Nguyên lý Fermat

Những vấn đề nâng cao Nguyên lý fermat Vào khoảng năm 1660, nhà toán học người Pháp P. Fermat đã đưa ra một nguyên lý cơ bản của quang hình học mà hiện nay gọi là nguyên lý Fermat. Theo nguyên lý này, thì trong tất cả các đường nối hai điểm với nhau, ánh sáng sẽ đi theo đường mất ít thời gian nhất. Từ nguyên lý này có thể rút ra được tất cả các định luật cơ bản khác của quang hình học. Thực vậy, trong một môi trường đồng tính ánh sáng cần phải truyền đi theo đường thẳng, bởi vì đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm, do đó thời gian ánh sáng truyền theo đường thẳng là nhỏ nhất. Nếu ánh sáng đến mặt phân cách giữa hai môi trường (có chiết suất khác nhau, hay có vận tốc truyền ánh sáng khác nhau) thì chúng tuân theo các định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng, mà ta có thể suy ra trực tiếp từ nguyên lý Fermat. Một cách phát biểu chặt chẽ hơn, nguyên lý Fermat thực tế là một trường hợp riêng của một nguyên lý tổng quát hơn được sử dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết hiện đại, có tên là nguyên lý tác dụng tối thiểu. Theo nguyên lý này, ánh sáng truyền từ một điểm này đến một điểm khác theo đường đi có thời gian truyền đạt cực trị, nghĩa là cực tiểu, cực đại hay là bằng nhau so với tất cả các đường khác. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể để minh hoạ cho nguyên lý Fermat. Phản xạ ánh sáng Ví dụ 1. Xét sự phản xạ ánh sáng từ một gương phẳng (H. 1; màn D chắn không cho ánh sáng truyền trực tiếp từ A tới B). a) Chứng minh rằng: Khi thoả mãn định luật phản xạ ∠ ACD = a = b =∠DCB thì đường truyền của ánh sáng là ngắn nhất trong số tất cả các quỹ đạo khả dĩ, tức là theo đường ACB. b) Hãy rút ra định luật phản xạ ánh sáng từ nguyên lý cho rằng ánh sáng phản xạ từ gương phẳng truyền theo con đường ngắn nhất. Hinh 1 Hình 2 Giải a) Vẽ thêm đường phụ (hình 2): trên phần kéo dài của đường vuông góc AM ta lấy một đọan MA' = AM, rồi nối A' với C và E. Vì DACM = DA'CM (vì hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau) nên ∠ACM = ∠A'CM . Tương tự, vì DACM = DBCM', nên ∠ACM = ∠BCM', suy ra ∠A'CM = ∠BCM'. Điều này có nghĩa là A'CB là một đường thẳng, tức là đường ngắn nhất. Mặt khác A'C = AC còn AE = A'E , do đó b. Giả sử E là điểm tuỳ ý nằm trong đoạn MM' (hình 3). Khi chiều dài đoạn AEB là cực tiểu thì thoả mãn định luật phản xạ, tức là ∠AEK = ∠BEK. Thật vậy, từ hình 3, ta có: Điều kiện có cực tiểu: Hình 3 hay mà: và , suy ra sin a = sinb hay a = b. Đây chính là định luật phản xạ. Việc cực trị này chính là cực tiểu có thể dễ dàng chứng minh bằng cách lấy đạo hàm cấp hai. Ví dụ 2 Cho ánh sáng phản xạ trên gương cầu lõm có dạng một hình bán cầu bán kính R. Hãy rút ra định luật phản xạ ánh sáng đối với trường hợp này với điều kiện ánh sáng truyền từ điểmA đến điểm B theo quỹ đạo có độ dài cực trị (hình 4; màn chắn D chắn ánh sáng truyền trực tiếp từ A tới B).Hãy khảo sát đặc điểm của cực trị này. Hình 4 Giải: Từ hình 4 ta có: có nghĩa là độ dài này là hàm số của góc j. Điều kiện hàm này đạt cực trị là: = 0 hay: Từ đó suy ra: sin j = cos j hay j = 450 Điều đó có nghĩa là điểm E ứng với quỹ đạo thực của tia sáng nằm ở chính giữa cung AEB, tức là E trùng với C, đồng thời a = b. Bây giờ ta sẽ xét đặc điểm cực trị. Lấy đạo hàm cấp hai của độ dài lAEB theo góc j lấy tại j = 450 , ta được: = Dấu âm của đạo hàm bậc hai chứng tỏ có cực đại, nghĩa là ánh sáng chọn con đường dài nhất trong số các quỹ đạo khả dĩ: lACB > lAEB Ví dụ 3 Chứng minh rằng khi phản xạ trên mặt gương elipxoit lõm, ánh sáng luôn tuân theo định lụât phản xạ a = b khi đi từ tiêu điểm A đến tiêu điểm B của elip (hình 5; điểm C có thể chọn tuỳ ý; CN - vuông góc với tiếp tuyến của elip tại điểm phản xạ; màn D không cho ánh sáng truyền trực tiếp từ A đến B). Điều kiện cực trị có đúng đối với trường hợp này không? Hình 5 Giải: Dựng tiếp tuyến tại điểm E bất kỳ trên elip. Từ A hạ đường vuông góc với tiếp tuyến và lấy điểm A' đối xứng với A qua tiếp tuyến vừa dựng: LA' = LA (hình 6). Nối E với A'. Dễ dàng thấy rằng D ALE = D A'LE (2 tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau). Từ đó suy ra a = a' và A'E = AE. Khi đó: với a là bán trục lớn của elíp. Đường gấp khúc AEB nối A và B qua tiếp điểm E là đường ngắn nhất, tức , bởi vậy đường A'EB là ngắn nhất, tức nó là đường thẳng. Suy ra a' = b (đối đỉnh), nhưng do a' = a, ta có a = b và g = d hay góc tới bằng góc phản xạ. Hình 6 Xuất phát từ tính chất của elip: r1 + r2 = AE + EB = 2a = const, điều này đúng cho tất cả các điểm trên elip hay: nghĩa là trong trường hợp này không tồn tại cực trị. Khúc xạ ánh sáng Ví dụ 4 a) Chứng minh rằng thời gian truyền ánh sáng qua mặt phân cách giữa hai môi trường từ điểm A (nằm trong môi trường có vận tốc truyền ánh sáng là v1) đến điểm B (trong môi trường có vận tốc truyền ánh sáng là v2) là cực tiểu theo quỹ đạo ACB thoả mãn định luật khúc xạ : = = const b) Từ điều kiện thời gian ánh sáng truyền qua mặt phân cách từ điểm A đến điểm B là cực tiểu hãy rút ra định luật khúc xạ. Giải: a a b A B (v1) (v2) C Hình 7 Hình 8 a) Dựng một đường tròn bán kính tuỳ ý (hình 8), đường kính MN phân chia hai môi trường: phía trên là môi trường kém chiết quang hơn, phía dưới là môi trường chiết quang hơn (v1 > v2). Đánh dấu hai điểm A và B, sau đó kẻ hai đường gấp khúc ACB và AC’B. Đường ACB qua tâm C với góc tới và góc khúc xạ lần lượt là a và b thoả mãn định luật khúc xạ: = = const Ta cần chứng minh rằng thời gian ánh sáng truyền theo đường ACB nhỏ hơn khi theo đường AC’B. Chúng tôi xin dành chứng minh này cho bạn đọc. b) Giả sử C là điểm di động dọc theo mặt phẳng phân cách giữa hai môi trường, khi đó thời gian ánh sáng đi từ A đến B qua C sẽ thay đổi ( hình 9). Từ hình vẽ ta có: Hình 9 = + Từ điều kiện cần để có cực trị: = 0, ta được hay Mà = sina và = sinb, suy ra = (đ.p.c.m.) Lấy đạo hàm cấp hai, ta dễ dàng thấy rằng đạo hàm này dương, tức cực trị trong trường hợp này là cực tiểu. Ví Dụ 5 Giả sử B là ảnh thực của điểm A khi chùm sáng khúc xạ trên bề mặt của bán cầu KCL (hình 10). Chứng minh rằng thời gian ánh sáng truyền giữa hai điểm A và B cố định theo hai đường ACB và AC’B là như nhau. Xem các a và b là nhỏ. Giải: Hình 10 Hình 11 Ký hiệu ∠CAC' = g, ∠CBC' = d, AC' = s và C'B = s' (H.11). Ta có: và ở đây ta đã dùng các công thức gần đúng , vì ta chỉ xét những tia gần trục, nghĩa là các góca, b, g, d là nhỏ. Nếu bỏ qua các số hạng bậc 2 và chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất, ta được: tACB = + = tAC’B (đ.p.c.m.) Ví Dụ 6 Chứng minh rằng thời gian ánh sáng truyền qua mặt bán cầu KCL ngăn cách hai môi trường (hình 12) từ điểm A đến điểm B nằm sau ảnh thực F của điểm A là cực đại nếu ánh sáng truyền theo đường ACB thoả mãn định luật khúc xạ = = const. Hình 12 GIảI: Trong môi trường đồng tính ánh sáng truyền theo đường thẳng, bởi vậy bất kỳ một quỹ đạo nào cũng gồm các đoạn thẳng. Bên cạnh quỹ đạo thực ACFB, ta dựng một quỹ đạo khả dĩ AC'B ở lân cận nó (hình 13). Cả hai quỹ đạo đều xuất phát từ A và kết thúc tại B. Ta phải chứng minh thời gian truyền ánh sáng dọc theo quỹ đạo thực là lớn nhất, tức . Dựng cung tròn nhỏ, tâm F, bán kính FB, cắt đường AOF tại B’(H.13). Dựng cung tròn lớn tâm ở C’ bán kính C’B’, cắt C’B trên đường kéo dài của nó tại D (nằm dưới điểm B). Vì F là ảnh thật của A nên tACF = tAC’F (xem Ví dụ 5). Mặt khác, do FB = FB’ và môi trường đồng tính nên tFB = tFB’ Hơn nữa, vì C’D = C’B’ và môi trường là đồng tính nên ta cũng có tAC’D = tAC’B’ Cuối cùng, vì B nằm phía trong D nên tAC'B < tAC'D. Suy ra: Vế trái của bất đẳng thức trên là thời gian của quỹ đạo khả dĩ. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng vế phải chính là thời gian ánh sáng truyền theo quỹ đạo thực. Thật vậy Do đó: (đ.p.c.m.) Như vậy, khi khúc xạ qua một mặt cầu lồi trên đường truyền từ điểm A (trong môi trường 1) đến điểm B (trong môi trường 2 ở sau điểm F), thời gian truyền của ánh sáng theo quỹ đạo thực (có nghĩa là thoả mãn định luật khúc xạ) là cực đại khi so với tất cả các quỹ đạo khả dĩ khác. Hình 13 Tóm lại, chúng ta thấy rằng khi khúc xạ cũng như phản xạ ánh sáng, điều quan trọng là tính dừng (tức đạo hàm bậc nhất bằng không). Thời gian truyền có thể là cực tiểu (nếu điểm B ở gần hơn ảnh thực F của A), có thể là cực đại (nếu điểm B ở xa điểm F hơn) , có thể không là cực tiểu mà cũng không là cực đại (B trùng với F). Văn Huyên (sưu tầm và giới thiệu)