Một số phương pháp giải toán cực trị

Mục lục Trang: A. Mở đầu 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ đề tài 1 5. Đối tượng nghiên cứu 2 6. Phương pháp tiến hành 2 4. Phạm vi đề tài 2 7. Dự kiến kết quả đề tài 2 B. Nội dung 3 Phần 1: Bài toán cực trị và phương pháp giải trong đại số 3 I. Kiến thức cơ bản 3 1. Định nghĩa bài toán cực trị 3 2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị 3 !!. Phương pháp cơ bản và ví dụ 3 1. Phương pháp dùng bất đẳng thức 3 2. Phương pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn 8 3. Phương pháp miền giá trị 10 4. phương pháp đồ thị hàm số 12 Phần II. Bài toán cực trị trong hình học 17 I. Kiến thức cơ bản 17 II. Một số dạng toán thường gặp 19 C. Thực nghiệm sư phạm ......................................................................... 29 D. Kết quả thực hiện 35 E. Tài liệu tham khảo 36 `` a. mở đầu 1. Lý do chọn đề tài - Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung và phương pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện được điều đó thì vi trò của người thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống. - Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhưng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán “ Tìm cực trị “ . Thật vậy trong chương trình toán phổ thông dạng kiến thức về ‘’cực trị’’là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chương trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chương trình THPT. Vì vậy dạng toán’’cực trị’’là phần gây cho HS ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải tư duy, tìm tòi sáng tạo. - Để giải được một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững được các kiến thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học ... Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những năm dạy toán ở trường THCS , tôi đã rút ra được vài kinh nghiệm . tôi mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: “ Một số phương pháp tìm cực trị trong trường phổ thông cấp THCS “. Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hoàn chỉnh hơn. 2. Mục đích nghiên cứu - Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khó khăn. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng tư duy và học tập bộ môn một cách chủ động. - Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng như kích thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu. - Giúp bản thân những tri thức và kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của nền giáo dục nước nhà. 3. Nhiệm vụ đề tài - Đề tài đưa ra một số kiến thức cơ bản về bài toán’’cực trị’’phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. - Thông qua đề tài trang bị cho học sinh những phương pháp cơ bản giải bài toán cực trị để học sinh vận dụng làm bài tập. - Chọn lọc hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội dung phương pháp. 4. Phạm vi đề tài Phát triển năng lực tư duy của HS thông qua giải toán tìm cực trị trong hình học và trong đại số đối với HS lớp 7, 8, 9 5. Đối tượng nghiên cứu - Đề tài áp dụng phần nhiều cho HS lớp 8, 9 tuy nhiên có một số bài cho H lớp 7 và trong các bài luyện tập, ôn tập cuối năm, cuối kì, luyện HS giỏi, luyện thi tuyển THPT 6. Phương pháp tiến hành: Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hướng giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể. 7. Dự kiến kết quả đề tài áp dụng đề tài sẽ tháo gỡ cho học sinh nhiều khó khăn trong việc giải toán cực trị. Tạo cho học sinh có cơ sở và niềm tin trong giải toán cực trị. B- Nội dung phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số A . Yêu cầu 1 / với giáo viên : Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phương pháp giải cho từng dạng toán . phân loại các bài tập từ dễ đến khó . Rèn luyên nâng cao khả năng tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu . Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra nhũng vướng mắc , sai sót mà HS haymắc phải khi làm bài tập . 2 / Với học sinh : Hiểu được bản chất các loại toán . Nhận dạng được từng loại bài tập , vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán . Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải toán , biết suy luận từ bài dễ đên bài khó với cách giải hay hơn . B . một số Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời được thoả mãn 1o. f(x) Ê M với " x ẻ D 2o. Tồn tại x0 ẻ D sao cho f(x0) = M. kí hiệu là max f(x) = M b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1o. f(x) ³ m với " x ẻ D 2o. Tồn tại x0 ẻ D sao cho f(x0) = m. 2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị - Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức: f(x) ³ m (hoặc f(x) Ê M) với " x ẻ D. - Bước 2: Chỉ ra giá trị x0 ẻ D để: f(x0) = m f(x0) = M) - Bước 3 Kết luận: Với giá trị x0 ẻ D thì f(x) đạt: Chú ý : 1 / Nếu chỉ chứng minh được f (x) ³ m hoặc f(x) Ê M thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc GTLN Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)2 +(x-3)2 Giải : Ta có (x-1)2 ³ 0 "x (1) ( x - 3 )2 ³ 0 (2) ị A ³ 0 "x nhưng không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và (2). Ta có: f(x) = x2 - 2x + 1 + x2 -6x + 9 = 2 ( x2 - 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )2 + 2 ³ 2 Vậy Min A = 2 Û x - 2 = 0 Û x = 2 2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên C . Phương pháp cơ bản và ví dụ Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức 1.1. Nội dung phương pháp + Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh f(x) ³ m (hoặc f(x) Ê M) với " x ẻ D + Chỉ ra sự tồn tại x0 ẻ D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra). 1.2. Kiến thức bổ sung a) Bất đẳng thức cô si + Với a,b > 0, a,b ẻ D thì Dấu = xảy ra khi a= b + Tổng quá: Với n số dương a1, a2, ..., an ẻ D thì: Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = ... = an. b) Bất đẳng thức Bunhiacopski + Nếu a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn là 2n số tuỳ ý thì: Dấu "=" xảy ra Û . (Quy ước nếu ai = 0 thì bi = 0 i = 0, 1, 2, 3, ... n) c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối *. " a ẻ D dấu bằng xảy ra ú a = 0 * với a,b ẻ D dấu bằng xảy ra ú a.b ³ 0. Tổng quát : a1, a2, ..., an ẻ D thì Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu. *. dấu bằng xảy ra khi a.b ³ 0 d) Với a ³ b > 0 thì dấu bằng xảy ra khi a = b. e) ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b. 1.3. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y,z) = x4 + y4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4} Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x,y,z và y,z ,x ta có ( x2 + y2 + z2) ≥ ( xy + yz + zx ) 2 Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z ) D Thì ( x2 + y2 + z2) ≥ 16 Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x2,y2,z2 và 1,1 ,1 ta có 3 ( x4 + y4 +z4) ≥ ( x2 + y2 + z2 ) 2 (2) Từ (1) và (2) f(x,y,z) > 16/3 (x,.y,z) D Mặt khác f ( ) = và () D Vậy Min f (x,y,z) = 16/3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = với x ³ 1,y ≥ 2 , z ≥ 3 A = áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có: Tương tự : A ≤ A ≤ Dấu "=" xảy ra Max A = Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) D = b) Cho x1, x2 , ... , x2004 thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = Giải: a) áp dụng bất đẳng thức dấu "=" xảy ra khi a.b ³ 0 Ta có D = Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) ³ 0 ú 1 Ê x Ê 2 Vậy Min D = 1 khi 1 Ê x Ê 2 b) Vận dụng bất đẳng thức Dấu "=" xảy ra khi ab ³ 0. Ta có: ................. Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: E = ³ - = 2005 - 2004 = 1 Vậy E ³ 1 Dấu "=" xảy ra khi x1, x2, ... x2004 ³ 0 và = 2005 Những sai lầm thường gặp của dạng toán này Sai lầm thường gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là : - Điều kiện tồn tại BĐT - Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm được Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b Để ra ngay kết quả A ≥ 8 Min A = 8 Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0 Đây là những sai lầm thường gặp mà nhiệm vụ của người thầy là phải chỉ ra được những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị 1.4. Bài tập vận dụng 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền D = 3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số : f(x,y,z) = ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) Xét trên miền. D = Phương pháp 2 Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn 2.1. Nội dung phương pháp */ A2 ³ 0 "x ( x là biến của biểu thức A ) ị A2k ³ 0 "x */ - B2 Ê 0 "x (x là biến của biểu thức B ) ị - B2k Ê 0 "x Nhiệm vụ của người thầy phải chỉ ra được : */ A2k +m ≥ m m là GTNN A = 0 */ -B2k+ M ≤ M M là GTLN B = 0 2.2. Kiến thức bổ sung: Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đưa về dạng A2k +m ≥ m và -B2k+ M ≤ M bằng các phép biến đổi đại số 2.3 : các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x2 + 6x - 5 Giải: Ta có A = 3 ( x2 + 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )2 - 8 ³ - 8 Dấu bằng xảy ra Û x + 1 = 0 Û x = - 1 Vậy Min A = - 8 Û x = - 1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x2 - 4x + 1 Giải : A = -5 ( x2 + 4/5 x ) + 1 = -5 ( x2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5 ( x2 + 2/5 )2 +9/5 ≤ 9/5 Dấu “=” xảy ra x + 2 /5 = 0 x = - 2/5 * Chú ý : f(x) = ax2 + bx + c * Có giá trị nhỏ nhất Û a > 0. * Có giá trị lớn nhất Û a < 0. Không dừng lại ở đây ta có thể đưa ra một số ví dụ sau : Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi phương pháp giải là tìm cách đưa về dạng ax2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể cách làm như sau : C = Đặt y = (y 0 ) C = 3 - 2y + y2 đến đây C đã đưa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải được bài toán nhanh hơn, gọn hơn. Ta còn có thể mở rộng dạng toán này. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x,y ) = 4x2 + 4y2 - 4xy - 3x = 4y2 - 4xy + x2 + 3( x2 -x ) = ( 2y - x )2 + 3( x- )2 - ³ - Đẳng thức xảy ra Û x = và y = = min f(x,y) = - Û Sai lầm thường gặp ở dạng toán này là:. Như ví dụ 4 các em có thể làm như sau: f(x,y) = x2 - 4xy + 4y2 + 2x2 - 4x + 2 + x2 + x -2 = ( x - 2y )2 + 2 ( x -1 )2 + x2 + x - 2 ³ x2 + x - 2 x (1) Vì g(x) = x2 + x - 2 = ( x + )2 - ³ - Đẳng thức xảy ra Û x = - ị min f(x,y) = - Û Các em không thấy được rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi Û còn dấu đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = - thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời nên GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y). Hoặc với bài: Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = x + M = x + = ( x + + ) - = ( + )2 - ³ - Vậy min M = - . Sai lầm ở chỗ M ³ - học sinh chưa chỉ ra khi nào dấu đẳng thức xảy ra: M = - Û = - là vô lí Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm cực trị của biểu thức đại số. 3.3 . Bài tập vận dụng. 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của : C = x2 - 2xy + 2y2 + 2x - 10y + 17 E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 ) 2) Tìm giá trị lớn nhất của: A = - 5x2 - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - 1. 3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : A = B = Phương pháp 3 : Phương pháp miền giá trị hàm số 3.1 . Nội dung phương pháp. Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x D gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phương trình sau đây với ẩn x có nghiệm. Tuỳ dạng bài mà có điều kiện nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) sẽ đưa về dạng. m Ê y0 Ê M vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ đó ta có: Min f(x) = m và Max f(x) = M. x D x D Như vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phương pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. 2.2. Kiến thức bổ sung: Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phương trình bậc hai 3.2 . Các bài toán Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x) = với x R. Giải Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phương trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm. = y0 (1) Do 3x2 +2x + 1 > 0 x R (1) Û 2x2 + 10x + 3 = 3x2y0 + 2xy0 + y0 Û ( 3y0 - 2 ) x2 + 2x ( y0 - 5 ) + y0 - 3 = 0 (2) Xét 2 khả năng sau : * Nếu 3y0 - 2 = 0 Û y0 = ị (2) có nghiệm Tức f(x) = x R * Nếu 3y0 - 2 0 Û y0 thì (2) là phương trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó (2) có nghiệm nếu: ’ = - 2y0 + 19y0 - 35 ³ 0. Û Ê y0 Ê 7 và y0 . Û Ê y0 Ê 7 (3). Từ (3) ị Maxf(x) = 7 và Mìnf(x) = . Nhận thấy với phương pháp này ta có thể vận dụng cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức dưới dạng phân thức. Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x,y) = x2 + y2 xét trên miền D = (x,y) ; ( x2 - y2 + 1)2 + 4x2y2 - x2 - y2 = 0 Giải: Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó chứng tỏ phương trình ẩn (x,y) sau có nghiệm: Để (4) ẩn x có nghiệm thì: t2 - 3t0 + 1 0 (5) Với đièu kiện (5) gọi m là nghiệm của (4) và (3) ta có : 4m2 + 4y2 = 4t0- t02 + 3t0 - 1 4y2 = 4t0 4y2 = t20 + t0 + 1 (6) Do t02 + t0 + 1 > 0 t0 với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm. Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm. Max(x,y) = , Min(x,y) = Tuy nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải. Nhưng với phương pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải được nhiều bài và học sinh có thể “máy móc” nhớ được phương pháp giải. Phương pháp 4 Phương pháp đồ thị và hình học 4.1 Nội dung phương pháp - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x ẻ D - Xét các điểm cực đại hoặc cực tiểu trên D từ đó suy ra cực trị của biểu thức: Max f(x) = ycực đại Min f(x) = ycực tiểu 4.2 Kiến thức bổ sung : - Dựa trên tính chất "đơn điệu" của đồ thị hàm số. - Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị. Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp đồ thị và hình học người ta thường sử dụng các tính chất sau: - Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trước thì đường thẳng nối AB là đường thẳng có độ dài bé nhất. - Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3. - Cho điểm M ở ngoaì đường thẳng d cho trước khi đó độ dài kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống d. - Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất. Nếu như một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến đổi nào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phương pháp đồ thị hình học để giải chúng. Dĩ nhiên là phương pháp này chỉ thích hợp cho các bài toán trong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta chưa nhìn ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phương pháp này. Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với nó phương pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả. 4.3Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = Với x ẻ R Ta có: K = = (1) Trên mặt phẳng toạ độ đề các xoy xét các điểm A ; B và C (x,0) y x B O C Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB Ê AB Mà AB2 = + 12 = 4 => AB = 2 Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng hay x = 0 (C trùng O(0,0)) Vậy Min K = 2 khi x = 0 . Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = nếu nếu nếu Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có: D = y = - Vẽ đồ thị hàm số (d1), (d2), (d3) trên trục xác định tương ứng ta được: y 3 (d1) (d2) (d3) 1 1 2 x -3 O Hình 1 - Nhận xét: Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y không có cực đại mà chỉ có cực tiểu y = 1 trên 1 Ê x Ê 2 vậy Min D = 1 khi và chỉ khi 1 Ê x Ê 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z ) = x( 1 - y) + y( 1 - z) + z( 1- x) xét trên miền D = (x,y,z) ; 0 x 1 ; 0 y 1 ; 0 z 1 Giải A B C x y z M N P Với bài toán này dùng các phương pháp 1; 2; 3 không phải là khó , tuy nhiên nếu sử dụng phương pháp hình học sẽ vừa nhanh vừa hiệu quả. Vẽ tam giác đều ABC cạnh bằng 1 khi đó SABC = (1) Đặt trên các cạnh AB , BC , AC các đoạn AM = x , BN = z , CP = y( có thể M A nếu x = 0 và M B nếu x = 1 , tương tự với N , P ) Vì Sin 600 = áp dụng S = ab SinC . Ta có SAMP = ; SBNM = và SNPC = Mà ta lại có : SAMP + SBNM + SNPC SABC . Hay từ (1) ta có x(1 - y) + y( 1 - z) + z( 1 - x ) 1 Như vậy ta có : f(x,y,z) 1 (x,y,z) D Và f(0;0;1) = 1 và do (0;0;1) D Max f(x,y,z) = 1 Bằng phương pháp này ta giải một số bài toán vừa nhanh , vừa khoa học . Tuy nhiên để phát hiện tìm ra phương pháp hợp lí thì không phải học sinh nào cũng có thể làm được . Vì vậy yêu cầu người thầy phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh , trước hết là bằng cách cho học sinh làm nhiều dạng tương tự để dần học sinh làm quen và tìm ra được phương pháp giải hợp lí phần!! Bài toán cực trị Phần hình học I. một số kiến thức cơ bản. 1. Cực trị trong hình học là gì? Một số bài toán hình học mà trong đó các hình được nêu ra có cùng một tính chất và đòi hỏi ta tìm được hình sao cho có một đại lượng nào đó (số đo góc, độ dài đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ...) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) được gọi là bài toán cực trị hình học. 1) Lời giải của bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách: Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN). Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực thành một đại lượng khác tương đương (nếu được) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A. (A là một đại lượng nào đó như góc, đoạn thẳng, ....) a) - Ta chứng minh được A ³ m (m không đổi) - Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m b) Ta chứng minh được A Ê t (t không đổi) - Có một hình sao cho A = t thì GTLN của A là t - Từ đó ta xác định được vị trí của các điểm để đạt được cực trị. Chú ý : Thường trình bày cực trị theo 2 cách: Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ : Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác Kiến thức cơ sở: Với 3 điểm A,B ,C bất kỳ ta có : ≤ AB ≤ AC + BC Dấu “ = “ xảy ra Û C - Trong tam giác ABC Có é BAC > é ABC Û BC < AC + Quy tắc n điểm A1A2, ..., An Ta có A1An Ê A1A2 + A2A3 + ... An-1An Dấu "=" xảy ra ÛA1A2, ..., An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. 12. Các ví dụ áp dụng : Ví dụ 1 : Cho đường tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường tròn . M là điểm cố định trên đường tròn (0) . Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị : A B C M O K H D d a) Lớn nhất b) nhỏ nhất Giải Vẽ đường thẳng d qua 0 và ^ AB tại K d cắt đường tròn ( 0 ) tại C và D Hạ AH ^ AB ị SMAB = a) Ta có MH ≤ MK Xét 3 điểm M,O ,K ta có MK ≤ OM + OK Û MK ≤ OC + OK Û MH ≤ CK ị SMAB ≤ ( không đổi ) Dấu “ = “ xảy ra Û H K Û M C b) Xét 3 điểm M,O ,H ta có MH ≥ Mà OK ≤ OH và OK - OM = OK - OD = DK ị MH ≥ DK ị SMAB ≥ ( không đổi ) Dấu “ = “ xảy ra Û M Và M K Û M D Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R); A là điểm cố định trong đường tròn (A ạ O). Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn O sao cho góc OBA lớn nhất. Giải: Giả sử có B ẻ (O). Vẽ dây BC của đường tròn (O) qua A ta có OB = OC = R A => DOBC cân tại O => góc OBC = Nên góc OBAmax góc COBmin. Trong DCOB có CO = OB = R không đổi => éCOB min BCmin = OHmax Mà OH Ê OA nên OHmax H º A BC ^ OA tại A. Vậy OBAmax B ẻ (O) sao cho BC ^ OA tại A. Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM + MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ nhất. O M D A C B Giải: Với 3 điểm M, A, C ta có: MA + MC ³ AC Dấu "=" xảy ra Û M ẻ AC Tương tự với ba điểm M, B, D ta có MB + MD ³ BD. Dấu "=" xảy ra Û M ẻ BD AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (không đổi). Dấu "=" xảy ra Û Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD ÛM º O 1.3. Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc. Các diểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 900. Xác định vị trí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất. Bài 2: Cho 2 đường tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R'). A nằm trên (O), B nằm trên (O'). Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất. 2 / Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên . 2.1. Kiến thức cơ sở Ta có AH ^ d; A ẽ d; B,C ẻ d *.AB ³ AH, dấu "=" xảy ra Û B º H *.AB Ê AC Û BH Ê HC 2.2. Các ví dụ áp dụng Ví dụ1:: Cho DABC (Â = 900) M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD ^ AB; ME ^ AC (D ẻ AB, E ẻ AC). Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất. Giải: C D B A A H M E Vẽ AH ^ BC (H ẻ BC), H cố định và AH không đổi, tứ giác AEMD có Â = Ê = = 900 => AEMD là hình chữ nhật. => DE = AM mà AM ³ AH (không đổi) (theo t/c đường xiên và đường vuông góc). Dấu "=" xảy ra Û M ºH. Vậy khi M º H thì DE nhỏ nhất. Ví dụ 2 : Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là OH ³ R. Lấy hai điểm bất kỳ A ẻ d; B ẻ (O;R). Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độ dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó. Giải: Từ tâm (O) kẻ OH ^ d, OH cắt đường tròn (O) tại K. Xét ba điểm A. B. O ta có AB + OB Ê OA mà OA ³ OH (quan hệ đường xiên và đường vuông góc). => AB ³ OH - OB = HK không đổi Vậy min AB = KH Û 2.3.Bài tập vận dụng: Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho Bạch Mã = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất. Bài 2: Cho nửa đường tron (O;R) đường kính AB.M là một điểm trên nửa đường tròn, kẻ MH ^ HB. Xác định vị trí của M để: a) SDABC lớn nhất b) Chu vi của DMAB lớn nhất. 3. Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn. 3.1 Kiến thức cơ sở: + Trong một đường tròn: đường kính là dây cung lớn nhất. + Dây cung lớn hơn Û dây đó gần tâm hơn. + Cung lớn hơn Ûdây trương cung lớn hơn + Cung lớn hơn Û góc ở tâm lớn hơn 3.2. Các ví dụ áp dụng : Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm trong đường tròn đó (M ạ O). Xác định vị trí của dây cung AB của đường tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất. Giải: O M’ A M B’ A’ B Ta có dây AB ^ OM tại M là dây cung có độ dài nhỏ nhất. Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ của (O) A'B' không vuông góc với OM. Vẽ OM' ^ A'B'. M' ẻ A'B'; M' ạ M => OM' ^ MM' => OM > OM' => AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây). Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm di động trên đường tròn (O). Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Giải: Ta xét M ẻ cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD. Ta chứng minh được: DBMD là tam giác đều. => = 602 Mà = 600 => Chứng minh cho DBAD = DBCM (gcg) => AD = MC => MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA Mà MA là dây cung của đường tròn (O;R) => MA = 2R => max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R ÛMA là đường kính của đường tròn (O) ÛM là điểm chính giữa của cung BC. Tương tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC => M là điểm chính giữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. 3.4.Bài tập vận dụng: Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất. Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước. tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất. 4 . Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số 4.1. Kiến thức bổ sung : + Bất đẳng