Một số phương pháp tìm x, y nguyên

Mét sè ph­¬ng ph¸p t×m x,y nguyªn I/ Ph­¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt chia hÕt: 1/ Ph­¬ng ph¸p ph¸t hiÖn tÝnh chia hÕt: VÝ dô 1: 3x + 17y = 159 (1) Gi¶i: Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n (1). Ta thÊy 159 vµ 3x ®Òu chia hÕt cho 3 nªn 17y còng chia hÕt cho 3, do ®ã y chia hÕt cho 3 ( v× 17 vµ 3 nguyªn tè cïng nhau) §Æt y = 3t ( t lµ sè nguyªn). Thay vµo (1), ta ®­îc: 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 => x =53 - 17t Do ®ã ( t ) §¶o l¹i thay c¸c biÓu thøc cña x vµ y vµo (1) ®­îc nghiÖm ®óng. VËy (1) cã v« sè (x; y) nguyªn ®­îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc: ( t ) 2/ Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ­íc sè: VÝ dô 2: T×m x,y nguyªn tho¶ m·n : x.y - x - y = 2 Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2 x. (y - 1) - (y - 1) = 3 (x -1). (y - 1) = 3 Do x, y lµ c¸c sè nguyªn nªn x - 1, y - 1 còng lµ c¸c sè nguyªn vµ lµ ­íc cña 3. Suy ra c¸c tr­êng hîp sau: ; ; ; Gi¶i c¸c hÖ nµy ta cã c¸c cÆp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) 3/ Ph­¬ng ph¸p t¸ch ra gi¸ trÞ nguyªn: VÝ dô 3: T×m x,y nguyªn ë vÝ dô 2 b»ng c¸ch kh¸c Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = 2 x.(y-1) = y+2 Ta thÊy y ( v× nÕu y=1 th× x.0 = 3 (kh«ng cã gi¸ trÞ x,y nµo tho¶ m·n ) Do ®ã x = Do x nguyªn nªn nguyªn. => y-1 lµ ­íc cña 3 => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1 Ta còng cã ®¸p sè nh­ ë vÝ dô 2 II/ Ph­¬ng ph¸p xÐt sè d­ tõng vÕ: VÝ dô 4: Chøng minh r»ng kh«ng cã x,y nguyªn nµo tho¶ m·n c¸c biÓu thøc sau: a/ x2- y2 = 1998 b/ x2+ y2 = 1999 Gi¶i: a/ Ta thÊy x2 ; y2 chia cho 4 chØ cã sè d­ lµ: 0 ; 1 nªn x2 - y2 chia cho 4 cã sè d­ lµ : 0 ; 1 ; 3 cßn vÕ ph¶i 1998 chia cho 4 d­ 2. VËy biÓu thøc kh«ng cã gi¸ trÞ nguyªn nµo tho¶ m·n. b/ T­¬ng tù ta cã x2 + y2 chia cho 4 cã sè d­ lµ : 0; 1; 2 cßn vÕ ph¶i 1999 chia cho 4 d­ 3 VËy biÓu thøc kh«ng cã gi¸ trÞ nguyªn nµo tho¶ m·n VÝ dô 5: T×m x,y nguyªn tho¶ m·n : 9x + 2 = y2+y (1) Gi¶i: Ta cã ph­¬ng tr×nh (1) ó 9x+2 = y(y+1) Ta thÊy vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh lµ sè chia cho 3 d­ 2 nªn y.(y+1) chia cho 3 còng d­ 2. ChØ cã thÓ: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k) Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2) Thö l¹i: x= k.(k+1); y = 3k+1 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®· cho. VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm tæng qu¸t: III/ Ph­¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc: 1. Ph­¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c Èn: VÝ dô 6: T×m 3 sè nguyªn d­¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng Gi¶i: Gäi c¸c sè nguyªn d­¬ng ph¶i t×m lµ x, y, z. Ta cã: x + y + z = x.y.z (1) Do x, y, z cã vai trß nh­ nhau ë trong ph­¬ng tr×nh (1) nªn cã thÓ s¾p thø tù c¸c Èn nh­ sau: Do ®ã : x.y.z = x + y +z Chia c¶ hai vÕ cho sè d­¬ng z ta ®­îc: x.y Do ®ã: x.y = +Víi x.y =1 => x=1, y=1thay vµo (1)ta ®­îc 2 +z = z lo¹i +Víi x.y = 2 =>x=1, y=2 thay vµo (1) ta ®­îc x = 3 +Víi x.y = 3 => x=1, y=3 thay vµo (1) ta ®­îc z = 2 lo¹i v× tr¸i víi s¾p xÕp y VËy ba sè ph¶i t×m lµ 1; 2; 3 2. Ph­¬ng ph¸p xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ cña Èn: VÝ dô 7: T×m x,y nguyªn tho¶ m·n : Gi¶i: Do vai trß b×nh ®¼ng cña x vµ y. Gi¶ sö , dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó giíi h¹n kho¶ng gi¸ trÞ cña sè nhá y Ta cã: (1) MÆt kh¸c do Do ®ã nªn (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : . Do y +Víi y =4 ta ®­îc: + Víi y = 5 ta ®­îc: lo¹i v× x kh«ng lµ sè nguyªn + Víi y = 6 ta ®­îc: VËy c¸c nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh lµ: (4; 12), (12; 4) , (6; 6) 3/ Ph­¬ng ph¸p chØ ra nghiÖm nguyªn: VÝ dô 8: T×m sè tù nhiªn x sao cho 2x+3x=5x Gi¶i: Chia hai vÕ cho 5x, ta ®­îc: (1) +Víi x=0 vÕ tr¸i cña (1) b»ng 2 (lo¹i) + Víi x = 1 th× vÕ tr¸i cña (1) b»ng 1 ( ®óng) + Víi x th×: Nªn: ( lo¹i) VËy x = 1 IV/ Ph­¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt cña mét sè chÝnh ph­¬ng: 1/Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét sè chÝnh ph­¬ng: C¸c tÝnh chÊt th­êng dïng: sè chÝnh ph­¬ng kh«ng tËn cïng b»ng 2, 3, 7, 8 Sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× chia hÕt cho p2 Sè chÝnh ph­¬ng chia cho 3 th× cã sè d­ lµ 0; 1, chia cho 4 cã sè d­ lµ 0; 1, chia cho 8 cã sè d­ lµ 0; 1; 4 VÝ dô 11: T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó 9x+5 lµ tÝch cña hai sè nguyªn liªn tiÕp Gi¶i: Gi¶ sö 9x+5 = n(n+1) víi n nguyªn th× 36x+20 = 4n2+4n => 36x+21= 4n2+4n+1 => 3(12x+7) = (2n+1)2 (1) Tõ (1) => (2n+1)2 , do 3 lµ sè nguyªn tè => (2n+1)2 MÆt kh¸c ta cã 12x+7 kh«ng chia hÕt cho 3 nªn 3(12x+7) kh«ng chia hÕt cho 9 VËy chøng tá kh«ng tån t¹i sè nguyªn x ®Ó 9x+5 lµ tÝch cña hai sè nguyªn liªn tiÕp. 2/ T¹o ra b×nh ph­¬ng ®óng: VÝ dô 12: T×m x,y nguyªn tho¶ m·n : 2x2+4x+2 = 21-3y2 (1) Gi¶i: Ph­¬ng tr×nh (1) (2) Ta thÊy vÕ tr¸i chia hÕt cho 2 => 3(7-y2) lÎ Ta l¹i cã 7-y2 0 (v× vÕ tr¸i 0) nªn chØ cã thÓ y2 = 1. Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (2) cã d¹ng 2(x2+1) = 18 . C¸c cÆp sè (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh (2) nªn lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. 3/ XÐt c¸c sè chÝnh ph­¬ng liªn tiÕp: HiÓn nhiªn gi÷a hai sè chÝnh ph­¬ng liªn tiÕp kh«ng cã sè chÝnh ph­¬ng. Do ®ã víi mäi sè nguyªn a, x ta cã: Kh«ng tån t¹i x ®Ó a2<x2<(a+1)2 NÕu a2<x2<(a+2)2 th× x2=(a+1)2 VÝ dô 13: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn k cho tr­íc kh«ng tån t¹i sè nguyªn d­¬ng x sao cho x(x+1) = k(k+2) Gi¶i: Gi¶ sö x(x+1) = k(k+2) víi k nguyªn, x nguyªn d­¬ng. Ta cã x2+x = k2+2k => x2+x+1 = k2+2k+1 = (k+1)2 Do x>0 nªn x2<x2+x+1 = (k+1)2 (1) Còng do x>0 nªn (k+1)2 = x2+x+1 < x2+2x+1 = (x+1)2 (2) Tõ (1) vµ (2) => x2 < (k+1)2 < (x+1)2 V« lÝ. VËy kh«ng tån t¹i sè nguyªn d­¬ng x ®Ó : x(x+1) = k(k+2) 4/ Sö dông tÝnh chÊt " nÕu hai sè nguyªn d­¬ng nguyªn tè cïng nhau cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph­¬ng th× mçi sè ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng" VÝ dô 14: T×m x,y nguyªn tho¶ m·n : xy=z2 (1) Gi¶i: Tr­íc hÕt ta cã thÓ gi¶ sö (x, y, z) = 1. ThËt vËy nÕu bé ba sè x0, y0, z0, tho¶ m·n (1) vµ cã ¦CLN b»ng d gi¶ sö x0=dx1; y0=dy1; z0=dz1 cã ­íc chung b»ng d th× sè cßn l¹i còng chia hÕt cho d. Ta cã: z2=xy mµ (x;y)=1 nªn x=a2, y=b2 víi a,b nguyªn d­¬ng => z2=xy=(ab)2 do ®ã z=ab. Nh­ vËy : víi t > 0 §¶o l¹i ta thÊy c«ng thøc trªn tho¶ m·n (1). VËy c«ng thøc trªn lµ nghiÖm nguyªn d­¬ng cña (1) 5/ Sö dông tÝnh chÊt: " nÕu hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph­¬ng th× mét trong hai sè nguyªn liªn tiÕp ®ã b»ng 0 " VÝ dô 15: T×m x,y nguyªn tho¶ m·n : x2+xy+y2=x2y2 (1) Gi¶i: Thªm xy vµo hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1), ta ®­îc: x2+2xy+y2=x2y2+xy (2) Ta thÊy xy vµ xy+1 lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph­¬ng nªn tån t¹i mét sè b»ng 0. NÕu xy = 0 tõ (1) => x2+y2=0 nªn x=y=0 NÕu xy+1=0 => xy= -1 nªn (x; y)=(1;-1) hoÆc (x;y)=(-1;1). Thö c¸c cÆp sè (0;0), (1;-1), (-1;1) ®Òu lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) V/ Ph­¬ng ph¸p lïi v« h¹n ( nguyªn t¾c cùc h¹n): VÝ dô 16: T×m x,y nguyªn tho¶ m·n : x3+2y3=4z3 (1) Gi¶i: Tõ (1) ta thÊy x, ®Æt x=2x1 víi x1 nguyªn. hay vµo (1) råi chia hai vÕ cho 2 ta ®­îc 4x31+y3=2z3 (2). Tõ (2) ta thÊy , ®Æt y=2y1 víi y1 nguyªn thay vµo (2) råi chia hai vÕ cho 2 ta ®­îc: 2x31+4y31=z3 (3) Tõ (3) ta thÊy z ®Æt z = 2z1 víi z1 nguyªn. Th©y vµo (3) råi chia hai vÕ cho 2, ta ®­îc: x13+2y13= 4z13 (4) Nh­ vËy nÕu (x; y; z) lµ nghiÖm cña (1) th× (x1; y1; z1 ) còng lµ nghiÖm cña (1). Trong ®ã x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1. LËp luËn t­¬ng tù nh­ vËy ta ®i ®Õn x, y, z chia hÕt cho 2k víi k. §iÒu nµy chØ x¶y ra khi x = y = z = 0 VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 0 C. Bµi tËp: Bµi 1: T×m x,y nguyªn > 0 tho¶ m·n : a. 5x-y = 13 b .23x+53y= 109 c. 12x-5y = 21 d. 12x+17y = 41 Bµi 2: T×m x,y nguyªn > 0 tho¶ m·n : a/ 1+y+y2+y3 = t3 b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bµi 3: T×m x,y nguyªn > 0 tho¶ m·n : a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bµi 4: T×m x,y nguyªn > 0 tho¶ m·n : 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bµi 5: T×m 12 sè nguyªn d­¬ng sao cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng Bµi 6: Chøng minh r»ng, víi n lµ sè tù nhiªn kh¸c 0.Ýt nhÊt còng cã mét gi¸ trÞ trong tËp hîp sè tù nhiªn kh¸c 0 sao cho: x1+x2+x3+…..+xn= x1x2x3….xn Bµi 7: T×m x,y nguyªn >0 tho¶ m·n : Bµi 8: T×m x,y nguyªn >0 tho¶ m·n : a/ 4(x+y+z) = xyz b/ x+y+z+9-xyz = 0 Bµi 10: Chøng minh ph­¬ng tr×nh 2x2-5y2=7 kh«ng cã nghiÖm nguyªn Bµi 11: T×m x,y nguyªn >0 tho¶ m·n : Bµi 12: T×m x,y nguyªn >0 tho¶ m·n :