Nội dung ôn tập môn thi: giải tích (dành cho thi tuyển sinh cao học ngành: Toán học)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NỘI DUNG ÔN TẬP MÔN THI: GIẢI TÍCH (DÀNH CHO THI TUYỂN SINH CAO HỌC NGÀNH: TOÁN HỌC) PHẦN I: TÍCH PHÂN Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue. Định luật Lebesgue và tiêu chuẩn khả tích Riemann Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue Không gian Lp(1≤p≤+∞) Định lý Fubini PHẦN II: KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ Không gian Mêtric. Tôpô trong không gian Mêtric: Lân cận, tập mở, tập đóng Sự hội tụ trong không gian Mêtric Không gian Mêtric đầy. Bổ sung đầy không gian Mêtric. Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dẫn. Định lý Baire về phạm trù. Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và ứng dụng của nó. Không gian Compact. Tập Compact và tập hoàn toàn bị chặn. Định lý Heine-Borel. Ánh xạ liên tục giữa các không gian Mêtric. Các tính chất của hàm số liên tục trên không gian Compact. Định lý Arzela-Ascoli Không gian tôpô Không gian Tôpô. Một số loại không gian tôpô. Không gian Hausdorff, không gian chính quy, không gian chuẩn tắc. Định lý Tietze. Không gian compact. Không gian compact địa phương. Compact hoá Alecksandrov. PHẦN III: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH, KHÔNG GIAN HILBERT Không gian định chuẩn. Không gian Banach. Không gian liên hợp với không gian định chuẩn. Toán tử liên tục. Toán tử liên hợp Các định lý cơ bản của giải tích hàm. Định luật Haln- Banach và định lý tách các tập lồi trong không gian tuyến tính Định lý Banach về ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng. Định lý Banach- Steinhaus và hệ quả Toán tử Compact. Phổ của toán tử và phổ của toán tử compact. Định lý Schauder về tính compact của toán tử liên hợp. Không gian Hilbert. Hệ véc tơ trực giao, phần bù trực giao của không gian con, tổng trực giao. Định lý Riesz về dạng của phiếm hàm tuyến tính liên tục. Cơ sở của không gian Hilbert. Giá trị riêng và véc tơ riêng của toán tử compact liên hợp. Định lý Hilbert Schmidt về biểu diễn phổ. TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Tuỵ. Giải tích hiện đại, tập I,II,III (Nhà xuất bản giáo dục 1979) Phạm Đức Chính. Giải tích hàm, Tập I, II (Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp 1974, Nhà xuất bản giáo dục 1977-1978) Kohnnogovov A.H. Femine B.V. Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm (Bản dịch của Trần Phúc Cường, Võ Tiếp, Tập I, NXBGD, 1981, tập II NXBGD 1982) Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải- Bùi Đắc Tắc- Đỗ Đức Thái. Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập 1 và 2, NXBGD, 2001 5. Đỗ Đức Thái, Bài tập không gian tôpô- Độ đo- Tích phân. NXB Đại học Sư phạm-2003