Một số ứng dụng về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

MỘT SỐ ỨNG DỤNG VỀ ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ----------------------------- Điều kiện có nghiệm của phương trình (PT) bậc hai một ẩn số có nhiều ứng dụng trong việc giải toán ở trường THCS . Bài viết này trình bày cách giải các bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất(GTNN,GTLN) của biểu thức ; tìm nghiệm nguyên của PT; chứng minh bất đẳng thức ;bằng cách ứng dụng điều kiện có nghiệm trên. I) Tìm GTNN , GTLN của biểu thức. * Xét biểu thức Q(x) xác định với điều kiện của biến x .Ta đặt a = Q(x) ,để a có giá trị khi PT Q(x) – a = 0 hoặc P(t) – a = 0 ( trong đó t là biến phụ theo x ) là những PT bậc hai theo biến x hoặc biến t có nghiệm , nghĩa là x 0 hoặc t 0 mà trong biết thức có chứa a , từ đó ta tìm được GTLN,GTNN của a. Bài 1) Tìm GTLN , GTNN của biểu thức Giải : Biểu thức nhận giá trị a PT (1) có nghiệm Do x2 +1 > 0 nên (1) x2 (a-2) -4x +a-5 = 0 (2) + Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = - + Nếu a 2 thì (2) có nghiệm ’ = 4 – (a-2)(a-5) 0 a2 -7a+6 0 1 a 6( a 2) Với a = 1 thì x = -2 . Với a = 6 thì x = ½ . Vậy GTNN cùa a là 1 khi x = -2 , GTLN của a là 6 khi x = ½ . Bài 2) Tìm x để biểu thức y = x - đạt GTNN . Tính GTNN đó. Giải : Với x 2008 , đặt = t 0 Ta có y = t2 –t +2008 t2 –t +2008 – y = 0 (1) + Coi PT (1) là PT bậc hai (ẩn t) thì PT có nghiệm khi 0 Mà 0 1 – 4 (2008 – y) 0 4y 8031 y GTNN của y là khi t = ½ lúc đó x = ¼ + 2008 = Vậy với x = thì GTNN của y là Bài 3) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : c = 2 Giải : Điều kiện 0 x 1 .Đặt z = thì z2 + y2 = 1 (1) .Ta cần tìm GTLN và GTNN của d = 4z +3y với 2c = d + 7 . Điều kiện : 0 z , y 1 và 0 < d < 7 . Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1) ta được 25z2 – 8 dz +d2 -9 = 0 Để PT này có nghiệm z thì 0 d2 25 d 5. + GTLN của d là 5 GTLN của c là 6 và đạt được khi z = x = z2 = (TMĐK x) + d = 4z+3y 2 .Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y .Thay vào (1) ta tính được : z = ( TMĐK x) . Lúc đó GTNN của d là 2 GTNN của c là 4,1. BÀI TẬP 1) Tìm GTNN và GTLN (nếu có ) của biều thức : a) x(x+1)(x-2)(x-3) b) c) ( HD : Đặt t = thì biểu thức viết lại là a = ) 2) Chứng minh rằng : 3x +4 5. ** Nếu Q(x) là biểu thức luôn xác định trên tập hợp số thực , nghĩa là nếu Q(x) có mẫu thức thì mẫu thức luôn dương .Ta có thể tìm cực trị của Q(x) bằng cách khác nhưng vẫn dựa trên điều kiện có nghiệm của PT bậc hai . Bằng việc đưa thêm tham biến t để xét biểu thức f(x) = Q(x) –t . Nếu f(x) 0 (hoặc f(x) 0) với mọi x thuộc tập xác định của Q(x) và tồn tại giá trị của t0 để có f(x) = 0 ( tức là có Q(x) = t0) thì t0 chính là GTNN hoặc GTLN của Q(x) *** Xét tam thức : g(x) = ax2+bx+c = với = b2 – 4ac + Nếu a = 0 thì g(x) = bx +c luôn cùng dấu khi b = 0 và g(x) =0 khi c = 0. + Nếu a>0 thì g(x) 0 với mọi x khi 0 và g(x) = 0 chỉ khi = 0. +Nếu a < 0 thì g(x) 0 với mọi x khi 0 và g(x) = 0 chỉ khi = 0. Như vậy việc tìm cực trị của Q(x) bằng cách trên cho phép ta chuyển việc xét Q(x) t hoặc Q(x) t về việc xét một PT t = 0. Bài 4) Tìm GTNN ,GTLN của biểu thức Q = Giải : Xét f(x) = Q(x) – t = Vì x2 +1 > 0 với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = x2+8x+7- t(x2+1) hay g(x) = (1-t) x2 +8x +7 – t (1) Aùp dụng việc xét tam thức trên vào (1) có: = 16 – (1-t)( 7 – t) = - t2 +8t +9. = 0 khi t = - 1 hoặc t = 9 . + Với t = -1 thì a = 1 –t = 2 nên g(x) 0 f(x) 0 , suy ra GTNN của Q(x) là -1 khi f(x) = 0 g(x) = 0 2( x +2)2 = 0 x = -2 . + Với t = 9 thì a = 1 – t = -8 < 0 nên g(x) 0 f(x) 0 , suy ra GTLN của Q(x) là 9 khi f(x) = 0 g(x) = 0 2(2x – 1)2 = 0 x = ½ . Bài 5) Tìm GTNN,GTLN của biểu thức Q = với x,y không đồng thời bằng 0 . Giải : Vì x2 + y2 luôn luôn dương trừ giá trị x = y = 0 nên dấu của f(x,y) = Q – t chính là dấu của tử thức g(x,y) = 3y2 – 4xy –t(x2 +y2) hay g(x,y) = (3-t)y2 – 4 yx – tx2 (1) Nếu t = 3 thì g(x,y) = -3x2 -4xy. Vì = 4y2 0 nên g(x,y) = 0 chỉ khi y = 0 , x = 0 ( loại) Xét (3) theo biến y có y = 4x2 +t(3-t)x2 = (4+3t –t2)x2 = 0 với mọi x khi t = -1 hoặc t = 4. + Với t = -1 thì a = 3 – t = 4 > 0 nên g(x,y) 0 f(x,y) 0 , suy ra GTNN của Q(x,y) là -1 khi f(x,y) = 0 g(x,y) = 0 -(y + 2x)2 = 0 y = -2x ( 0) + Với t = 4 thì a = 3-t = 4 > 0 nên g(x,y) 0 f(x,y) 0 , suy ra Q(x,y) có GTLN là 4 khi f(x,y) = 0 g(x,y) = 0 -(y+2x)2 = 0 y = -2x (0) . Bài 6) Tìm u,v để biểu thức Q = đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1 Giải : Đặt f(x) = Q(x) – t = Vì x2 +1 > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = ux+v-t(x2 +1) hay g(x) = -tx2 +ux+v – t . Để GTNN của Q(x) là t1 = 4 ( lúc đó a1 = -4 0) xảy ra đồng thời thì dựa vào (***) phải có : Nghĩa là: (u,v) bằng (4,3) hoặc (-4 ,3) BÀI TẬP TìmGTLN ,GTNN của biểu thức Q sau : II) Phương trình nghiệm nguyên Các phương trình được xét dưới đây cùng thuộc một dạng , mỗi PT đều chứa hai biến số x,y với bậc cao nhất là 2 . Để giải PT loại này ta đưa chúng về dạng tích , bằng cách áp dụng công thức : f(x) = ax2 + bx +c = a( x-x1)(x-x2) , trong đó x1,x2 là hai nghiệm của PT bậc hai : ax2 + bx +c = 0 Xét PT bậc hai theo biến x : ax2 + bxy + cy2 + d =0 (1) ,PT ( 1) muốn có nghiệm nguyên thì trước tiên phải có nghiệm ,từ đó ta thấy xuất hiện những điều kiện của biệt thức : = b2y2 -4acy2-4d + Nếu biệt thức sau khi biến đổi về dạng = my2 + n ,trong đó m 0 Thì PT có nghiệm khi 0 y2 , từ đó ta xác định được các giá trị y nguyên . Bài 7 ) Giải PT sau đây trên tập số nguyên Z : x2 -6xy +13y2 = 100 Giải : PT trên viết lại là: x2 -6xy +13y2 -100 = 100 (1) Ta xem PT (1) là PT bậc hai theo biến x , để PT có nghiệm nghuyên khi PT có nghiệm , nghĩa là biệt thức không âm : ’ 0 -4y2 +100 0 y2 25 , vì y là số nghuyên nên y = 0,3,4,5 . Từ đó ta có 12 nghiệm (x,y) = (10,0) ; (-10,0) ; (17,3); (1,3); (-17,-3); (-1,-3);(6,4);(18,4);(-18,-4);(-6,-4);(15,5);(-15,-5). Bài 8) Giải PT nghiệm nguyên : x2 +y2 –xy –x-y = 0 Giải : PT đã cho viết lại là : x2-(y+1)x +y2 –y = 0 (1) Ta xem PT (1) là PT bậc hai theo biến x , để PT có nghiệm nghuyên khi PT có nghiệm , nghĩa là biệt thức không âm : 0 - 3y2 +6y+1 0 - 3 (y-1)2 +4 0 (y-1)2 1 -1 y-1 1 y = 0 , 1 , 2 . Từ đó ta tìm được các nghiệm nguyên là : (x,y) = (0,0);(1,0);(0,1);(2,1);(1,2);(2,2). + Nếu biệt thức sau khi biến đổi về dạng = my2 + n ,trong đó m > 0. Để đưa PT : ax2 + bxy + cy2 + d = 0 về dạng tích , ta xem PT theo biến x ,xem y là tham số : ax2 + bxy + cy2 + d +m = m (2) .Chọn m sao cho vế trái có biệt thức là một số chính phương ,lúc đó f(x) = ax2 + bxy + cy2 + d +m có hai nghiệm x1 = g(y) và x2 = g’(y) .Từ đó PT (2) viết theo dạng tích là : a [ x – g(y) ][ x – g’(y)] = m . Bài 9) Giải PT nghiệm nguyên : x2 +2y2 +3xy +3x +5y = 15 (1) Giải : Để đưa (1) về dạng tích , ta nhóm PT theo biến x và xem y là tham số : x2 +3xy(y+1) +2y2 +5y +m = 15 +m (2) . Chọn m sao cho vế trái có biệt thức là số chính phương Ta có : = 9(y=1)2 -4(2y2 +5y+m) = y2 -2y +9 -4m . Chọn m = 2 ta có = ( y – 1)2. Suy ra x1 = -y – 2 ; x2 = -2y – 1 . Khi đó PT(2) trở thành : (x+y+2)(x+2y+1) = 17. Giải các hệ PT : . Ta được các nghiệm (x,y) = (-18,17);(30,-15);(-36,17);(12,-15). Bài 10) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa x2 –(5+y)x +2 +y = 0 (1) Giải : PT (1) x2 –(5+y)x +2 +y +m = m (2) .Đưa PT (2) về tích , chọn m sao cho biệt thức của vế trái là số chính phương .Ta có = (5+y)2 -4(2+y+m) = y2 +6y +17 -4m, chọn m = 2 ta có = (y+3)2 khi đó PT (2) trở thành (x-1)(x-y-4) = 2 .Giải các hệ PT : Ta có các cặp số nguyên thỏa mãn PT là (x,y ) = (-1,-4);(0,-2);(2,-4);(3,-2). Bài 11) Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x,y) của PT : (x2+y)(x+y2) = (x+y)3 (1) Giải : + Với y = 0 thì PT(1) : x3 = x3 nên (x,y) = (m , 0) trong đó m Z . + Với y 0 thì PT(1) y( 2y2 +(x2 -3x)y + (x+3x2)) = 0 2y2+(x2-3x)y+(x+3x2) = 0 (2) Xem (2) là PT bậc 2 đối với biến y .Để (2) có nghiệm nguyên thì = (x+1)2x(x-8) phải là số chính phương suy ra : x(x-8) = a2 (a N) (x-4+a) = 16 . Từ đó ta tìm được x = 9;8;-1. Các nghiệm nguyên hai trường hợp này là (x,y) = ( 9,-6);(9,-21);(8,-10);(-1,-1) và (m,0) với m Z. Bài 12) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ PT sau : Giải : Vì x,y nguyên dương nên x+y = z (x+y)2 = z2 . Khử z đưa đến PT : y2 –(x+1)y+x2 –x = 0 . Xem đây là PT bậc hai theo biến y, để có giá trị y nguyên thì = -3x2+6x+1 = -3(x-1)2 +4 = a2 ( a là số nguyên dương) 3(x-1)2 = 4-a2 0 a2 4 a = 1 ,2 x = 1,2 Từ đó ta tìm được nghiệm nguyên của hệ là : (x,y,z) = ( 1,2 ,3) ; ( 2 , 1,3 ) ; ( 2,2 , 4) . BÀI TẬP Giải PT nghiệm nguyên : a) 2x2 +2y2+3xy+3x+5y = 15. b) 9x2-10y2-9xy+3x-5y = 9.