Một số bài tập rèn luyện Giới hạn hàm số

PHƯƠNG PHÁP GỌI SỐ HẠNG VẮNG Bản chất khử dạng vô định là làm xuất hiện nhân tử chung để : -Hoặc là khử nhân tử chung đưa về dạng xác định . -Hoặc là đưa giới hạn về các dạng cơ bản , quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải Trong các bài tập khó, trong các đề thi Đại Học, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thường thiếu vắng. Để giải quyết bài toán, điều mấu chốt là khôi phục các hạng tử vắng đó như thế nào? Bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc 3 phương pháp để giải quyết vấn đề này. Phương pháp 1 : HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Xét ví dụ : Tìm: , với Giải : **Trong lời giải trên, ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của . Có 3 câu hỏi đặt ra là: Tại sao phải có số 2 . Tại sao phải là số 2 . Tìm số 2 như thế nào ? Trả lời 3 câu hỏi trên ta có phương pháp giải loại toán này: +Trả lời câu hỏi 3: Để tìm số 2, ta đưa ra thuật toán gọi số hạng vắng. Bước 1: , ta có : Bước 2: Trong các số đó , ta tìm số c sao cho x2-1 cùng nhân tử với và . Điều đó xãy ra khi chỉ khi c là nghiệm của hệ sau : Đáp số: c=2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và 2 . Tổng quát : Giả sử Bước 1: Phân tích . Bước 2: Tìm c . Gọi x1,x2 là ngiệm của g(x)=0, khi đó c là nghiệm của hệ : . Với c tìm được thì: ; giải quyết dễ dàng . Bài tập tự giải : 1. .( ĐHQG HN97) 2. .Hướng dẫn: Đặt x=y+7. 3. . Hướng dẫn: Đặt . 4. . Hướng dẫn: Đặt sin2x=y . Phương pháp 2: GỌI ĐA THỨC VẮNG Bằng cách đặt ẩn phụ , dể dàng chứng minh được: (*) Xét ví dụ 1: Tìm . Ta có : . Trong ví dụ trên ta đã thêm bớt P(x)=x2+1998 và tử thức làm xuất hiện dạng Đây là điểm mấu chốt của lời giải . Tổng quát : Để tìm ta thêm bớt P(x) vào f(x) làm xuất hiện dạng , hạng tử vắng ở đây là P(x) đã “ xưng danh” trong biểu thức giới hạn. Nhân tử chung trong phương pháp này không giản ước được. Khi tìm giới hạn thì . Ví dụ 2: . Giải: Gọi tử thức là T, mẫu thức là M ,ta có: = Áp dụng công thức (*) ta có: . Áp dụng công thức (*) ta có: . Và do đó: . Bài tập tự giải : Tìm với: và ( Hướng dẫn: Đặt y=tgx) Phương pháp 3 : TÁCH BỘ PHẬN KÉP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA PHÂN THỨC CHỨA CĂN. Muốn tìm giới hạn (*) có dạng vô định (m,n,kN), , ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức vào phân thức phải tìm giới hạn. Trong đó Qf(x), Qg(x) là biểu thức liên hợp của và . Lúc đó : có dạng xác định quen thuộc. Ví dụ 1: Tìm giới hạn: . Giải: Đặt . Ở đây h(x)=x+3 Viết lại: (1) Ta có: (2) = (3) Từ (1),(2) và (3) suy ra: . LƯU Ý: + Biểu thức h(x) được xác định từ các biểu thức f(x), g(x) được gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn dạng (*). + Một vài số hạng của bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong f1(x), g1(x), ta phải tìm chúng để xác định chính xác biểu thức h(x). Ví dụ 2: Tìm giới hạn: Giải: Đặt . Ở đây h(x)=cosx. Viết lại: (4) Ta có: (5) Từ (4),(5)và(6) suy ra . Ví dụ 3: Tìm giới hạn: . Giải: Đặt f(x)=cos2x-2x=(1-x)2-x2-2sin2x. Hay f(x)- (1-x)2=-x2-2sin2x . . Hay: .Ở đây: h(x)=1-x Viết lại: (7) Ta có: Từ (7),(8) và (9) suy ra: Bài tập tự giải: (ĐH Thuỷ Lợi 2001)