Ôn tập chương 1, môn Số học 6

A. PhÇn më ®Çu I/ LÝ do chän ®Ò tµi Cïng víi sù ph¸t triÓn cña ®Êt nước, sù nghiÖp gi¸o dôc còng kh«ng ngõng ®æi míi. C¸c nhµ trưêng ®· ngµy cµng chó träng h¬n ®Õn chÊt lîng gi¸o dôc toµn diÖn bªn c¹nh sù ®Çu t thÝch ®¸ng cho gi¸o dôc mòi nhän. Víi vai trß lµ m«n häc c«ng cô, bé m«n to¸n ®· gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em häc tèt c¸c bé m«n khoa häc tù nhiªn kh¸c. D¹y như thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng mµ ph¶i ®îc n©ng cao ®Ó c¸c em cã høng thó, say mª häc tËp lµ mét c©u hái mµ mçi thÇy c« chóng ta lu«n ®Æt ra cho m×nh. §Ó ®¸p øng được yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc vµ nhu cÇu häc tËp cña häc sinh ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸, giái. §iÒu ®ã ®ßi hái trong gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt ch¾t läc kiÕn thøc, ph¶i ®i tõ dÔ ®Õn khã, tõ cô thÓ ®Õn trõu tượng vµ ph¸t triÓn thµnh tæng qu¸t gióp häc sinh cã thÓ ph¸t triÓn tèt tư duy to¸n häc. Víi ®èi tưîng häc sinh kh¸, giái, c¸c em cã tư duy nh¹y bÐn, cã nhu cÇu hiÓu biÕt ngµy cµng cao, lµm thÕ nµo ®Ó c¸c häc sinh nµy ph¸t huy hÕt kh¶ n¨ng cña m×nh, ®ã lµ tr¸ch nhiÖm cña c¸c gi¸o viªn chóng ta. B¶n th©n t«i, trong 3 n¨m häc võa qua được nhµ trường ph©n c«ng d¹y to¸n líp 6. Qua gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy “phÐp chia hÕt" lµ ®Ò tµi lÝ thó, phong phó vµ ®a d¹ng cña sè häc líp 6 vµ kh«ng thÓ thiÕu khi båi dưìng häc sinh kh¸ giái m«n to¸n 6 còng như m«n to¸n THCS. Víi bµi viÕt nµy, t«i kh«ng tham väng lín bµn vÒ viÖc d¹y " phÐp chia hÕt" vµ øng dông cña nã trong chư¬ng tr×nh to¸n häc phæ th«ng, t«i chØ xin ®a ra mét sè kinh nghiÖm gióp häc sinh líp 6 gi¶i c¸c bµi tËp vÒ" phÐp chia hÕt" trong tËp hîp sè tù nhiªn mµ t«i ®· tõng ¸p dông thµnh c«ng. T«i hy väng nã sÏ cã Ých cho c¸c ®ång nghiÖp khi båi dìng häc sinh kh¸, giái II. NhiÖm vô cña ®Ò tµi Trong khu«n khæ ®Ò tµi nµy b¶n th©n t«i sÏ tr×nh bµy “Mét vµi kinh nghiÖm gióp häc sinh líp 6 gi¶i c¸c bµi tËp vÒ phÐp chia hÕt trong tËp hîp N” . Cô thÓ lµ : - C¸c phư¬ng ph¸p thưêng dïng khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ phÐp chia hÕt. - RÌn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ phÐp chia hÕt. - Cñng cè vµ híng dÉn häc sinh lµm bµi tËp. III. §èi tượng nghiªn cøu §Ò tµi nghiªn cøu qua c¸c tiÕt d¹y vÒ “PhÐp chia hÕt trong N” trong SGK To¸n 6 tËp 1, qua ®Þnh híng ®æi míi phư¬ng ph¸p d¹y to¸n 6. §èi tưîng kh¶o s¸t : Häc sinh líp 6 IV. Phư¬ng ph¸p nghiªn cøu Phư¬ng ph¸p nghiªn cøu tµi liÖu Phư¬ng ph¸p thùc hµnh §óc rót 1 phÇn kinh nghiÖn qua c¸c ®ång nghiÖp vµ b¶n th©n khi d¹y phÇn PhÐp chia hÕt. B.Nội dung I/ Trưíc hÕt häc sinh cÇn n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt trong SGK líp 6 tËp 1, c¸c dÊu hiÖu chia hÕt còng như c¸c tÝnh chÊt vÒ quan hÖ chia hÕt. §Þnh nghÜa Cho 2 sè tù nhiªn a vµ b, trong ®ã b kh¸c 0, nÕu cã sè tù nhiªn x sao cho b.x = a, th× ta nãi a chia hÕt cho b vµ ta cã phÐp chia hÕt a: b= x 2.C¸c dÊu hiÖu chia hÕt DÊu hiÖu chia hÕt cho 2 Mét sè chia hÕt cho 2 khi vµ chØ khi ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã lµ sè ch½n. DÊu hiÖu chia hÕt cho 3 (hoÆc 9) Mét sè chia hÕt cho 3 (hoÆc 9) khi vµ chØ khi tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã chia hÕt cho 3 (hoÆc 9). Chó ý: Mét sè chia cho 3 (hoÆc 9) d bao nhiªu th× tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã chia cho 3 (hoÆc 9) còng dư bÊy nhiªu vµ ngưîc l¹i DÊu hiÖu chia hÕt cho 5 Mét sè chia hÕt cho 5 khi vµ chØ khi ch÷ sè tËn cïng b»ng 0 hoÆc 5 DÊu hiÖu chia hÕt cho 4 (hoÆc 25) Mét sè chia hÕt cho 4 (hoÆc 25) khi vµ chØ khi 2 ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã chia hÕt cho 4 (hoÆc 25) e) DÊu hiÖu chia hÕt cho 8 (hoÆc 125) Mét sè chia hÕt cho 8 hoÆc 125 khi vµ chØ khi 3 ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã chia hÕt cho 8 hoÆc 125. DÊu hiÖu chi hÕt cho 11 Mét sè chi hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiÖu gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n (tõ tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11. 3. TÝnh chÊt cña 2 quan hÖ chia hÕt + 0 chia hÕt cho b víi b lµ sè tù nhiªn kh¸c 0 + a chia hÕt cho a víi mäi a lµ sè tù nhiªn kh¸c 0 + NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a th× a = b + NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c + NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mµ (b, c) = 1 th× a chia hÕt cho b.c + nÕu a chia hÕt cho m vµ a chia hÕt cho n th× a chia hÕt cho BCNN(m,n) + NÕu a.b chia hÕt cho c vµ (b,c) =1 th× a chia hÕt cho c + NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ sè tù nhiªn. + NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a±b) chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m, b kh«ng chia hÕt cho m th× (a±b) kh«ng chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho n th× a.b chia hÕt cho m.n + NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m lµ sè nguyªn tè th× a chia hÕt cho m hoÆc b chia hÕt cho m. + NÕu a chia hÕt cho m th× an chia hÕt cho m víi n lµ sè tù nhiªn + NÕu a chia hÕt cho b th× an chia hÕt cho bn víi n lµ sè tù nhiªn II/ Khi häc sinh ®· n¾m ch¾c c¸c vÊn ®Ò nªu trªn th× gi¸o viªn cã thÓ ®a ra mét vµi phư¬ng ph¸p thưêng dïng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n chia hÕt. Víi häc sinh líp 6 t«i thưêng sö dông 5 phư¬ng ph¸p sau: 1. phương ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt §Ó chøng minh a chia hÕt cho b ( b kh¸c 0), ta biÓu diÔn sè a díi d¹ng mét tÝch c¸c thõa sè, trong ®ã cã 1 thõa sè b»ng b (hoÆc chia hÕt cho b). a = b.k ( k N) hoÆc a =m.k ( m chia hÕt cho b) VÝ dô 1: Chøng tá r»ng sè cã d¹ng bao giê còng chia hÕt cho 7 Gi¶i : = a.111111 = a. 7.15873 chia hÕt cho 7 VÝ dô 2: Chøng tá r»ng sè cã d¹ng bao giê còng chia hÕt cho 11, chia hÕt cho 7 vµ chia hÕt cho 13. Gi¶i : Ta cã : = = .(1000+1) =.1001 = .11.7.13 nªn chia hÕt cho 11, chia hÕt cho 7 vµ chia hÕt cho 13. VÝ dô 3: Chøng minh r»ng, nÕu lÊy mét sè cã 2 ch÷ sè céng víi sè gåm 2 ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngưîc l¹i, ta lu«n ®ưîc mét sè chia hÕt cho 11 Gi¶i . Gäi 2 sè ®ã lµ vµ . Ta cã : + = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hÕt cho 11 2. Phư¬ng ph¸p 2 : Dïng c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt. 2.1. Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, mét hiÖu * §Ó chøng minh a chia hÕt cho b ( b 0) ta cã thÓ lµm nh sau: ViÕt a = m + n mµ m M b vµ nM b ViÕt a = m - n mµ m M b vµ nM b * §Ó chøng minh a kh«ng chia hÕt cho b ta viÕt a díi d¹ng tæng cña c¸c sè mµ chØ cã mét sè h¹ng cña tæng kh«ng chia hÕt cho b, cßn c¸c sè h¹ng kh¸c ®Òu chia hÕt cho b. VÝ dô 4: Chøng tá r»ng : Tæng cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè chia hÕt cho 3 Tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 4. Gi¶i. Gäi 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1 , n + 2. Tæng cña 3 sè ®ã lµ : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) M 3 b) Gäi 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ : n , n+1, n+2, n+3. Tæng cña 4 sè ®ã lµ : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2 kh«ng chia hÕt cho 4 VËy tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 4. Gi¸o viªn chèt l¹i: Tæng cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp cha ch¾c ®· chia hÕt cho n. 2.2 Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña 1 tÝch. §Ó chøng minh a chia hÕt cho b (b ¹ 0) ta cã thÓ chøng minh b»ng mét trong c¸c c¸ch sau: + Ta chøng minh (a.m) chia hÕt cho b; (m, b) = 1 Þ a chia hÕt cho b + BiÓu diÔn b = m.n víi (m,n)= 1, sau ®ã chøng minh a chia hÕt cho m, a chia hÕt cho n + BiÓu diÔn a= a1 . a2,, b = b1.b2, råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1; a2 chia hÕt cho b2 VÝ dô 5: chøng minh (1980a + 1995b) chia hÕt cho 15 víi " a, b lµ sè tù nhiªn. Gi¶i: V× 1980 chia hÕt cho 3 nªn 1980.a chia hÕt cho 3 víi " a. V× 1995 chia hÕt cho 3 nªn 1995.b chia hÕt cho 3 víi " b Nªn (1980a + 1995b) chia hÕt cho 3. Chøng minh t¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hÕt cho 5 víi " a, b mµ (3,5) = 1. Þ (1980 a + 1995b) chia hÕt cho 15 VÝ dô 6: chøng minh r»ng tÝch cña 2 sè ch½n liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 8. Gi¶i: Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ 2n, 2n +2 ( n N) TÝch cña 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) V× n vµ n + 1 lµ 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn n.(n+ 1) chia hÕt cho 2 Mµ 4 chia hÕt cho 4 nªn 4.n.(n+1) chia hÕt cho (4.2) Þ 4.n.(n+1) chia hÕt cho 8 Þ 2n.(2n + 2) chia hÕt cho 8 * Gi¸o viªn nhËn xÐt : Như vËy khi gÆp nh÷ng bµi to¸n chøng minh mét tæng, mét hiÖu hoÆc mét tÝch chia hÕt cho mét sè mµ c¸c tæng, hiÖu, tÝch ®ã cã thÓ ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch c¸c thõa sè, ta thêng sö dông c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt. 3. Phư¬ng ph¸p 3: Dïng ®Þnh lÝ vÒ chia cã dư ®Ó chøng minh n chia hÕt cho p ta xÐt mäi trưêng hîp vÒ sè d khi chia n cho p: Ta viÕt n = p.k + r, trong ®ã r = 0, 1, ..., p-1; k N. Råi xÐt tÊt c¶ c¸c trưêng hîp cña r. VÝ dô 7: Chøng tá r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× tÝch (n + 3).(n +6) chia hÕt cho 2. Gi¶i: Víi mäi n ta cã thÓ viÕt hoÆc n = 2k + 1 hoÆc n= 2k - Víi n= 2k +1 ta cã: (n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia hÕt cho 2. - Víi n= 2k ta cã : ( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hÕt cho 2. VËy víi mäi n N th× (n+3)(n+6) chia hÕt cho 2. VÝ dô 8: chøng minh r»ng: a) TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3 b) TÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 4. Gi¶i: a) Gäi 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n+1, n+2 TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ : n.(n+1).(n+2) Mäi sè tù nhiªn khi chia cho 3 cã thÓ nhËn mét trong c¸c sè d 0;1;2 - NÕu r = 0 th× n chia hÕt cho 3 Þ n.(n + 1).(n+ 2) chia hÕt cho 3 - NÕt r = 1 th× n = 3 k + 1 (k lµ sè tù nhiªn) Þ n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hÕt cho 3 Þn. (n+1).(n+2) chia hÕt cho 3 - NÕu r = 2 th× n = 3k+ 2 (k lµ sè tù nhiªn) Þ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hÕt cho 3 Þn.(n+1) . (n+2) chia hÕt cho 3 Tãm l¹i, n.(n+1).(n+2) chia hÕt cho 3 víi mäi n lµ sè tù nhiªn. b) Chøng minh tư¬ng tù ta cã: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hÕt cho 4 víi mäi n lµ sè tù nhiªn. Sau khi gi¶i bµi tËp tËp nµy, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nªu bµi tËp nµy ë d¹ng tæng qu¸t. Gi¸o viªn kh¾c s©u cho häc sinh: TÝch cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho n. Gi¸o viªn nhËn xÐt: Ph­¬ng ph¸p nµy th­êng ®­îc sö dông khi chøng minh mét biÓu thøc cã chøa biÕn chia hÕt cho c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè. Khi chøng minh mét biÓu thøc chia hÕt cho c¸c sè tù nhiªn lín h¬n 10 ta kh«ng sö dông ph­¬ng ph¸p nµy v× ph¶i xÐt nhiÒu tr­êng hîp. 4. Ph­¬ng ph¸p 4: Dïng c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cã liªn quan ®Õn ch÷ sè tËn cïng. VÝ dô 9: Chøng minh r»ng (9999931999 – 5555571997) chia hÕt cho 10. Gi¶i Ta cã : 9999931999 = [ (9999934)499. 9999933] = . = 5555571997= (5555574)499.555557 = . = 9999931999 – 5555571997 = chia hÕt cho 10 ( ®pcm) VÝ dô 10: Chøng minh r»ng : 1028 + 8 chia hÕt cho 72 Gi¶i: 27 ch÷ sè 0 28 ch÷ sè 0 Ta cã 1028 + 8 = ( 100...0 + 8) = 100. . .08 cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 9 nªn chia hÕt cho 9. 27 ch÷ sè 0 1028 + 8 = = 100. . .08 cã tËn cïng b»ng 008 nªn chia hÕt cho 8. V× ( 8,9) =1 nªn 1028+ 8 M (8.9) hay 1028+ 8 M 72. *Gi¸o viªn nhËn xÐt: Phư¬ng ph¸p nµy thêng sö dông ®Ó chøng minh c¸c bµi to¸n mµ sè chia lµ c¸c sè trßn chôc ( 10, 100, ...) hay c¸c sè chia mµ dÊu hiÖu chia hÕt cã liªn quan ®Õn ch÷ sè tËn cïng ( vÝ dô : 5, 4, 8, 25, 125), hoÆc sè chia cã thÓ ph©n tÝch thµnh tÝch c¸c sè cã d¹ng nh trªn. 5. Phư¬ng ph¸p 5: Sö dông nguyªn t¾c §irichlet. Néi dung cña nguyªn t¾c §irichlet: “NÕu cã n+1 con thá, xÕp vµo n chuång, th× Ýt nhÊt 1 chuång chøa tõ 2 con thá trë lªn. VÝ dô11: Chøng minh r»ng trong 6 sè tù nhiªn bÊt k× lu«n t×m ®îc 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho 5. Gi¶i: Mét sè khi chia cho 5 cã thÓ nhËn mét trong c¸c sè d lµ : 0; 1; 2; 3; 4. Trong 6 sè tù nhiªn bÊt k× khi chia cho 5 lu«n tån t¹i Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè d ( nguyªn t¾c §irichlet). HiÖu cña 2 sè chia hÕt cho 5. III/ Khi häc sinh ®· n¾m v÷ng c¸c phư¬ng ph¸p thưêng dïng ®Ó Chøng minh chia hÕt, gi¸o viªn cã thÓ giao mét sè bµi to¸n vÒ chia hÕt nh»m gióp häc sinh n¾m mét c¸ch cã hÖ thèng, ®ưîc ®µo s©u c¸c kiÕn thøc vÒ phÐp chia hÕt Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè x,y ®Ó sè chia hÕt cho 36. T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ó chia hÕt cho 3, 4 ,5 . Gi¶i V× (4;9) = 1 nªn chia hÕt cho 36 Û chia hÕt cho 9 vµ chia hÕt cho 4. Ta cã: chia hÕt cho 4 Û 5y chia hÕt cho 4 Û yÎ{ 2;6}. chia hÕt cho 9 Û ( 3+4+x+5+y) chia hÕt cho 9 Û (12+x+y) chia hÕt cho 9 V× x,y lµ c¸c ch÷ sè nªn x+y Î { 6;15}. NÕu y = 2 th× x = 4 hoÆc x = 13 >9 (lo¹i) NÕu y = 6 th× x = 0 hoÆc x = 9 VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 34452; 34056;34956 b) Ta cã : M 5 ó y {0;5}. NÕu y = 5 th× kh«ng chia hÕt cho 4 NÕu y = 0 th× chia hÕt cho 4 ó M 4 Þ x {0; 2; 4 ; 6 ; 8}. (1) M 3 ó (2 + 1 + x + 0) M 3 ó (3+ x)M 3 Þ x {0; 3; 6; 9}. ( 2) KÕt hîp (1) vµ ( 2) Þ x {0; 6}. VËy c¸c sè cÇn t×m lµ: 2100 ; 2160 Bµi 2: Cho c¸c ch÷ sè 0, a, b. H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè t¹o bëi 3 sè trªn. Chøng minh r»ng tæng tÊt c¶ c¸c sè ®ã chia hÕt 211 Gi¶i: tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè t¹o bëi 3 ch÷ sè 0, a, b lµ: Tæng cña c¸c sè ®ã lµ: = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia hÕt cho 211. Bµi 3: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +260. Chøng minh r»ng : AM3; AM7; A M15 b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 31991. Chøng minh r»ng : B chia hÕt cho 13 vµ B chia hÕt cho 41. Gi¶i: *A = 2 +22 +23 + ... +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + ...+ (259 + 260) = = 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + ... + 259 (1+2) = 2.3+ 23. 3 +.... +259. 3 = = 3.(2+ 23 + ... + 259) chia hÕt cho 3 *A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + ... + (258 + 259 + 260) = 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) +... + 258( 1+ 2+4) = 2.7 +24.7+ ... + 258.7 = 7( 2+24 +... + 258) chia hÕt cho 7 *A= (2+ 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260) = 2(1+2+4+8) +... + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + ... + 257) chia hÕt cho 15. VËy A chia hÕt cho 3, A chia hÕt cho 7 vµ A chia hÕt cho 15. b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991 = ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + ... + ( 31987+ 31989 + 31991) = 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + ... + 31987(1+ 32+34) = 3. 91 + 37.91 + ... + 31987.91 = 91( 3 + 37 + ... + 31987) M 13 ( v× 91 M 13) B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 31985 + 31987 + 31989+ 31991) = 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 31985(1 + 32 + 34 + 36) = 3. 820 + 39 .820 + ... + 31985.820 = 820( 3 + 39 + ... + 31985) M 41 ( v× 820 M 41) Bµi 4 : Cho a - b chia hÕt cho 6. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau chia hÕt cho 6. a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b. Gi¶i: Ta cã : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b M 6 ( v× (a - b) M 6 vµ 6b M 6) a + 17 b = ( a- b) + 18b M 6 [ v× (a- b) M 6 vµ 18bM6] a - 13b = ( a - b) - 12b M 6 [ v× ( a - b ) M 6 vµ 12b M 6] Bµi 5: Chøng minh r»ng: (92n + 199493) chia hÕt cho 5, Gi¶i: Ta cã: 92n = (92)n = 81n = 199493 = (19942)46. 1994 =46. 1994 = .1994 = Do ®ã: 92n + 199493 = + = chia hÕt cho 5 Bµi 6: T×m sè tù nhiªn n ®Ó (3n+10) chia hÕt cho (n+2) Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mµ 3.(n+2) chia hÕt cho (n+2) Do ®ã (3n+10) chia hÕt cho (n+2) 4 chia hÕt cho (n+2) Û (n+2) lµ íc cña 4. Û (n+2) { 1; 2;4} Þ n { 0;2} VËy víi n {0;2 } th× (3n+10) chia hÕt cho (n+2) C¸ch 2: (3n+10) chia hÕt cho (n+2) Mµ (n+2) chia hÕt cho (n+2) => 3(n+2) chia hÕt cho (n+2) => [ (3n +10) - (3n +6)] chia hÕt cho (n+2) => 4 chia hÕt cho (n+2) ®Õn ®©y gi¶i tiÕp nh ë c¸ch 1. Bµi 7: T×m sè tù nhiªn n ®Ó lµ sè tù nhiªn Gi¶i ®Ó lµ sè tù nhiªn th× (n+15) chia hÕt cho n+3 => [( n+15) - (n+3)] chia hÕt cho (n+3) ó 12 chia hÕt cho (n+3) ó (n+3) lµ U(12) = {1;2;3;4;6;12} ó n {0;1;3;9} VËy víi n {0;1;3;9} th× lµ sè tù nhiªn Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× ( 3n +1, 4n + 1) = 1 Gi¶i : Gäi d lµ ¦C( 3n+ 1 , 4n + 1) Þ 3n + 1 M d Þ 4.( 3n + 1) M d 4n + 1 M d 3. ( 4n+1) M d Þ ( 12n + 4 - 12n - 3 ) M d Þ 1 M d Þ d = 1 Þ ( 3n + 1, 4n + 1) = 1 Bµi 9: Trong 45 häc sinh lµm bµi kiÓm tra, kh«ng cã ai bÞ ®iÓm díi 2, chØ cã 2 häc sinh ®îc ®iÓm 10. Chøng minh r»ng Ýt nhÊt còng t×m ®îc 6 häc sinh cã ®iÓm kiÓm tra b»ng nhau. Gi¶i : Cã 45 -2 = 43 häc sinh ®ưîc ph©n chia vµ 8 lo¹i ®iÓm ( tõ 2 ®Õn 9). Gi¶ sö mçi ®iÓm trong 8 lo¹i lµ ®iÓm kh«ng cã qu¸ 5 häc sinh, th× líp häc kh«ng cã qu¸ 8.5 = 40 häc sinh ( Ýt h¬n 43 häc sinh) VËy tån t¹i Ýt nhÊt cã 6 häc sinh cã ®iÓm kiÓm tra b»ng nhau. Bµi 10: Chøng minh r»ng nÕu M 37 th× M 37 vµ M 37 Gi¶i: V× M 37 nªn ( 100a + 10b + c) M 37 Þ 10.( 100a + 10b + c) M 37 Þ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a] M 37 ( v× 999M37) Þ ( 100b + 10c + a ) M 37 Þ M 37 MÆt kh¸c : ++ = 100a + 10b+ c + 100c + 10a + b + 100b + 10c + a = 37.3. ( a + b + c) M 37 Mµ + M 37 Þ M 37 *NhËn xÐt: Qua bµi nµy ta rót ra ®îc tæng 3 sè d¹ng ++M 37 Bµi 11: Chøng minh r»ng nÕu ( 6x + 11y ) chia hÕt cho 31 th× ( x + 7y) chia hÕt cho 31 víi mäi sè tù nhiªn x, y. Gi¶i : V× ( 6x + 11y) M 31 nªn ( 6x + 11y + 31y ) M 31 Þ ( 6x + 42 y) M 31 Þ 6 ( x + 7y ) M 31 mµ ( 6, 31 ) = 1 Þ ( x + 7y ) M 31 ( ®pcm). Bµi 12: Mét sè khi chia cho 6 d 4, khi chia cho 7 d 6, chia cho 11 d 3. T×m d cho phÐp chia sè ®ã cho 642. Gi¶i : Gäi sè ®ã lµ a. Theo bµi ra, ta cã a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p lµ c¸c thư¬ng vµ lµ c¸c sè tù nhiªn). Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2) M 6 a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2) M 7 a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1) M 11 suy ra ( a + 8) lµ BC (6,7,11), mµ BCNN(6,7,11) = 462 Þ ( a + 8) M 462 Þ ( a + 8 ) = 462.m ( mN) Þ a = 462.m - 8 = 462.(m - 1) + 454 Þ a = 462.n + 454 ( nN) VËy a chia cho 462 d 454. Bµi 13: Ph¶i viÕt thªm vµo bªn ph¶i sè 579 ba ch÷ sè nµo ®Ó ®ưîc sè chia hÕt cho c¸c sè 5, 7 ,9 ? Ph¶i viÕt thªm vµo bªn ph¶i sè 523 ba ch÷ sè nµo ®Ó ®îc sè chia hÕt cho c¸c sè 6, 7, 8, 9? Gi¶i: a) Gi¶ sö sè viÕt thªm lµ . Ta cã chia hÕt cho 5, 7 ,9 suy ra chia hÕt cho 5. 7. 9 = 315. ( v× 3, 5, 7 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau) MÆt kh¸c = 579000 + = ( 315.1838 + 30 + ) M 315 Mµ 315.1838M 315 suy ra ( 30 + ) M 315 Do 30 30 + 30 + 999 = 1029 nªn ( 30 + ) { 315; 630; 945} suy ra { 285; 600; 915} VËy 3 sè cã thÓ viÕt thªm lµ 285; 600; 915. b) Gäi sè ph¶i viÕt thªm lµ . Ta cã : chia hÕt cho 6, 7, 8, 9 nªn chia hÕt cho BCNN(6,7,8,9) = 504. MÆt kh¸c = 523000 + = 504.1037 + 352 + . V× 504. 1037 M 504 nªn ( 352 + ) M 504 ó = k.504 - 352 víi k N Þ k { 1; 2 } ó { 152 ; 656} VËy 2 sè cã thÓ viÕt thªm lµ 152 vµ 656. Bµi 14: Mét b¹n viÕt c¸c sè tõ 1 ®Õn . B¹n ®ã ph¶i viÕt tÊt c¶ m ch÷ sè. BiÕt r»ng m chia hÕt cho , t×m . Gi¶i: Tõ 1 ®Õn , b¹n ®ã ph¶i viÕt sè ch÷ sè lµ : M = 1.9 + 2.90 + 3. (- 99) = 3. - 108 Theo bµi ra m M ó ( 3. -108) M ó 108M ó = 108 VËy b¹n ®ã ®· viÕt c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 108. n ch÷ sè Bµi 15: Chøng minh r»ng: 2n + 11 ... 1 chia hÕt cho 3. Gi¶i: n ch÷ sè n ch÷ sè * C¸ch 1: Ta cã : 2n + 11 ... 1 = 3n + ( 11 ... 1 - n) n ch÷ sè v× mét sè chia cho 3 d bao nhiªu th× tæng c¸c ch÷ sè cña sè Êy chia cho 3 còng d bÊy nhiªu nªn 11... 1 vµ n cã cïng sè dư khi chia cho 3 n ch÷ sè Þ 11...1 - n chia hÕt cho 3 n ch÷ sè n ch÷ sè VËy 3n + (11 ... 1 - n ) M 3 hay 2n + 11 ... 1 M 3 * C¸ch 2: víi mäi n N ta cã hoÆc n = 3k hoÆc n = 3k + 1 hoÆc n = 3k +2 ( kN) 3k ch÷ sè n ch÷ sè nÕu n = 3k Þ 2n + 11...1 = 2.3k + 11...1 M 3 3k ch÷ sè 1 n ch÷ sè 3k+1 ch÷ sè NÕu n = 3k + 1 Þ 2n + 11 ... 1 = 2( 3k+1) + 11 ...1 = 6k + 11...13 chia hÕt cho 3. 3k+2 ch÷ sè n ch÷ sè NÕu n = 3k+ 2 Þ 2n + 11 ...1 = 2( 3k+2) + 11 ... 1 3k +1 ch÷ sè 1 = 6k + 3 + 11...12 chia hÕt cho 3 3k +1 ch÷ sè 1 ( v× sè 11...12 cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 3k + 3 chia hÕt cho 3) * Trªn ®©y lµ mét sè vÝ dô vµ mét sè d¹ng bµi tËp vÒ "phÐp chia hÕt". C¸c bµi to¸n vÒ "phÐp chia hÕt" thËt ®a d¹ng vµ phong phó. nÕu như chóng ta chØ hưíng dÉn häc sinh gi¶i nh÷ng bµi tËp ë møc ®é trung b×nh th× c¸c em khong thÓ thÊy ®ưîc "c¸i hay" cña d¹ng to¸n nµy, ®ång thêi cã khi c¸c em cßn cã c¶m gi¸c lµ khã vµ phøc t¹p. Qua c¸c bµi tËp trªn ta thÊy, mÆc dï mçi d¹ng bµi tËp sö dông phư¬ng ph¸p biÕn ®æi ban ®Çu kh¸c nhau, nhưng cuèi cïng ®Òu quy vÒ ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt. ChÝnh v× vËy, viÖc n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa vÒ phÐp chia hÕt, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c dÊu hiÖu chia hÕt lµ vÊn ®Ò then chèt gióp häc sinh cã thÓ ®Þnh híng ®îc c¸ch gi¶i bµi tËp gióp häc sinh cã t duy s¸ng t¹o vµ sù linh ho¹t khi gi¶i to¸n. Khi ®· lµm ®ưîc nh vËy th× viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ phÐp chia hÕt ®· trë thµnh niÒm say mª, thÝch thó cña häc sinh. .IV. Mét sè kÕt qu¶ ban ®Çu 1. KÕt qu¶ víi nh÷ng kinh nghiÖm võa tr×nh bµy ë trªn, sau 3 n¨m d¹y to¸n 6, b¶n th©n t«i nhËn thÊy: Khi d¹y phÇn chia hÕt trong tËp hîp sè tù nhiªn, häc sinh tiÕp nhËn kiÕn thøc mét c¸ch tho¶i m¸i, chñ ®éng, râ rµng. Häc sinh ph©n biÖt vµ nhËn d¹ng ®ưîc c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn phÐp chia hÕt vµ tõ ®ã cã thÓ gi¶i ®ưîc hÇu hÕt c¸c bµi tËp phÇn nµy, xãa ®i c¶m gi¸c khã vµ phøc t¹p ban ®Çu lµ kh«ng cã quy t¾c tæng qu¸t. Qua ®ã, rÌn luyÖn cho häc sinh trÝ th«ng minh, s¸ng t¹o, c¸c phÈm chÊt trÝ tuÖ kh¸c vµ häc sinh còng thÊy ®îc d¹ng to¸n nµy thËt phong phó chø kh«ng ®¬n ®iÖu. §iÒu ®ã gióp cho häc sinh høng thó h¬n khi häc bé m«n to¸n. * KÕt qu¶ cô thÓ: Víi nh÷ng bµi tËp gi¸o viªn ®a ra, häc sinh gi¶i ®îc mét c¸ch ®éc lËp vµ tù gi¸c, ®îc thèng kª theo b¶ng sau: N¨m häc ¸p dông ®Ò tµi Tæng sè HS líp 6 Sè HS gi¶i ®îc theo c¸c møc ®é Tõ 0 -20% BT Tõ 20-50% BT Tõ 50-80% BT Trªn 80% BT SL % SL % SL % SL % 2009 –2010 Cha ¸p dông 36 7 19 15 42 10 28 4 11 2010 – 2011 §· ¸p dông 49 7 14 15 31 15 31 12 24 2011 – 2012 §· ¸p dông 45 5 11 14 31 13 29 13 29 2. Bµi häc kinh nghiÖm. PhÇn " PhÐp chia hÕt cho tËp hîp sè tù nhiªn" ë líp 6 lµ mét néi dung quan träng bëi kiÕn thøc nµy cã liªn quan chÆt chÏ, nã lµ tiÒn ®Ò cho häc sinh häc tèt c¸c kiÕn thøc vÒ sau vµ ®Æc biÖt nã cã øng dông rÊt nhiÒu. Do vËy, trưíc hÕt chóng ta cÇn cho häc sinh n¾m thËt v÷ng ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt, c¸c dÊu hiÖu chia hÕt vµ ®Æc biÖt lµ c¸c tÝnh chÊt cña quan hÖ chia hÕt bëi v× c¸c tÝnh chÊt nµy rÊt hay sö dông. §Ó häc sinh n¾m v÷ng vµ høng thó häc tËp, chóng ta cÇn liªn hÖ nh÷ng kiÕn thøc ®· biÕt ®Ó x©y dùng kiÕn thøc míi, chän läc hÖ thèng bµi tËp theo møc ®é t¨ng dÇn tõ dÔ ®Õn khã. Khi häc ph¶i cho häc sinh nhËn d¹ng sau ®ã míi b¾t tay vµo gi¶i theo nhiÒu c¸ch ( nÕu cã thÓ) chø kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i gi¶i nhiÒu bµi tËp. CÇn rÌn luyÖn nhiÒu c¸ch suy luËn ®Ó t×m hưíng gi¶i vµ c¸ch lËp luËn tr×nh bµy cña häc sinh v× ®©y lµ häc sinh ®Çu cÊp. Víi mçi d¹ng tuy kh«ng cã quy t¾c tæng qu¸t, song sau khi gi¶i gi¸o viªn nªn chØ ra mét ®Æc ®iÓm , mét hưíng gi¶i quyÕt nµo ®ã ®Ó khi gÆp bµi tư¬ng tù häc sinh cã thÓ liªn hÖ ®ưîc. c . KÕt luËn Cã thÓ nãi víi c¸ch lµm trªn ®©y, t«i ®· chuÈn bÞ t¹o t×nh huèng dÉn d¾t häc sinh häc tËp b»ng c¸ch tù häc lµ chÝnh. Th«ng qua ®ã ph¸t huy tÝnh tÝch cùc chñ ®éng cña häc sinh. Tuy nhiªn ®Ó lµm ®îc ®iÒu ®ã ph¶i tèn kh«ng Ýt thêi gian cho viÖc chuÈn bÞ néi dung vµ phư¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cña m×nh. Nhưng theo t«i mét trong nh÷ng phư¬ng ph¸p gióp chÊt lưîng häc tËp cña häc sinh ngµy mét n©ng cao lµ ph¶i lµm như vËy. Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm nhá cña b¶n th©n t«i tù rót ra khi d¹y phÇn " PhÐp chia hÕt trong tËp hîp N " ë líp 6. Ch¾c ch¾n nã cha ®îc hoµn chØnh vµ cã chç kiÕm khuyÕt. Trong khi vÊn ®Ò båi dưìng häc sinh giái to¸n ®èi víi gi¸o viªn THCS cßn nhiÒu bøc xóc th× b¶n th©n t«i muèn ®ãng gãp mét kinh nghiÖm nhá cña m×nh. Qua ®©y, t«i rÊt mong sù gãp ý ch©n thµnh cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó n¨m häc tíi ®îưc tèt h¬n, ®¸p øng yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc nưíc nhµ. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Contents