-2002) 30) sin23x-cos24x = sin25x-cos26x (KB-2002) 31) sin2(.tg2x-cos2 = 0 (KD-2003) 32) (2cosx-1)(2sinx+cosx) = sin2x – sinx (KD-2004) 33) cos23x.cos2x –cos2x = 0 (KA-2005) 34) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x = 0 (KB-2005) 35) KA-2006) 36) cotgx+sinx(1+tgx.tg) = 4 (KB-2006) 37) cos3x+ cos2x– cosx– 1 = 0 (KD–2006) 38) (1+sin2x)sinx + (1 + cos2x).sinx = 1 +sin2x (KA -2007) 39) (KD -2007) 40) (KB -2007) 41) (KB – 2008) 42) 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1+2cosx ( KD – 208) 43) (KA – 2008) HD : Bài 3:.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1/ Dạng Bậc 2 asin2x + bsinx + c = 0 acos2x + bcosx + c = 0 atg2x + btgx + c = 0 acotg2x + bcotgx + c = 0 Bậc 3 asin3x +bsin2x + csinx + d = 0 acos3x +bcos2x + ccosx + d = 0 atg3x +btg2x + ctgx + d = 0 acotg3x +bcotg2x + ccotgx + d = 0 2/Phương pháp giải Đặt ẩn phụ t = sinx , t = cosx , t = tgx , t = cotgx 3/ Bài tập 2+cos2x = -5sinx sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97) 2+cosx = 2tg (Học viện ngân hàng98) cosx = cos2() (ĐH hàng hải97) tg2x + sin2x = cotgx (ĐH Thương mại 99) 2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99) =1 (ĐH Mỏ địa chất 97) 3cos4x – 2cos2(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98) 2sin3x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98) 10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99) 11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D) 12)cho phương trình :sin4x + cos4x - sin2(2x) + m = 0 a.Giải phương trình khi m= 2 b.tìm m để phương trình có nghiệm (Trường Hàng không VN 97 13) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99) 14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98) 15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D) 16) 4cos3x + 3 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D) 17) sinsinx - cossin2x + 1 = 2cos2() (ĐHSP TP.HCM 2000) 18) (ĐH luật HN 2000) 19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000) 20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000) 22) 2cos2x – 8cosx + 7 = (ĐH NNgữ HN 2000) 23) (ĐH Thủy lợi 2000) 24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2) của phương trình 5(sinx + = cos2x + 3 (KA-2002) 25) cotgx – tgx + 4sin2x = (KB-2003) 26)sin4x + cos4x + cos( ).sin(3x - ) - = 0 (KD-2005) Bài 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX asinx + bcosx + c = 0 *Phương pháp giải : chia hai vế cho ta được : sinx+ cosx = sinxcos sin(x + ) = đây là phương trình cơ bản phương trình có nghiệm khi 0 a2+b2c2 * Lưu ý : * Bài tập : 1)sin2x + cos2x = ( ĐH Huế 99) 2) Cho phương trình : mcos2x + sin2x = 2 a. Tìm để phương tình có nghiệm Giải phương trình khi m=2 3) 3cos3x + 4sinx + = 6 4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1) 5) cosx + sinx = 2cos2x 6) Tìm thoả phương trình cos7x - sin7x= – 7) cos7x.cos5x – sin2x = 1 – sin7x.sin5x 8) 2cosx(sinx – 1) = cos2x 9) 3sinx – cos3x = 4sin3x – 1 10) sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2006x 11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx 13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 14) 15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0 16) 17) 1+ sin32x + cos32x = sin4x 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+cosx) 19) 20) 21) Cho phương trình a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm b) Giải phương trình khi m = –1 BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP, THUẦN NHẤT BẬC HAI ,BẬC BA ĐỐI VỚI sinx Và cosx 1/.Dạng : + Đẳng cấp bậc hai: asin2x + bsinxcosx + c cos2x = 0 + Đẳng cấp bậc ba: asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = 0 2/.Cách giải: + Trường hợp: cosx = 0 Thế cosx = 0 vào phương trình, chỉ nhận nghiệm sinx = 1 hoặc sinx = -1 + Trường hợp: cosx 0 chia hai vế của phương trình cho hoặc , rồi biến đổi về phương trình theo tg x , đặt t = tgx 3/. Bài tập: 1)sinx+cosx = (ĐH An ninh 98) 2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2 3)sin3x + cos3x = sinx – cosx 4) 2cos3x = sin3x (HV KT Quân sự 97) 5) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 (ĐH NN I HN 99) sinx – 4sin3x + cosx = 0 (ĐH Y Khoa HN 99) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (ĐH YD HCM 97) cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 (ĐH NT 96) cotg x – 1= (ĐHKA2003) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 BÀI 6 : PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1/.Dạng: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 hoặc a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 2/.Cách giải: Đặt ẩn phụ t = sinx + cosx hoặc t = sinx – cosx Điều kiện : Suy ra : sinx.cosx = (hoặc sinx.cosx = ) 3/.Bài tập: 1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D) 2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97) 3) = 1 (ĐH An ninh 98-A) 3tg3x – tgx + = 0 (Kiến trúc HN 98) sinx+ sin2x+sin3x+sin4x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x sin3x+ cos3x = 1 sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1 1 + sin3x+ cos3x = sin2x (ĐH GT VT 99) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công