Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Tiết 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông -------------------- Phần thứ nhất: Nghiên cứu bài học theo những yêu cầu và góc độ sau đây: TT Các bước nghiên cứu Ví dụ bài “ Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ” 1 - Đọc chương trình và các bài học trong chương , đọc hướng dẫn thực hiện chương trình để thấy được : - Sự logic của mạch kiến thức và yêu cầu cần đạt của bài . - Vị trí của bài học trong chương trình . - Đây là bài học mở đầu chương I cũng là mở đầu Hình học 9 . Bài học được phân bố thành 4 tiết , trong đó có hai tiết lý thuyết , hai tiết luyện tập . Đây là điều kiện thuận lợi giúp giáo viên có thể vận dụng ĐMPPDH thành công . - Bài học tiếp nối Hình học 8 , chuyển tiếp từ tam giác đồng dạng , vì vậy nội dung của nó liên hệ chặt chẽ với kiến thức về tam giác đồng dạng . - Nội dung của bài là trọng tâm kiến thức của chương I và Hình học 9 , nó liên quan và gắn với kiến thức về đường tròn . - Liên hệ trực tiếp với hệ thức Pi-ta-go và ứng dụng trong hầu hết các bài của chương , đặc biệt là bài hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông . 2 Đọc đi đọc lại nhiều lần bài học trong SGK, từ đọc nhanh đến đọc chậm để thấy được : - Đặc điểm cấu trúc của bài - ý đồ của cách sắp xếp cấu trúc ấy . - Cách thức đặt vấn đề để xuất hiện kiến thức . - Yêu cầu mức độ của từng đơn vị kiến thức . - Mục tiêu của bài học về phía học sinh . - Trọng tâm của bài học . - Có 1 khái niệm mới và 2 đơn vị kiến thức. - Có 1 hình vẽ đặt vấn đề , có tính chất khởi động và thể hiện ứng dụng thực tế của bài học . - Có 4 định lý nêu lên sự liên hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông - Hệ thức lượng trong tam giác vuông . - Có 2 bài tập dẫn dắt đến vấn đề nghiên cứu - Có 3 ví dụ về vận dụng tính toán trong hình học và trong thực tế . - Trọng tâm của bài học là các định lý 1 , 4. - Yếu tố trực quan được coi trọng , song SGK chỉ sử dụng chủ yếu hình 1 . Đây là điều giáo viên cần quan tâm để rèn luyện học sinh vẽ hình trong tiến trình của bài học. 3 Đọc kỹ phần bài tập sau bài học để thấy được : - Yêu cầu mức độ củng cố - Phần bài tập : Có 4 bài tập tính toán với hình thức “ câm ” ( Điều này giáo viên cần chú ý , vì đây là cơ hội để học sinh được quan sát trên hình mà TT Các bước nghiên cứu Ví dụ bài “ Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ” kiến thức . - Yêu cầu mức độ thực hành - Yêu cầu mức độ về tư duy vận dụng hệ thức ( trực quan hỗ trợ tư duy cho học sinh ) . - Phần bài tập luyện tập : Có 5 bài tập ; trong đó có 4 bài tập tính toán và một bài tập chứng minh hệ thức , đồng thời có một bài tập tính toán hỗ trợ bằng hình vẽ cho trước . 4 Chọn phương pháp dạy học chủ yếu cho bài học . Từ nội dung bài học , có thể chọn một số phương pháp chủ yếu sau : - Phát hiện và giải quyết vấn đề - Hoạt động theo nhóm nhỏ - Luyện tập thực hành * Thống kê tính chất và loại bài tập: Khảo sát trên hai bài học trọng tâm và ôn tập chương để thấy tính chất , mức độ , yêu cầu của việc vận dụng kiến thức trong chương trình . Mục Tên bài Ví dụ gắn thực tế Tổng số bài tập BT tính toán BT chứng minh BT gắn thực tế 1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 2 9 8 1 4 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 1 7 7 4 Ôn tập Ôn tập 11 5 5 Phần thứ hai: Thiết kế bài giảng. Tiết 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông -------------------- A / Mục tiêu. 1. Về kiến thức: Học sinh: - Nhận biết được: Hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông trên cạnh huyền, các tam giác vuông đồng dạng. - Thiết lập và hiểu được cách chứng minh các hệ thức b2 = a.b/ ; c2 = a.c/; b2 + c2 = a2 dưới sự hướng dẫn của giáo viên. 2. Về kỹ năng: Học sinh: - Vẽ đúng hình và xác định đúng hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông trên cạnh huyền. - Phát hiện và vận dụng được các hệ thức trong tính toán và chứng minh các bài tập đơn giản. - Vận dụng thành thạo: Các tam giác vuông đồng dạng, cách diễn đạt nội dung theo ký hiệu toán học. 3. Về tư duy và thái độ: Học sinh: - Cẩn thận, chính xác trong tính toán và lập luận. - Phát triển tư duy logic, trí tưởng tượng không gian; biết quy lạ về quen. B / Phương pháp dạy học: Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn vấn đề, gợi mở vấn đáp và thảo luận nhóm. C / Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: - Học sinh: + Đồ dùng học tập: Thước thẳng, com pa, ê ke, máy tính bỏ túi, bút dạ, giấy trong. + Ôn tập tam giác đồng dạng và định lý Pi-ta-go. - Giáo viên : + Bảng phụ, bút dạ, giấy trong, thước thẳng, phấn mầu. + Máy chiếu qua đầu ( Overhead ); Máy chiếu đa năng. D / Tiến trình bài học: 1 / Nội dung giờ dạy và học. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi trên bảng bảng phụ và màn hình 1 / Hoạt động 1 : Kiểm tra bài cũ ( 7/ ) 1.1/ HĐTP 1: – Chiếu câu hỏi lên màn hình – Chọn các loại bài chiếu trên màn hình và hướng dẫn học sinh đánh giá kết quả. – Chốt lại vấn đề bằng việc chiếu bảng phụ. * Đặt vấn đề: Ngoài hệ thức Pi-ta-go có còn hệ thức nào liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác vuông không ? Hãy vận dụng kiến thức trên để nghiên cứu bài mới hôm nay. 1.2/ HĐTP 2: Giới thiệu chương trình Hình học 9, chương I và hình vẽ khởi động đầu bài học để gây hứng thú học tập của học sinh. 2 / Hoạt động 2 : ( 5/ ) Xây dựng khái niệm hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông trên cạnh huyền . ? Hãy quan sát hình 1 SGK, đọc nội dung và cho biết: - Trên hình vẽ có mấy đoạn thẳng ? Phân loại các đoạn thẳng ấy ? - Thế nào là hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông trên cạnh huyền. 3 / Hoạt động 3: ( 15/ ) Hình thành hệ thức 1: 3.1 / HĐTP 1 : – Vẽ tam giác vuông ABC và đường cao AH. ? Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa AB; BH; BC ? - Dùng phấn màu đánh dấu 3 đoạn thẳng vừa nêu. ? Có thể ghép các đoạn thẳng vào hai tam giác đồng dạng nào ? ? Hãy lập tỷ số giữa các đoạn thẳng ấy và suy ra hệ thức mới ? – Chiếu bài làm của học sinh. – Khẳng định hệ thức. ? Nếu cho BC = a; AB = c; AC = b ; BH = c/ ; CH = b/ta có hệ thức nào ? ? Hãy cho biết hệ thức tương tự về b2 ? 3.2 / HĐTP 2 : ? Hãy phát biểu thành lời văn hệ thức trên ? ? Hệ thức ( 1 ) là sự liên hệ giữa các yếu tố nào trong tam giác vuông ? – Khẳng định kết quả, nhấn mạnh vị trí các đoạn thẳng trên hình vẽ, ghi đề mục 1; ghi kết quả vào KL của định lý. – Chiếu định lý lên bảng. – Lưu ý cách xác định và viết hệ thức ( giai đoạn đầu cho dễ nhớ ) AB BH BC ( để gắn BH với BC ) 3.3 / HĐTP 3 : Củng cố hệ thức : – Chiếu bài tập lên bảng. – Chia lớp thành 3 nhóm: Nhóm 1 - câu 1; nhóm 2 - câu 2; nhóm 3 - câu 3. – Chiếu kết quả của từng nhóm lên bảng. Các nhóm nhận xét, đánh giá. - Chú ý chỉnh sửa lỗi cho từng nhóm. – Khẳng định kết quả. * Lưu ý: Hệ thức cho ta tính được độ dài của 1 đoạn thẳng khi biết độ dài của hai đoạn thẳng còn lại. ? Trong hình mở đầu cho AE = 2,25; DE = 1,5. Tính chiều cao của cây. – Khẳng định kết quả. 3.4 / HĐTP : Định lý Pi-ta-go – Sử dụng hệ thức vừa học, chứng minh định lý Pi-ta-go – Khẳng định: Nhờ định lý 1, ta có thể chứng minh được định lý Pi-ta-go; do đó có thể coi định lý Pi-ta-go là hệ quả của định lý 1. 4 / Hoạt động 4 : ( 10 / ) Hệ thức 2. 4.1 / HĐTP 1 : ? Hãy tìm sự liên hệ giữa AH với BH và CH ? - Dùng phấn màu đánh dấu các đoạn thẳng trên hình vẽ. – Chiếu kết quả của 1 nhóm lên bảng . – Khẳng định hệ thức là sự liên hệ giữa đường cao và hai hình chiếu. ? Hãy phát biểu thành lời văn hệ thức ( 2 ). – Khẳng định định lý. – Chiếu định lý lên bảng. – Cho học sinh ghi GT, KL của định lý. – Lưu ý vị trí của 3 đoạn thẳng và sự liên hệ qua hệ thức ( 2 ). – Cho học sinh làm ví dụ 2. – Chiếu kết quả của 1 nhóm . – Khẳng định kết quả. * Lưu ý : So sánh hai cách giải với việc sử dụng hai hệ thức, ta thấy cùng một nội dung, sử dụng hệ thức ( 2 ) nhanh hơn. Do đó cần nhận xét kỹ dấu hiệu, linh hoạt sử dụng các hệ thức một cách phù hợp. 4.2 / HĐTP : Củng cố 3 hệ thức : – Chiếu bài tập lên bảng. – Khẳng định kết quả. – Lưu ý các sai sót khi sử dụng hệ thức. – Làm bài vào giấy trong; 1 học sinh thực hiện trên bảng. - Vẽ tam giác vuông ABC - Viết hệ thức Pi-ta-go. - Vẽ đường cao AH. - Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng. – Học sinh đánh giá kết quả và cho điểm. - Suy nghĩ, ham muốn tìm tòi. - Lắng nghe và hứng thú học tập – Quan sát, đọc nội dung suy nghĩ và phát hiện. - Có 6 đoạn thẳng. - Phân loại: Cạnh của tam giác; đường cao; BH, CH. - Đoạn thẳng trên cạnh huyền nối đỉnh với chân đường cao ứng với cạnh huyền. – Vẽ hình, đánh dấu 3 đoạn thẳng. – Suy nghĩ tìm sự liên hệ. – Trao đổi nhóm để chỉ ra cặp tam giác đồng dạng ABC và HBA . - Lập các tỷ số. - Suy ra hệ thức. – Đại diện nhóm trình bày. – Các nhóm đánh giá. – Đọc hệ thức về c2 . – Đọc hệ thức về b2 . – Phát biểu bằng lời. – Suy nghĩ chỉ ra hệ thức là sự liên hệ giữa cạnh góc vuông AB, cạnh huyền BC và hình chiếu BH của cạnh góc vuông AB trên cạnh huyền BC. – Đọc định lý – Đọc đề bài tìm sự liên hệ giữa các đoạn thẳng và nhận dạng công thức trên hình . – Hoạt động theo nhóm – Đại diện nhóm trình bày bài vào giấy trong . - Nhóm 1 nhận xét bài của nhóm 2. - Nhóm 2 nhận xét bài của nhóm 3. - Nhóm 3 nhận xét bài của nhóm 1. – Toán học hoá bài toán ( Như hình bên ) – Suy nghĩ để làm xuất hiện các đoạn thẳng có liên quan. - Vẽ DB AC. - Tính AD để tính AC. – Chứng minh trên bảng – Lớp theo dõi, đánh giá. – Suy nghĩ chứng minh b2 + c2 = a2 - Tính b2 + c2 - Thay b/ + c/ = a – Làm việc theo nhóm: Suy nghĩ ghép ba đoạn thẳng vào hai tam giác đồng dạng AHB , AHC - Tìm hệ thức AH2 = BH . CH – Đại diện 1 nhóm trình bày . – Các nhóm nhận xét, đánh giá. – Phát biểu định lý. – Đọc định lý. – Xác định GT , KL của định lý. – Làm ví dụ 2 - Chỉ ra yếu tố đã biết AB, BD. - Nêu lên cách tính AC: Chỉ cần tính BC - Vận dụng hệ thức ( 2 ) - Trình bày lời giải. – Các nhóm đánh giá. – Làm việc độc lập. - Trả lời theo từng câu. - Đánh giá và giải thích điểm sai. Bài tập: Vẽ tam giác ABC vuông tại A. a / Viết hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của tam giác. b/ Vẽ thêm đường cao AH Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng trên hình vẽ ? ABC; A = 900 b2 + c2 = a2 Ta có ABC ~ HBA ABC ~ HAC HBA ~ HAC AH BC tại H; BH là hình chiếu của cạnh AB trên cạnh huyền BC. 1 / Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. ABC ; A = 900 ; AH BC ? AB2 = BC.BH ( 1 ) AC2 = CB.CH ( 1/ ) ( Các hệ thức này GV điền sau khi HS đã tìm được ) Vì AH BC nên H = 900. Xét hai tam giác ABC và HBA có A = H = 900; ABC = ABH do đó ABC HBA ( gg ) suy ra AB2 = BC.BH ( 1 ) hay c2 = a.c/ Tương tự ta cũng có : AC2 = CB.CH ( 2 ) hay b2 = a.b/ Định lý 1 : SGK ABC ; A = 900 ; AH BC AB2 = BC.BH ( 1 ) AC2 = CB.CH ( 1/ ) * Cho tam giác MNP vuông tại P, đường cao PK. 1 / Tính PN, nếu MN = 10; NK = 6,4. 2 / Tính MN, nếu NK = 6,4; PN = 8. 3 / Tính NK, nếu MN = 10; PN = 8. * Kết quả : PN = 8 cm MN = 10 cm NK = 6,4 cm Kẻ DB AC. áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác AED vuông tại E ta có AD2 = AE2 + DE2 = 2,252 + 1,52 = 7,3125. Trong tam giác vuông ADC vuông tại D, có DB AC, nên ta có AD2 = AB . AC, suy ra AC = Chiều cao của cây là 4,875 mét. Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a = b/ + c/ , do đó b2 + c2 = ab/ + ac/ = a ( b/ + c/ ) = a.a = a2; Hay a2 = b2 + c2. 2 / Một số hệ thức liên quan tới đường cao Xét hai tam giác AHB ; AHC , có AHB = AHC = 900; BHA = ACB ( Cùng phụ với góc HAC ); do đó AHB ~ CHA ( gg) suy ra , suy ra AH2 = HB . HC. định lý 2 : SGK ABC vuông tại A , AH BC AH2 = HB . HC ( 2 ) Hay h2 = b/ . c/ Tam giác ADC vuông tại D, có BD AC. áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có BD2 = AB . BC, suy ra BC= Suy ra AC = 1,5 + 3,375 = 4,875. Vậy chiều cao của cây là 4,875 mét. Cho tam giác END vuông tại E, đường cao EK. hãy điền Đ ( nếu đúng ), S ( nếu sai ) vào các khẳng định dưới đây: 1. EG = 2. EK2 = EN . EG 3. EK = 4. NK = 5. NE2 = EK2 + KN2 6. NE2 = NG2 - EG2 7. NE = NK . NG 2 / Củng cố ( 5 phút ) - Học sinh nhắc lại nội dung chính của bài học. - Giáo viên đưa ra bảng phụ, yêu cầu học sinh nêu cách tính: + Tình huống : Chưa vẽ đường cao Vẽ đường cao Vẽ đường cao + Chỉ ra sự liên hệ .............. ..... ......... ................... + Hệ thức : BC2 = AB2 + AC2 AB2 = BH . BC AH2 = HB . HC AC2 = CH . CB + Tính cạnh góc vuông AB = ... AB = ... + Tính cạnh huyền BC = ... BC = ... + Tính hình chiếu BH = ... BH = ... + Tính đường cao AH = ... AH = ... - Lưu ý cách nhớ, cách vận dụng. - ý nghĩa thực tế của bài học. - Lưu ý tính cẩn thận, chính xác trong tính toán. 3 / Hướng dẫn về nhà : ( 3 phút ) 1. Học kỹ hai dịnh lý, vẽ hình, chứng minh định lý. 2. Hãy chứng minh định lý đảo của định lý Pi-ta-go. 3. Cho tam giác ABC và đường cao AH. Nếu có AB2 = BH . BC thì tam giác ABC có phải là tam giác vuông không ? 4. Làm bài tập 1 ; 2; 3; 4 SGK trang 68 ; 69. 5. Chuẩn bị bài mới.