Một số bài toán về thiết diện

Một số bài toán về thiết diện A. Sự cần thiết của chuyên đề 1. Là một mảng kiến thức lớn và tương đối khó cho rất nhiều học sinh lớp 11. 2. Nhiều kiến thức liên quan như tìm giao giữa các mặt phẳng, giao giữa đường thẳng và mặt phẳng, giao giữa đường thẳng với đường thẳng, góc giữa 2 mặt phẳng; hai đường thẳng trong không gian; đường thẳng song song; đồng quy; các bài toán tìm tập hợp điểm; vị trí và tính chất của các hình; sự thẳng hàng của các điểm; các đẳng thức hình học; bài toán tỷ số thể tích. 3. Là một chủ đề để đánh giá chất lượng học tập của học sinh; có mặt trong một số đề thi Đại học, Cao đẳng. 4. Về tư duy: Phát triển duy biến chứng; tư duy logic; tư duy thuật toán, tư duy hàm; tư duy sáng tạo. B. Cách trình bày chuyên đề. 1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp. Quy lạ về quen; quy phức tạp về đơn giản; quy tìm thiết diện về tìm giao của đường thẳng với đường thẳng. 2. Cách trình bày lời giải. Chi tiết; hệ thống; dễ áp dụng vào quá trình giảng dạy và học tập; coi trọng mô hình trực quan, đổi mới phương pháp; tạo hứng thú; tránh áp đặt; phát triển tư duy thuật toán; phán đoán; phân tích và tổng hợp; so sánh; tư tượng tự hoá; khái quát hoá; trừu tượng hoá. 3. Các ví dụ cụ thể và các phương pháp cơ bản. Một số bài toán về thiết diện Bài 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD; M; N; P là giao ba điểm trên cạnh bên SA; SB; SC sao cho các đường thẳng MN; NP; MP cắt mặt phẳng (ABCD). 1. Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. Dựng điểm Q. 2. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Dựng giao điểm của SE với mặt phẳng (MNPQ). S Q M P A D N b C B Lời giải: Cách 1: Trên mặt phẳng (SAB), MN và AB cắt nhau tại . Trên mặt phẳng (ABC), PN và BC cắt nhau tại b. b là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và (ABCD). Trên (ABCD), DB cắt b tại ẻ ab => ẻ (MNP) ẻ BD => ẻ (SBD) Vậy là giao điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD); N cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này. Do đó N là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD) S Q M R A P D I B C Trên (SBD), N cắt SD tại Q. Q là giao điểm của (MNP) và SD. Cách 2: AC BD = I Trên mp (SAC). SI ầ MP =K Do K ẻSI nên K ẻ (SBD)trên mp (SBD). NK cắt SD tại Q. Q là giao điểm của mp (MNP) và SD. S Q M R A P D I I B C 2) EI cắt AB, CD ở X và Y. SY cắt MN. PQ ở Z và T. Trên mặt phẳng (SEY) ZT cắt SE tại FF là T F F giao điểm của SE với mặt phẳng thiết diện (MNPQ). Bài 2: Cho hình chóp SABCDE. đây ABCDE là một ngũ giáo đều M và N là trung điểm các cạnh AB và BC. V là một điểm trên cạnh SA. 1) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (VMN) với hình chóp thiết diện cắt cạnh SC ở P. 2) Khi V di động trên cạnh SA. tìm tập hợp giao điểm T của hai đường thẳng VM và PN. Lời giải 1) MN kéo dài cắt EA, DC kéo dài ở a và b Trên mặt phẳng (SEA), aV cắt SE tại R T+ S D R V0 D P E C V N A B T Do M, N là trung điểm của AB và BC nên MN //AC Do đáy hình chóp là ngũ giác đều nên AC//EI. Ta được MN // ED. Suy ra MN// mp (SED) Mặt phẳng thiết diện chứa MN cắt mp (SED) theo một giao tuyến qua R song song với ED. Giao tuyến này cắt SD tại Q. Trên mặt phẳng (SDC) bQ cắt SC tại P. Ta được thiết diện MNPQRV là một lục giác có cạnh MN // với cạnh QR. 2. Giao điểm T của VM ở trên hai mặt phẳng (SAB) và (SCB) nên ở trên giao tuyến SB, khi V ở A thì T ở B. V rời A tiến về S thì T rời B xuống dưới. Trên tia SB, khi V -> V0. V0 là trung điểm cạnh SA thì T -> T (ký hiệu của T khi T ở xa và cùng về phía dưới). Khi V ở V0 thì MV0 // SB không tồn tại T. Khi V rời V0 tiến về S thì T rời T0 tiến về S (T là ký hiệu của T khi T ở xa vô cùng về phía trên của cạnh SB). Vậy tập hợp của T là đường thẳng SB bỏ đi đoạn thẳng hở SB (đoạn thẳng hở SB là đoạn thẳng SB bỏ hai đầu mút S và B). Bài 3: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Gọi OP, U là các trung điểm các cạnh AB, BC. Gọi M4 là điểm thuộc cạnh AA'. . Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M4PU) với hình lập phương. 2. M5 là điểm thuộc đoạn thẳng A'M4 (hở hai điểm mút A') sao cho thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MPU) với hình lập phương các hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang, ngũ giác, lục giác. 3. Định vị trí của điểm M trên đường thẳng chứa cạnh AA' sao cho thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MPU) với hình lập phương là các hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang, ngũ giác, lục giác Lời giải. 1. PM4 a'B' = a. Do PU // (A'B'C'D') nên mặt phẳng (M1PU) cắt mặt phẳng (A'B'C'D') theo một giao tuyến qua a // với PU, cũng là // với A'C". Do AM4 = M4A' nên aA' = 2AP = A'B' => a' là trung điểm aB'. Do đó giao tuyến nói trên qua D'. Giao tuyến này cắt B'C' tại . U CC' = T4 Ta được thiết diện là ngũ giác PM4D'T4 U. 2. PM5 A'B' = b. Mặt phẳng (M5PU) cắt mp (A'B'C'D') theo giao tuyến qua b // với A'C" cắt A'D'. D'C' tại Q5, R5 Đường thẳng qua R5 // với PM5 cắt CC' tại T5 ta được thiết diện là lục giác PM5Q5R5T5U. 3. Gọi M2 là giao của PB' và AA' Khi M trên A'A ở xa vô cùng về phía A trên cạnh A'A, ký hiệu là M, thì thiết diện qua PU // với A'A. Ta được thiết diện là hình chữ nhật PQ2T2U Khi M ở M1 ẻ (M2. A) thiết diện là hình thang PQ1T1U Khi ở M2 thiết diện là tam giác PB'U Khi M ở M3 ẻ (M2. A) thiết diện là hình tam giác PQU Khi M ở A thiết diện là hình vuông ABCD Khi M ẻ (A. M4) thiết diện là một ngũ giác. Khi M ở M4 thiết diện là ngũ giác PM4DT1U Khi M ở M5 ẻ (M4, A) thiết diện là một lục giác PM5Q5R5T5U Khi M ở A' thiết diện là hình thang PA'C'U' Khi M ở M6 ẻ (A. M) thiết diện là hình thang PQ6T6U Khi M trên AA' ở xa vô cùng về phía A', ký hiệu M... thiết diện là hình chữ nhật PQ2 T2U. Vậy để thiết diện là: 1. Tam giác điểm M ẻ (M2. A) 2. Hình vuông điểm M ở A 3. Hình thang điểm M ẻ (M.. M2); (A' M4) 4. Ngũ giác điểm M ẻ (A1M1) 5. Lục giác, điểm M ẻ (M4, A') 6. Hình chữ nhật điểm M ở M1 (mp (MPU) // AA') Bài 4: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang cạnh đáy NB // = CD = a M là N là trung điểm cạnh AB và AD. P là điểm thuộc SC sao cho Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp chỉ rõ vị trí các đỉnh của thiết diện trên các cạnh tương ứng của hình chóp. Lời giải: S P J I D C K N A B L MN kéo dài cắt CD kéo dài tại I, BC kéo dài tại L IP cắt SD tại J LP cắt SB tại K Ta được thiết diện MNJPK Ta có H = AM = (do N là trung điểm của AD và ID // AM) IC - ID + DC = Ta có Vậy điểm J chia cạnh SD theo tỷ số Ta có Và Ta có kết quả bằng cách khác là suy từ JK//DB Thật vậy M và N là trung điểm của AB và AD nên MN // DB => MN // mp (SBD) Ta có MN // mp (SBD) mp (PMN) MN => MN // JK (PMN) (SBD) = JK Vì MN // DB nên ta được JK // DB do đó Bài 5: Cho tứ diện ABCD, I và J là các trung điểm các cạnh AB và CD. Một mặt phẳng qua IJ cắt AC, BD ở M và N qua M kẻ đường thẳng // với IJ, cắt pm (BCD) tại E 1. Chứng minh ba điểm E, J, N thẳng hàng 2. Gọi L là trung điểm của BC, chứng minh hai mặt phẳng (IKJ) và (MCE) // với nhau 3. Chứng minh SIMJ = SINJ A I B N D M K J C E Lời giải: 1. Do M và IJ đều thuộc mp (IMJN) nên ME (song song với IJ) cũng thuộc mặt phẳng này. Ta có E ẻ mp (IMJN) E ẻ mp (BCD) => E ẻ giao tuyến JN của hai mặt phẳng. Vậy ba điểm E, J, N thẳng hàng. 2. Ta có IK// MC; IJ // ME, IK ME = M Vậy mp (IKJ) // mp (MCE) 3. Do mp (IKJ) // mp (MCE) nên CE // KJ (vì CE và KJ là giao tuyến của mp (BCD) với hai mặt phẳng song song (IKJ), (MCE). Ta có CE // KJ; KJ //BD nên CE // BD Ta có hình thang CENB và KJ là đường trung bình (vì K là trung điểm cạnh BC và KJ // CE // BN). Ta được J là trung điểm cạnh EN Suy ra SIEJ = SINJ Mà SSEJ = SIMJ (vì hai tam giác IEJ và IMJ có chung cạnh đáy IJ đường cao kẻ từ M và từ E của hai tam giác bằng nhau do ME // IJ) Vậy SIMJ = SINJ Bài 6: Cho tứ diện ABCD, I và J là trung điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua AC song song với BD. (R) là mặt phẳng qua BD song song với AC. 1. Gọi (Q) là mặt phẳng qua I song song với (P) và (Q) chứng minh (Q) qua J. 2. Một mặt phẳng qua IJ cắt AC ở M, BD ở N. MN cắt IJ tại K. Chứng minh K là trung điểm của MN. 3. Chứng minh SIMJ = SIND Lời giải: A I B K N M J C 1) Ta có (P) // (R) Giả sử (QU) qua I, song song với (P) và (Q) cắt CD tại J' áp dụng định lý Talét cho ba mặt phẳng song song (P) (Q) (R) và cho hai cát tuyến AB và CD ta có: Do I là trung điểm của AB, ta được J' là trung điểm của CD. Do đó J' trùng với J. Vậy (Q) qua J. 2) MN cắt IJ tại L. Ta có M ẻ (P), K ẻ (Q), N ẻ (R). Với cát tuyến MN, ta được là trung điểm của MN. 3) Từ M và N kẻ các đường vuông góc ME, NF tới IJ. F J N K E M I Hai tam giác vuông MEK và NFK bằng nhau (MK = NK; => ME = NF Hai tam giác IMJ và INJ có chung đáy IJ, đường cao ME, NF bằng nhau nên diện tích bằng nhau. Vậy SIMJ = SINJ Bài 7: Cho tứ diện ABCD, Ab = a, CD = b, AC = c. Góc giữa AB và CD bằng a. Một mặt phẳng song song với AB và CD cắt AC, BC, BD, AD tại M, N, P, Q. 1. Thiết diện MNPQ là hình gì? Tại sao? 2. Tính SMNPQ theo a,b,c a và theo AM = x 3. Vẽ đồ thị hàm số SMNPQ theo x. Với giá trị nào của x thì SMNPQ đạt giá trị lớn nhất. A x a M C B P D N b C Lời giải. Q 1. Ta có AB // mp (MNPQ) mp (ABC) AB mp (ABC) mp (MNPQ) = MN nên MN // AB Tương tự PQ // AB Do đó MN // PQ Chứng minh tương tự MQ // NP S P 0 C x Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành. 2. Ta có Ta có Ta lại có = a Vậy SMNPQ = 3. SMNPQ = - với 0 x c.` Đồ thị nhận được là một chỏm Parabol trên đoạn có đỉnh là P Đồ thị cho ta max SMNPQ = Bài 8: Cho tứ diện ABCD, I và J là trung điểm các cạnh AB và CD (P) là một mặt phẳng chuyển động luôn song song với AB và CD, cắt AC, BC, BD, AD tại M, N, P, Q. Một mặt phẳng (Q) qua IJ cắt (P) theo giao tuyến D. Chứng minh D luôn chia thiết diện MNPQ thành hai phần tương đương. Lời giải: Theo bài trước, ta biết MNPQ là một hình bình hành Mặt phẳng (Q) qua IJ cắt AC tại M0, IM0 kéo dài cắt BC tại a, aJ cắt BD tại N0. Tứ giác IM0JN0là chu vi của thiết diện tạo bởi (Q) và hình tứ diện. Trên (ABC) A I Q M D E N D B D N M J C MN IM0 = E Trên (ABD): PQ IN0 = F. Đường thẳng EF là giao tuyến D của hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta gọi R là giao điểm của MQ và AJ. Do MQ//CD; J là trung điểm của CD nên R là trung điểm của MQ. Ta gọi S là giao điểm của NP và BJ, S là trung điểm của NP. Vậy RS là đường trung bình của hình bình hành MNPQ. RS cắt D tại W. Do đó W là tâm đối xứng của hình bình hành (vì cũng là giao điểm của MN và NQ). Đường thẳng D qua tâm W nên chia hình bình hành MNPQ thành hai phần tương đương. Bài 9: Cho tứ diện SABC, đáy ABC cố định, đỉnh S di động trên mặt phẳng (II) cố định. (II) là mặt phẳng qua A song song với BC. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh SB, SC, AC, AB. 1. Chứng minh nếu tứ giác MNPQ có diện tích không đổi thì S chuyển động trên một trong hai đường thẳng song song. 2. Chứng minh nếu không đổi thì S chuyển động trên một đường tròn cố định. Lời giải: 1. Mặt phẳng (II) và mặt phẳng (ABC) cắt nhau theo giao tuyến D. D qua A song song với BC Kẻ MH QP , BH kéo dài cắ D tại K Do Qp là đường trung bình của tam giác ABC nên H là trung điểm của BK, M là trung điểm SB, MH là trung bình của tam giác SBK nên SK//MH. MH QP Ta có SK // MH => SK D D // QP Ta có. SMNPQ = không đổi SMNPQ = MH. QP; QP = không đổi => MH = không đổi => Sk = 2 MH = không đổi => trên (II), S cách D một đoạn không đổi nên S di động trên hai đường thẳng D1, D2 song song cách đều D một đoạn không đổi 2) BP kéo dài cắt D tại B0, CQ kéo dài cắt D tại C0 P là trung điểm của BB0, M là trung điểm của BS nên SB0= 2MP Tương tự SC0 = 2NQ. Do đó không đổi Trên (II) các điểm B0, C0 cố định không đổi Kẻ SI, SJ là các đường phân giác trong và ngoài của góc B0SC0 cắt D tại I và J; SI SJ. Theo tính chất đường phân giác ta có. không đổi. Suy ra I, J cố định. Vậy trên (II) S chuyển động trên đường tròn đường kính IJ (đường tròn A - pô - lô - ni - ut) Bài 10: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C'. M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh B'C', Q là điểm thuộc cạnh A'C' sao cho 1. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng MPQ với hình lăng trụ. 2. Các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính diện tích thiết diện. Lời giải 1. QP ầA'B' = a ta có aẻPQ ịa ẻ mp (Thiết diện) aẻA'B' ị a ẻ (A'B'BA) A' I Q C' B' a Q N R A C M B Vậy a là điểm chung của mp ( thiết diện) và mặt phẳng (A'B'BA) Điểm M cũng là điểm chung của hai mặt phẳng nayg. Vậy hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến Ma. Ma cắt BB' tại N Do hai đáy (ABC) và (A'B'C") song song. Ta được MR//PQ, R ẻ AC Vậy thiết diện là ngũ giác MNPQR, trong đó M là trung điểm AB, N là trung điểm BB", R thuộc AC sao cho 2. Gọi I là trung điểm A'C', B'I A'C' (tam giác A'B'C là tam giác đều). Ta có PQ // B'I => PQ A'C'. Gọi O là trung điểm cạnh RQ. Lại có N là trung điểm cạnh BB'; B' và Q ẻ (A'B'C'): R và B ẻ (ABC). áp dụng định lý Talét với hai mặt phẳng song song (A'B'C'), (ABC) và hai cắt tuyến QR và BB', ta được ON ở trên một mặt phẳng song song với hai mặt đó. Mặt phẳng thiết diện cắt ba mặt phẳng trên theo các giao tuyến song song QP, ON, RM. ON//QP Do => ON QR QP QR Do MB = PB'; NB = NB' nên hai tam giác vuông MBN, PB'N bằng nhau suy ra NM = NP Ta cũng chứng minh được QP = RM như vậy ta có QP // ON // RM ON QR O là trung điểm QR QP = RM NM = NP Vậy thiết diện MNPQR được ON chia thành hai phần tương đương. Phần ONPQ là một hình thang vuông nhận OQ là đường cao. Ta có. PQ = OQ2 = OI2 + IQ2 = Do đó SONPQ = Vậy SMNPQR = Bài 11: Cho lăng trụ tam giác ABCA'B'C', cạnh bên là AA', BB', CC' O là trung điểm A'C'. Mặt phẳng qua O song song với AB' và C'B cắt lăng trụ theo một thiết diện. Dựng thiết diện Lời giải: Tạo hình hộp ABCDA'B'C'D" có ba kích thước là B'A', B'C', BB'. Mặt phẳng (II) qua O song song với AB' và C'B nên song song với AB' và D'A. Do đó (II) song song với mp (D'B'A'). Mặt phẳng (ACC'A') cắt hai mặt phẳng này theo hai giao tuyến song song KM và AE. KM qua O còn E là giao điểm của A'C' và D'B'. A'O AE = G. Do A'O và A'E' là các trung tuyến của tam giác A'AC' và Suy ra M là trung điểm EC và Từ M kẻ MN song song với D'B' cắt C'B' tại N. Từ N kẻ NI // C'B cắt B'B tại I. Từ I kẻ IJ song song với AB' cắt AB tại J. Từ J kẻ JK song song với D'B' tức song song với DB cắt AC tại K. Ta có N, I, J là trung điểm các cạnh C'B', B'B, BA còn M ở trên A'C' sao cho K ở trên CA sao cho Ngũ giác MNIJK là thiết diện phải dựng. Bài 11: Cho tam giác đều ABC, trên tia AB, AC kéo dài về phía B và C lấy điểm D sao cho B và C là trung điểm của AD và AE. (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng song song theo thứ tự qua A, BC, DE, M là một điểm không ở trên (P) và (Q). Các đường thẳng MA, MB, MC cắt mặt phẳng (R) ở A', B', C'. 1. Chứng minh khi M chuyển động thoả mãn điều kiện đã cho, môi đường thẳng A'B', A'C' qua một điểm cố định và đường thẳng B'C' song song với một đường thẳng cố định. 2. Chứng minh nếu B'C' có độ dài không đổi thì M chuyển động trên một trong hai mặt phẳng cố định (II1), (II2). 3. Chứng minh nếu tam giác A'B'C đồng dạng với một tam giác M0N0P0 cố định thì M chuyển động trên một trong mười hai đường thẳng cố định. Lời giải: 1. Mặt phẳng (MAB) cắt mặt phẳng (R) giao tuyến là A'B'. Điểm D ẻ AB => D ẻ (MAB) Điểm D ẻ (R) Vậy D là điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (R) do đó điểm D nằm trên giao tuyến A'B'. Vậy A'B' qua điếm cố định D. Tương tự A'C' qua điểm cố định E Ta có BC // DE => BC // (R) Mặt phẳng (MBC) chứa BC cắt (R) theo giao tuyến B'C', B'C' // BC. Vì BC // DE -> BC // (R) Do BC // DE nên B'C' // D'E' Vậy B'C' luôn song song với đường thẳng cố định DE 2) Cho cạnh tam giác đều ADE bằng 2a, ta được BC = a Giả thiết B'C' = b không đổi Tam giác MB'C' có BC // B'C' nên không đổi Điểm B ẻ (Q) Điểm B' ẻ (R) Lại có (Q) // (R); không đổi Nên M chuyển động trên mặt phẳng (II1) song song với cá mặt phẳng (Q), (R). (II1) cắt AB ở I; Ta cũng có điểm J thuộc đoạn BD sao cho Vậy M còn ở trên mặt phẳng (II2) qua J song song với (Q) và (R) Để ý rằng bốn điểm I, J, B, D lập thành một hàng điểm điều hoà (I, J, B, D) = - 1. 3. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác M0N0P0 đã cho, ta được tam giác A'DE đồng dạng với tam giác M0N0P0. Điểm M ở trên AA' nên cần xác định A' để tam giác A'DE đồng dạng tam giác M0N0P0. Độ lớn các góc M0, N0, P0 là a, b, . Xét 6 trường hợp sau. a) ta được A'1 b) ta được A'2 c) ta được A'3 d) ta được A'4 e) ta được A'5 f) ta được A'6 Do đó M chuyển động trên mười hai đường thẳng AA'1, AA'2, AA'3, AA'4. AA'5, AA'6 và các đường thẳng đối xứng của các đường thẳng này qua mặt phẳng ABC (mười hai đường thẳng này bỏ các giao điểm của chúng với mặt phẳng (Q) và bỏ điểm đồng quy A). Người thực hiện Lê Văn Lai Giáo viên: Tổ Toán Tin Trường: THPT Nguyễn Văn Trỗi