Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề GV: Nguyễn Văn Hiến – THCS Đoμn Thị Điểm Mục lục Mục lục ....................................................................................................................................................1 Phần I: đại số..........................................................................................................................................2 Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức. .................................................................................................2 Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. ........................................................................2 Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. ......................................................................................................................2 Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán..................................................................................3 Chủ đề 2: Ph−ơng trình bậc hai và định lí Viét. ....................................................................................5 Dạng 1: Giải ph−ơng trình bậc hai. ........................................................................................................................5 Dạng 2: Chứng minh ph−ơng trình có nghiệm, vô nghiệm. .................................................................................5 Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph−ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph−ơng trình bậc hai cho tr−ớc. .............................................................................................................................................................6 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để ph−ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. ........................7 Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho tr−ớc..............8 Dạng 6: So sánh nghiệm của ph−ơng trình bậc hai với một số...........................................................................8 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph−ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số..............9 Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph−ơng trình bậc hai...............................................................9 Chủ đề 3: Hệ ph−ơng trình.......................................................................................................................11 Hệ hai ph−ơng trình bậc nhất hai ẩn: ...............................................................................11 Dạng 1: Giải hệ ph−ơng trình cơ bản và đ−a đ−ợc về dạng cơ bản .................................................................11 Dạng 2: Giải hệ bằng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ ..................................................................................................11 Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr−ớc..................................12 Một số hệ bậc hai đơn giản:....................................................................................................13 Dạng 1: Hệ đối xứng loại I.....................................................................................................................................13 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II ...................................................................................................................................13 Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng ph−ơng pháp thế hoặc cộng đại số...................................................................13 Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị. .....................................................................................................................14 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số.......................................................................................................................................14 Dạng 2: Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng...............................................................................................................14 Dạng 3: Vị trí t−ơng đối giữa đ−ờng thẳng và parabol ......................................................................................15 Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập ph−ơng trình, hệ ph−ơng trình. ........................................15 Dạng 1: Chuyển động (trên đ−ờng bộ, trên đ−ờng sông có tính đến dòng n−ớc chảy)..................................15 Dạng 2: Toán làm chung – làn riêng (toán vòi n−ớc) ........................................................................................16 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. ......................................................................................................16 Dạng 4: Toán có nội dung hình học. ....................................................................................................................16 Dạng 5: Toán về tìm số...........................................................................................................................................17 Chủ đề 6: Ph−ơng trình quy về ph−ơng trình bậc hai. ......................................................................17 Dạng 1: Ph−ơng trình có ẩn số ở mẫu..................................................................................................................17 Dạng 2: Ph−ơng trình chứa căn thức....................................................................................................................17 Dạng 3: Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. ...............................................................................................17 Dạng 4: Ph−ơng trình trùng ph−ơng.....................................................................................................................17 Dạng 5: Ph−ơng trình bậc cao. .............................................................................................................................18 Phần II: Hình học ................................................................................................................................19 Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình......................................................................19 Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ−ờng tròn. .......20 Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đ−ờng thẳng đồng quy....................................22 Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. ....................................................................................................23 Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học.................24 Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích. ............................................................24 Chủ đề 7: Toán quỹ tích............................................................................................................................25 Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian..............................................................26 Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 2 Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau). 3x16x 14) x2x 1 )7 x5 3x 3x 1 13) x7 3x 6) 65xx 1 12) 27x x3 5) 35x2x 11) 12x 4) 73xx 10) 147x 1 3) 2x 9) 2x5 2) 3x 8) 13x 1) 2 2 2 2 2 2 ++− − −+−− + +−+ − +−− +−− −− +− Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. Bài 1: Đ−a một thừa số vào trong dấu căn. 22 x 7 x e) ; x25 x 5)(x d) ; 5 2 x c) 0);x (với x 2 x b) ; 3 5 5 3 a) −−> Bài 2: Thực hiện phép tính. 333;3 33 3152631526 h) ;2142021420 g) 725725 f) ;10:)4503200550(15 c) 26112611 e) ;0,4)32)(10238( b) ;526526 d) ;877)714228( a) −−+−++ −−+−+ −−+−+− −+++⋅+− Bài 3: Thực hiện phép tính. 1027 1528625 c) 57 1:) 31 515 21 714 b) 6 1) 3 216 28 632( a) + −+− −− −+− −⋅−− − Bài 4: Thực hiện phép tính. 62126,5126,5 e) 77474 d) 25353 c) 535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 ) +−++ ++−−−−−+ −+++−−−+a Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 3 53 53 53 53 d) 65 625 65 625 c) 113 3 113 3 b) 1247 1 1247 1 a) + −+− + + −+− + +− − −+++ − +− Bài 6: Rút gọn biểu thức: 10099 1... 43 1 32 1 21 1c) 34710485354b) 4813526a) ++++++++ +−+++−+ Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: 4 3y6xy3x yx 2 e) )4a4a(15a 12a 1 d) ; 4a a42a8aa c) 1.a và 0a với, 1a aa 1 1a aa 1 b) b.a và 0b 0,a với, ba 1 : ab abba a) 22 22 24 ++⋅− +−⋅− − −+− ≠>⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ++ ≠>>− + Bài 8: Tính giá trị của biểu thức ( )( ) a.)y)(1x(1xybiết , x1yy1xE e) 1.x2x9x2x16biết , x2x9x2x16D d) 3;3yy3xxbiết , yxC c) ;1)54(1)54(x với812xxB b) 549 1 y; 25 1 x khi2y,y3xxA a) 2222 2222 22 333 2 =++++++= =+−−+−+−++−= =+++++= −−+=−+= +=−=+−= Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán. Bài 1: Cho biểu thức 21x 3xP −− −= a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ). c) Tính giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2: Xét biểu thức 1. a a2a 1aa aaA 2 ++−+− += a) Rút gọn A. b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A . c) Tìm a để A = 2. Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 4 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 3: Cho biểu thức x1 x 2x2 1 2x2 1C −++−−= a) Rút gọn biểu thức C. b) Tính giá trị của C với 9 4x = . c) Tính giá trị của x để .3 1C = Bài 4: Cho biểu thức 222222 baa b: ba a1 ba aM −−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−−= a) Rút gọn M. b) Tính giá trị M nếu . 2 3 b a = c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1. Bài 5: Xét biểu thức . 2 x)(1 1x2x 2x 1x 2xP 2−⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ +−− −= a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 0. c) Tìm giá trị lơn nhất của P. Bài 6: Xét biểu thức . x3 1x2 2x 3x 6x5x 9x2Q − +−− +−+− −= a) Rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q < 1. c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị t−ơng ứng của Q cũng là số nguyên. Bài 7: Xét biểu thức ( ) yx xyyx : yx yx yx yxH 233 + +− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −−− −= a) Rút gọn H. b) Chứng minh H ≥ 0. c) So sánh H với H . Bài 8: Xét biểu thức . 1aaaa a2 1a 1: 1a a1A ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1. c) Tính các giá trị của A nếu 200622007a −= . Bài 9: Xét biểu thức . x1 2x 2x 1x 2xx 39x3xM − −++ +−−+ −+= a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị t−ơng ứng của M cũng là số nguyên. Bài 10: Xét biểu thức . 3x 3x2 x1 2x3 3x2x 11x15P + +−− −+−+ −= a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x sao cho . 2 1P = Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 5 c) So sánh P với 3 2 . Chủ đề 2: Ph−ơng trình bậc hai vμ định lí Viét. Dạng 1: Giải ph−ơng trình bậc hai. Bài 1: Giải các ph−ơng trình 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ; 9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0. Bài 2: Giải các ph−ơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ; 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. Dạng 2: Chứng minh ph−ơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh rằng các ph−ơng trình sau luôn có nghiệm. 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Bài 2: a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì ph−ơng trình sau luôn có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì ph−ơng trình sau có hai nghiệm phân biết: x) (ẩn 0 cx 1 bx 1 ax 1 =−+−+− c) Chứng minh rằng ph−ơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. d) Chứng minh rằng ph−ơng trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các ph−ơng trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) b) Cho bốn ph−ơng trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) x2 - 4ax + b2 = 0 (3) x2 + 4bx + a2 = 0 (4) Chứng minh rằng trong các ph−ơng trình trên có ít nhất 2 ph−ơng trình có nghiệm. Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 6 c) Cho 3 ph−ơng trình (ẩn x sau): (3) 0 cb 1x ba ba2acx (2) 0 ba 1x ac ac2cbx (1) 0 ac 1x cb cb2bax 2 2 2 =+++ +− =+++ +− =+++ +− với a, b, c là các số d−ơng cho tr−ớc. Chứng minh rằng trong các ph−ơng trình trên có ít nhất một ph−ơng trình có nghiệm. Bài 4: a) Cho ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0. Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm. b) Chứng minh rằng ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đ−ợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph−ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph−ơng trình bậc hai cho tr−ớc. Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của ph−ơng trình: x 2 – 3x – 7 = 0. Tính: ( )( ) 4 2 4 1 3 2 3 1 1221 21 21 2 2 2 1 xxF ;xxE ;x3xx3xD ; 1x 1 1x 1C ;xxB ;xxA +=+= ++=−+−= −=+= Lập ph−ơng trình bậc hai có các nghiệm là 1x 1 và 1x 1 21 −− . Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của ph−ơng trình: 5x 2 – 3x – 1 = 0. Không giải ph−ơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau: . x4xx4x 3xx5x3xC ; x 1 x 1 1x x x x 1x x x xB ;x3x2xx3x2xA 2 2 1 2 21 2 221 2 1 2 211 2 1 2 2 1 2 1 2 21 3 22 2 1 3 1 + ++= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+++++= −+−= Bài 3: a) Gọi p và q là nghiệm của ph−ơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải ph−ơng trình hãy thành lập ph−ơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 1p q và 1q p −− . b) Lập ph−ơng trình bậc hai có 2 nghiệm là 2610 1 và 7210 1 +− . Bài 4: Cho ph−ơng trình x2 – 2(m -1)x – m = 0. Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 7 a) Chứng minh rằng ph−ơng trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m. b) Với m ≠ 0, lập ph−ơng trình ẩn y thoả mãn 1 22 2 11 x 1 xy và x 1 xy +=+= . Bài 5: Không giải ph−ơng trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: ( )( ) 2 2 1 1 21 1 2 2 1 1221 x 2x x 2xD ;xxC ; 1x x 1x xB ;2x3x2x3xA +++=−= −+−=−−= Bài 6: Cho ph−ơng trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải ph−ơng trình hãy thiết lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho ph−ơng trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ⎩⎨ ⎧ += += 1 2 2 2 2 2 1 1 22 11 x x y x x y b) 2xy 2xy a) Bài 8: Cho ph−ơng trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++ +=+ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +=+ +=+ 0.5x5xyy xxyy b) ; 3x3x y y y y x x x x yy a) 21 2 2 2 1 2 2 2 121 21 1 2 2 1 1 2 2 1 21 Bài 9: Cho ph−ơng trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập ph−ơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 21 2121 21 xxy 1 y 1 và x 1 x 1 yy +=++=+ Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để ph−ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Bài 1: a) Cho ph−ơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Cho ph−ơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm. a) Cho ph−ơng trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. - Tìm điều kiện của m để ph−ơng trình có nghiệm. - Tìm điều kiện của m để ph−ơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Cho ph−ơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 2: a) Cho ph−ơng trình: ( ) 06mm 1x x12m2 12xx 4x 2 224 2 =−−++ −−++ . Xác định m để ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm. Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 8 b) Cho ph−ơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm. Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph−ơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả m∙n điều kiện cho tr−ớc. Bài 1: Cho ph−ơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 1) Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2) Xác định m để ph−ơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. 3) Với điều kiện nào của m thì ph−ơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện nào của m thì ph−ơng trình có hai nghiệm cùng d−ơng (cùng âm). 5) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 6) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2. 7) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Định m để ph−ơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x1 2 + x2 2) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x1 2 + x2 2) = 5x1 2x2 2 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. Bài 3: Định m để ph−ơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ; x1 = x2 2 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ; x1 = x2 2 f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; x1 2 + x2 = 6. Bài 4: a) Cho ph−ơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. b) Ch− ph−ơng trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức )xx2(1xx 3x2xR 21 2 2 2 1 21 +++ += đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. c) Định m để hiệu hai nghiệm của ph−ơng trình sau đây bằng 2. mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bài 5: Cho ph−ơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ph−ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2. Bài 6: Cho ph−ơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ph−ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm của ph−ơng trình bậc hai với một số. Bài 1: a) Cho ph−ơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6. b) Cho ph−ơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1. Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 9 Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh rằng ph−ơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để ph−ơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 3: Cho ph−ơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Với giá trị nào của tham số a, ph−ơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép. b) Xác định a để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. Bài 4: Cho ph−ơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để ph−ơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để ph−ơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Bài 5: Tìm m để ph−ơng trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph−ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số. Bài 1: a) Cho ph−ơng trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph−ơng trình không phụ thuộc vào tham số m. b) Cho ph−ơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi ph−ơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. c) Cho ph−ơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1. Bài 2: Cho ph−ơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi ph−ơng trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Bài 3: Cho ph−ơng trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. a) Chứng minh rằng ph−ơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m. c) Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: 2 5 x x x x 1 2 2 1 −=+ . Bài 4: Cho ph−ơng trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. a) Giải và biện luận ph−ơng trình theo m. b) Khi ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m. - Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. Bài 5: Cho ph−ơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph−ơng trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị của tham số để ph−ơng trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của ph−ơng trình kia: Xét hai ph−ơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) a’x2 + b’x + c’ = 0 (2) trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m. Định m để sao cho ph−ơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của ph−ơng trình (1), ta có thể làm nh− sau: Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 10 i) Giả sử x0 là nghiệm của ph−ơng trình (1) thì kx0 là một nghiệm của ph−ơng trình (2), suy ra hệ ph−ơng trình: (*) 0c'kxb'xka' 0cbxax 0 2 0 2 0 2 0 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ Giải hệ ph−ơng trình trên bằng ph−ơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m. ii) Thay các giá trị m vừa tìm đ−ợc vào hai ph−ơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại. 2/ Định giá trị của tham số m để hai ph−ơng trình bậc hai t−ơng đ−ơng với nhau. Xét hai ph−ơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) Hai ph−ơng trình (3) và (4) t−ơng đ−ơng với nhau khi và chỉ khi hai ph−ơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng). Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai ph−ơng trình bậc hai t−ơng đ−ơng với nhau ta xét hai tr−ờng hợp sau: i) Tr−ờng hợp cả hai ph−ơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ <Δ <Δ 0 0 )4( )3( Giải hệ trên ta tịm đ−ợc giá trị của tham số. ii) Tr−ờng hợp cả hai ph−ơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ≥ ≥ (4)(3) (4)(3) (4) (3) PP SS 0Δ 0Δ Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ ph−ơng trình (*) có thể đ−a về hệ ph−ơng trình bậc nhất 2 ẩn nh− sau: ⎩⎨ ⎧ −=+ −=+ c'ya'xb' caybx Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh− sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m. - Tìm m thoả mãn y = x2. - Kiểm tra lại kết quả. - Bài 1: Tìm m để hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0. c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bài 3: Xét các ph−ơng trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai ph−ơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất. Bài 4: Cho hai ph−ơng trình: Ôn tập chuẩn bị thi vμo lớp 10 theo chủ đề NGUYỄN THÁI hOÀN 11 x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để ph−ơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của ph−ơng trình (1). Bài 5: Cho hai ph−ơng trình: x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0 a) Tìm các giá trị của a để cho hai ph−ơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung. b) Với những giá trị nào của a thì hai ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng. Bài 6: Cho hai ph−ơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để hai ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm chung. b) Định m để hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng. c) Xác địn