Một số phương pháp khác

Dạng 7 VII. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC Ngoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi ta cũng có những lời giải khác lạ đối với một số phương trình vô tỷ. Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp ở trên để giải một phương trình. 1. Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cùng hướng Ví dụ 1. Giải phương trình: . Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ và . Khi đó ta được, suy ra và ta cũng có , . Phương trình trở thành , đẳng thức đó xảy ra khi và cùng chiều . Từ đó ta được phương trình có một nghiệm là . 2. Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Ví dụ 2. Giải phương trình . Nếu thì Vt = Vp (phương trình không có nghiệm). Nếu thì ta xét tam giác vuông ABC với , AB = 4; AC = 3. Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD. Đặt AM = x, xét và xét . Từ đó suy ra Vt = . Dấu đẳng thức xảy ra khi ,hay Vậy phương trình có nghiệm là . 3. Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh số nghiệm phương trình Ví dụ 3. CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9): đặt t= có pt 2t3 – 6t + 1 =0 hàm số này liên tục trên R ,có f(-2)f(0)<0 có 1ng tÎ(-2,0) suy ra có 1 ng xÎ (1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ng tÎ (0,1) suy ra có 1ng xÎ (0,1) , f(1)f(2)< 0 có 1ng tÎ (1,2) suy ra có 1 ng xÎ (-7,0) Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9). 4. Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2 Tìm tập xác định của phương trình Xét hàm số f trên miền D ,tồn tại đạo hàm bậc 2 suy ra hàm số lồi hoặc lõm trên miền. Suy ra phương trình không có quá 2 nghiệm nhẩm 2 nghiệm thuộc miền D Ví dụ 4. Giải phương trình: đ/k x≥ - 1 PT tương đương xét hàm số f(x) = trên tập x/đ x ≥ -1, vậy hàm số đó có đồ thịlồi trên txđ. Do đó phương trình nếu có nghiệm thì không quá 2 nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = 3 là nghiệm Ví dụ 5. Giải phương trình: điều kiện x ≥ 0 phưong trình tương đương với xét hàm số f(x) = tập xác định x ≥ 0 đồ thị hàm số lồi trên tạp xác định vì vậy phương trình không có quá 2 nghiệm ,dễ thấy x = 0 ,x = 1 là nghiệm 5. Một số phương trình không mẫu mực Ví dụ 6. Giải phương trình: đ/k x < 2 đặt Pt thành t+khi đócó PT: t4-8t3+12t2-48t+96=0 suy ra (t-2)(t3-6t2-48)=0 Có nghiệm t=2 suy ra x=1/2 cònphương trình: t3-6t2-48=t2(t-6) -48 < 0 với o<t≤ 4 vô nghiệm, vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=1/2 Ví dụ 7. Giải phương trình: tưong đương với tương đương với *) với mọi x > 2 không thể là nghiệm vì vế trái 0 *) với mọi x < 0 cũng không thể là nghiệm *) với x = 2 là nghiệm vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 2 Bài tập