Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về phép chia hết trong tập hợp N

A. Phần mở đầu I/ Lí do chọn đề tài Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới. Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình. Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học. Với đối tượng học sinh khá, giỏi, các em có tư duy nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các học sinh này phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta. Bản thân tôi, trong 3 năm học vừa qua được nhà trường phân công dạy toán lớp 6. Qua giảng dạy tôi nhận thấy “phép chia hết" là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán 6 cũng như môn toán THCS. Với bài viết này, tôi không tham vọng lớn bàn về việc dạy " phép chia hết" và ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về" phép chia hết" trong tập hợp số tự nhiên mà tôi đã từng áp dụng thành công. Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi bồi dưỡng học sinh khá, giỏi II. Nhiệm vụ của đề tài Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày “Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về phép chia hết trong tập hợp N” . Cụ thể là : - Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán về phép chia hết. - Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia hết. - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập. III. Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về “Phép chia hết trong N” trong SGK Toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy toán 6. Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 6 IV. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp thực hành Đúc rút 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy phần Phép chia hết. B. Nội dung I/ Trước hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết. Định nghĩa Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b= x 2.Các dấu hiệu chia hết Dấu hiệu chia hết cho 2 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9) Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại Dấu hiệu chia hết cho 5 Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 hoặc 125. Dấu hiệu chi hết cho 11 Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. 3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết + 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0 + a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0 + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c + nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n) + Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên. + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a±b) không chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên + Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên II/ Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết. Với học sinh lớp 6 tôi thường sử dụng 5 phương pháp sau: 1. phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). a = b.k ( k N) hoặc a =m.k ( m chia hết cho b) Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng bao giờ cũng chia hết cho 7 Giải : = a.111111 = a. 7.15873 chia hết cho 7 Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13. Giải : Ta có : = = .(1000+1) =.1001 = .11.7.13 nên chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13. Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11 Giải . Gọi 2 số đó là và . Ta có : + = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11 2. Phương pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết. 2.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu * Để chứng minh a chia hết cho b ( b 0) ta có thể làm như sau: Viết a = m + n mà m M b và nM b Viết a = m - n mà m M b và nM b * Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dưới dạng tổng của các số mà chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều chia hết cho b. Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng : Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. Giải. Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2. Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) M 3 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3. Tổng của 4 số đó là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2 không chia hết cho 4 Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n. 2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích. Để chứng minh a chia hết cho b (b ạ 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau: + Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 ị a chia hết cho b + Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n + Biểu diễn a= a1 . a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2 Ví dụ 5: chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với " a, b là số tự nhiên. Giải: Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với " a. Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với " b Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3. Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với " a, b mà (3,5) = 1. ị (1980 a + 1995b) chia hết cho 15 Ví dụ 6: chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n N) Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2 Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2) ị 4.n.(n+1) chia hết cho 8 ị 2n.(2n + 2) chia hết cho 8 * Giáo viên nhận xét : Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích được thành tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép chia hết. 3. Phương pháp 3: Dùng định lí về chia có dư để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p: Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, ..., p-1; k N. Rồi xét tất cả các trường hợp của r. Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2. Giải: Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k - Với n= 2k +1 ta có: (n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2. - Với n= 2k ta có : ( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hết cho 2. Vậy với mọi n N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2. Ví dụ 8: chứng minh rằng: a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4. Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2) Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0;1;2 - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ị n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3 - Nết r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên) ị n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hết cho 3 ịn. (n+1).(n+2) chia hết cho 3 - Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên) ị n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3 ịn.(n+1) . (n+2) chia hết cho 3 Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát. Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp. 4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng. Ví dụ 9: Chứng minh rằng (9999931999 – 5555571997) chia hết cho 10. Giải Ta có : 9999931999 = [ (9999934)499. 9999933] = . = 5555571997= (5555574)499.555557 = . = 9999931999 – 5555571997 = chia hết cho 10 ( đpcm) Ví dụ 10: Chứng minh rằng : 1028 + 8 chia hết cho 72 Giải: 27 chữ số 0 28 chữ số 0 Ta có 1028 + 8 = ( 100...0 + 8) = 100. . .08 có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9. 27 chữ số 0 1028 + 8 = = 100. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8. Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8 M (8.9) hay 1028+ 8 M 72. *Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài toán mà số chia là các số tròn chục ( 10, 100, ...) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân tích thành tích các số có dạng như trên. 5. Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet. Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”. Ví dụ11: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5. Giải: Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là : 0; 1; 2; 3; 4. Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư ( nguyên tắc Đirichlet). Hiệu của 2 số chia hết cho 5. III/ Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để Chứng minh chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết Bài 1: Tìm tất cả các số x,y để số chia hết cho 36. Tìm các chữ số x, y để chia hết cho 3, 4 ,5 . Giải Vì (4;9) = 1 nên chia hết cho 36 Û chia hết cho 9 và chia hết cho 4. Ta có: chia hết cho 4 Û 5y chia hết cho 4 Û yẻ{ 2;6}. chia hết cho 9 Û ( 3+4+x+5+y) chia hết cho 9 Û (12+x+y) chia hết cho 9 Vì x,y là các chữ số nên x+y ẻ { 6;15}. Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 >9 (loại) Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9 Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056;34956 b) Ta có : M 5 ú y {0;5}. Nếu y = 5 thì không chia hết cho 4 Nếu y = 0 thì chia hết cho 4 ú M 4 ị x {0; 2; 4 ; 6 ; 8}. (1) M 3 ú (2 + 1 + x + 0) M 3 ú (3+ x)M 3 ị x {0; 3; 6; 9}. ( 2) Kết hợp (1) và ( 2) ị x {0; 6}. Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160 Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211 Giải: tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: Tổng của các số đó là: = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia hết cho 211. Bài 3: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +260. Chứng minh rằng : AM3; AM7; A M15 b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 31991. Chứng minh rằng : B chia hết cho 13 và B chia hết cho 41. Giải: *A = 2 +22 +23 + ... +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + ...+ (259 + 260) = = 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + ... + 259 (1+2) = 2.3+ 23. 3 +.... +259. 3 = = 3.(2+ 23 + ... + 259) chia hết cho 3 *A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + ... + (258 + 259 + 260) = 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) +... + 258( 1+ 2+4) = 2.7 +24.7+ ... + 258.7 = 7( 2+24 +... + 258) chia hết cho 7 *A= (2+ 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260) = 2(1+2+4+8) +... + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + ... + 257) chia hết cho 15. Vậy A chia hết cho 3, A chia hết cho 7 và A chia hết cho 15. b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991 = ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + ... + ( 31987+ 31989 + 31991) = 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + ... + 31987(1+ 32+34) = 3. 91 + 37.91 + ... + 31987.91 = 91( 3 + 37 + ... + 31987) M 13 ( vì 91 M 13) B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 31985 + 31987 + 31989+ 31991) = 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 + 32 + 34 + 36) = 3. 820 + 39 .820 + ... + 31985.820 = 820( 3 + 39 + ... + 31985) M 41 ( vì 820 M 41) Bài 4 : Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6. a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b. Giải: Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b M 6 ( vì (a - b) M 6 và 6b M 6) a + 17 b = ( a- b) + 18b M 6 [ vì (a- b) M 6 và 18bM6] a - 13b = ( a - b) - 12b M 6 [ vì ( a - b ) M 6 và 12b M 6] Bài 5: Chứng minh rằng: (92n + 199493) chia hết cho 5, Giải: Ta có: 92n = (92)n = 81n = 199493 = (19942)46. 1994 =46. 1994 = .1994 = Do đó: 92n + 199493 = + = chia hết cho 5 Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2) Giải: Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2) Do đó (3n+10) chia hết cho (n+2) 4 chia hết cho (n+2) Û (n+2) là ước của 4. Û (n+2) { 1; 2;4} ị n { 0;2} Vậy với n {0;2 } thì (3n+10) chia hết cho (n+2) Cách 2: (3n+10) chia hết cho (n+2) Mà (n+2) chia hết cho (n+2) => 3(n+2) chia hết cho (n+2) => [ (3n +10) - (3n +6)] chia hết cho (n+2) => 4 chia hết cho (n+2) đến đây giải tiếp như ở cách 1. Bài 7: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên Giải để là số tự nhiên thì (n+15) chia hết cho n+3 => [( n+15) - (n+3)] chia hết cho (n+3) ú 12 chia hết cho (n+3) ú (n+3) là U(12) = {1;2;3;4;6;12} ú n {0;1;3;9} Vậy với n {0;1;3;9} thì là số tự nhiên Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1 Giải : Gọi d là ƯC( 3n+ 1 , 4n + 1) ị 3n + 1 M d ị 4.( 3n + 1) M d 4n + 1 M d 3. ( 4n+1) M d ị ( 12n + 4 - 12n - 3 ) M d ị 1 M d ị d = 1 ị ( 3n + 1, 4n + 1) = 1 Bài 9: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Giải : Có 45 -2 = 43 học sinh được phân chia và 8 loại điểm ( từ 2 đến 9). Giả sử mỗi điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá 8.5 = 40 học sinh ( ít hơn 43 học sinh) Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Bài 10: Chứng minh rằng nếu M 37 thì M 37 và M 37 Giải: Vì M 37 nên ( 100a + 10b + c) M 37 ị 10.( 100a + 10b + c) M 37 ị [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a] M 37 ( vì 999M37) ị ( 100b + 10c + a ) M 37 ị M 37 Mặt khác : ++ = 100a + 10b+ c + 100c + 10a + b + 100b + 10c + a = 37.3. ( a + b + c) M 37 Mà + M 37 ị M 37 *Nhận xét: Qua bài này ta rút ra được tổng 3 số dạng ++M 37 Bài 11: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y. Giải : Vì ( 6x + 11y) M 31 nên ( 6x + 11y + 31y ) M 31 ị ( 6x + 42 y) M 31 ị 6 ( x + 7y ) M 31 mà ( 6, 31 ) = 1 ị ( x + 7y ) M 31 ( đpcm). Bài 12: Một số khi chia cho 6 dư 4, khi chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3. Tìm dư cho phép chia số đó cho 642. Giải : Gọi số đó là a. Theo bài ra, ta có a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p là các thương và là các số tự nhiên). Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2) M 6 a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2) M 7 a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1) M 11 suy ra ( a + 8) là BC (6,7,11), mà BCNN(6,7,11) = 462 ị ( a + 8) M 462 ị ( a + 8 ) = 462.m ( mN) ị a = 462.m - 8 = 462.(m - 1) + 454 ị a = 462.n + 454 ( nN) Vậy a chia cho 462 dư 454. Bài 13: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho các số 5, 7 ,9 ? Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để được số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9? Giải: a) Giả sử số viết thêm là . Ta có chia hết cho 5, 7 ,9 suy ra chia hết cho 5. 7. 9 = 315. ( vì 3, 5, 7 đôi một nguyên tố cùng nhau) Mặt khác = 579000 + = ( 315.1838 + 30 + ) M 315 Mà 315.1838M 315 suy ra ( 30 + ) M 315 Do 30 30 + 30 + 999 = 1029 nên ( 30 + ) { 315; 630; 945} suy ra { 285; 600; 915} Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915. b) Gọi số phải viết thêm là . Ta có : chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên chia hết cho BCNN(6,7,8,9) = 504. Mặt khác = 523000 + = 504.1037 + 352 + . Vì 504. 1037 M 504 nên ( 352 + ) M 504 ú = k.504 - 352 với k N ị k { 1; 2 } ú { 152 ; 656} Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656. Bài 14: Một bạn viết các số từ 1 đến . Bạn đó phải viết tất cả m chữ số. Biết rằng m chia hết cho , tìm . Giải: Từ 1 đến , bạn đó phải viết số chữ số là : M = 1.9 + 2.90 + 3. (- 99) = 3. - 108 Theo bài ra m M ú ( 3. -108) M ú 108M ú = 108 Vậy bạn đó đã viết các số tự nhiên từ 1 đến 108. n chữ số Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 ... 1 chia hết cho 3. Giải: n chữ số n chữ số * Cách 1: Ta có : 2n + 11 ... 1 = 3n + ( 11 ... 1 - n) n chữ số vì một số chia cho 3 dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số ấy chia cho 3 cũng dư bấy nhiêu nên 11... 1 và n có cùng số dư khi chia cho 3 n chữ số ị 11...1 - n chia hết cho 3 n chữ số n chữ số Vậy 3n + (11 ... 1 - n ) M 3 hay 2n + 11 ... 1 M 3 * Cách 2: với mọi n N ta có hoặc n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k +2 ( kN) 3k chữ số n chữ số nếu n = 3k ị 2n + 11...1 = 2.3k + 11...1 M 3 3k chữ số 1 n chữ số 3k+1 chữ số Nếu n = 3k + 1 ị 2n + 11 ... 1 = 2( 3k+1) + 11 ...1 = 6k + 11...13 chia hết cho 3. 3k+2 chữ số n chữ số Nếu n = 3k+ 2 ị 2n + 11 ...1 = 2( 3k+2) + 11 ... 1 3k +1 chữ số 1 = 6k + 3 + 11...12 chia hết cho 3 3k +1 chữ số 1 ( vì số 11...12 có tổng các chữ số bằng 3k + 3 chia hết cho 3) * Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phép chia hết". Các bài toán về "phép chia hết" thật đa dạng và phong phú. nếu như chúng ta chỉ hướng dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là khó và phức tạp. Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc nắm vững định nghĩa về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy sáng tạo và sự linh hoạt khi giải toán. Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài toán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh. .IV. Một số kết quả ban đầu 1. Kết quả với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau 3 năm dạy toán 6, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn toán. * Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau: Năm học áp dụng đề tài Tổng số HS lớp 6 Số HS giải được theo các mức độ Từ 0 -20% BT Từ 20-50% BT Từ 50-80% BT Trên 80% BT SL % SL % SL % SL % 2002 - 2003 Chưa áp dụng 36 7 19 15 42 10 28 4 11 2003 - 2004 Đã áp dụng 49 7 14 15 31 15 31 12 24 2004 - 2005 Đã áp dụng 45 5 11 14 31 13 29 13 29 2. Bài học kinh nghiệm. Phần " Phép chia hết cho tập hợp số tự nhiên" ở lớp 6 là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết và đặc biệt là các tính chất của quan hệ chia hết bởi vì các tính chất này rất hay sử dụng. Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt tay vào giải theo nhiều cách ( nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp. Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm , một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự học sinh có thể liên hệ được. c . Kết luận Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông qua đó phát huy tính tích cực chủ động của học sinh. Tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thời gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Nhưng theo tôi một trong những phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinh ngày một nâng cao là phải làm như vậy. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần " Phép chia hết trong tập hợp N " ở lớp 6. Chắc chắn nó chưa được hoàn chỉnh và có chỗ kiếm khuyết. Trong khi vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán đối với giáo viên THCS còn nhiều bức xúc thì bản thân tôi muốn đóng góp một kinh nghiệm nhỏ của mình. Qua đây, tôi rất mong sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để năm học tới được tốt hơn, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nước nhà. Tôi xin chân thành cảm ơn!