Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình

Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Dạng 1.Tách thành ước số Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y = 2 (2) Giải: Biến đổi phương trình (2) tương đương x(y – 1) – y = 2 x(y – 1) – (y – 1) =3 (y – 1)(x – 1) = 3 Ta có x, y Z nên x - 1 và y – 1 Z và là ước của 3. Do vai trò của x, y trong phương trình như nhau nên ta giả sử xy =>x -1 y – 1.Ta có hoặc Do đó hoặc Vậy nghiệm nguyên của phương trình: (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) Bài 2: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: xy – 4x = 35 – 5y Giải: xy – 4x = 35 – 5y (y – 4)(x + 5) = 15 Vì x, y N nên x + 5 5; x + 5 là ước của 15 do đó ta có: hoặc hoặc Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là: (0; 7), (10; 5) Bài 3 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3xy + x – y = 1 Giải: 3xy + x – y = 1 9xy + 3x – 3y = 3 3x(3y + 1) – (3y +1) = 2 (3x – 1)(3y + 1) = 2 Xét các trường hợp ta có x = 1; y = 0 và x = 0; y = -1 Vậy nghiệm của phương trình là: (1;0), (0;-1). Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x;y) thoả mãn đẳng thức: (1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25 Giải: (1+x2)(1+y2) +4xy+2(x+y)(1+xy)=25 1+x2y2+x2+y2+4xy+2(x+y)+2(x+y)xy=25 (x2+2xy+y2)+(x2y2+2xy+1)+2(x+y)(xy+1)=25 (x+y)2+(xy+1)2+2(x+y)(xy+1)=25 (x+y+xy+1)2=25 (x+1)(y+1)=5 .Do x,y là các số nguyên không âm. Nên nghiệm của PT là (4;0) ;(0:4) Bài 5 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :5x - 3y = 2xy – 11 Giải: 5x-3y=2xy-11 10x-6y=4xy-22 (10x-4xy) +( 15-6y)=-7 2x(5-2y) +3(5-2y) =-7 (5-2y)(2x+3) =-7 Do x nguyên dương 2x+3 5 và là ước của 7 nên ta có: * Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là : (2;3) Bài 6 : Tìm x,y nguyên dương thoả mãn:6x2+ 5xy- 25y2- 221= 0 Giải: 6x2 + 5xy - 25y2 - 221 = 0 6x2 -10xy+ 15xy- 25y2 = 221 2x(3x-5y) +5y(3x-5y) = 221 (3x-5y)(2x+5y)=221=13.17=1.221 Do x,y nguyên dương nên 2x + 5y 73x - 5y > 0 và là ước của 221 * không có nghiệm nguyên * *không có nghiệm nguyên Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là : (6;1) Bài 7 :Tìm các cặp số nguyên(x,y) thoả mãn đẳng thức : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Giải:2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy 2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1 2y2(x-1)- x(x-1)- y(x-1) = -1 (x-1)(2y2-x-y) = -1 * * Vậy nghiệm của phương trình là: (2;1),(0;1) Bài 8 :Tìm các số nguyên (x,y)thoả mãn phương trình:y2-x(x-2)(x2-2x+2)=0 Giải: y2-x(x-2)(x2-2x+2) = 0 y2-(x2-2x)(x2-2x+2) = 0 y2-(x2-2x+1-1)(x2-2x+1+1) = 0 y2-[(x-1)2-1] [(x-1)2+1] = 0 y2-[(x-1)4-1] = 0 [y-(x-1)2] [y+(x-1)2 ] =-1 * vô nghiệm * Vậy nghiệm của phương trình là: (2;0) ,(0;0) Dạng 2 *. Tách ra các giá trị nguyên: Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy – x = y + 2 Giải: xy – x = y + 2 x(y – 1) = y + 2 Ta thấy y 1( vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3, vô lí). Do đó: . Do x Z nên Z, do đó y – 1 là ước của 3. Lần lượt cho y – 1 bằng -1; 1; -3; 3 được nghiệm nguyên của PT là: (4;2), (2;4), (0;-2),(-2;0). Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy – 5y = x2 - 6x + 8 Giải: xy – 5y = x2 – 6x + 8 (x – 5)y = x2 – 6x + 8 .Do x=5 không là nghiệm của PT vì nếu x=5 thì 0.y=3 vô lý. => x 5 nên do yZ=>(x-5) Ư(3) .Ta có: x - 5 1 -1 3 -3 x 6 4 8 2 y 8 0 8 0 Vậy nghiệm của phương trình là: (6;8), (4;0), (8;8), (2;0). Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy – 2y – 3 = 3x – x2. Giải: xy – 2y – 3 = 3x – x2 y(x – 2) = 3 + 3x – x2. Do x 2 thì . Ta có: x – 2 1 -1 5 -5 x 3 1 7 -3 y 3 -5 -5 3 Bài 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 - x2y + 3x - 2y - 5 = 0 Giải: x3-x2y +3x -2y -5 =0 x2y +2y =x3 +3x -5 y(x2+2) =x3 +3x -5 y= Vì Ư(27) và x2+22 Xét các trường hợp x thoả mãn ta có nghiệm nguyên của PT là: (-1;-3),(5;5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: 5x - 3y = 2xy – 11 Giải: 5x-3y=2xy-11 2xy + 3y = 5x + 11 y(2x+3)=5x+11 .Do 2x+30 vì xZ y= Do 2y Vậy nghiệm nguyên của PT là:(-1;6) ;(-2;-1);(2;3);(-5;2) Bài 6:Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của PT: xy2 + 2xy - 243y + x = 0 Giải: xy2+2xy-243y +x=0 xy2+2xy+x=243y x(y+1)2=243y x= do y + 1 >0 Do x nguyên;(y,y+1)=1nên (y,(y+1)2)=1 nên 243(y+1)2 Mà 243=35 * (y+1)2=1y+1=1 y=0 loại *(y+1)2=32y+1=3y=2 .Ta có x=54 *(y+1)2=92y+1=9y=8.Ta có x=24