Ôn tập Chuyên đề lượng giác

PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hai cung đối nhau: -x và x 2. Hai cung bù nhau: và x 3. Hai cung phụ nhau: và x 4. Hai cung hơn kém nhau Pi: và x 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 6. Cơng thức cộng lượng giác 7. Cơng thức nhân đơi 8. Cơng thức nhân ba: 9. Cơng thức hạ bậc: 10. Cơng thức biến đổi tích thành tổng 11 . Cơng thức biến đổi tổng thành tích A. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Cho Cho 5cosa + 4 = 0 .Tính sina , tana, cota. Cho Tính biết Tính biết tanx = -2 Tính biết cotx = -3 Chứng minh: (sử dụng như 1 cơng thức) Chứng minh các đẳng thức sau: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết 1 HSLG khác: Cho sinx = - 0,96 với a/ Tính cosx ; b/ Tính Tính: Đơn giản biểu thức: Đơn giản biểu thức: Đơn giản biểu thức: Chứng minh: Cho tam giác ABC.Chứng minh: III/. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Tính giá trị các HSLG của các cung sau: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: Tính biết Cho 2 gĩc nhọn cĩ . a/ Tính b/ Tính Cho 2 gĩc nhọn x và y thoả : a/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. Tính biết và Tính theo . Áp dụng: Tính tg15o Tính: Tính: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: Chứng minh: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: ( học thuộc kết quả ) Cơng thức biến đổi: Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích Hệ thức lượng trong tam giác Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Chứng minh vuơng nếu: Chứng minh cân nếu: Chứng minh đều nếu: Chứng minh cân hoặc vuơng nếu: Hãy nhận dạng biết: B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) cĩ nghĩa khi B (A cĩ nghĩa) ; cĩ nghĩa khi A 2) 3) 4) 5) Hàm số y = tanx xác định khi Hàm số y = cotx xác định khi Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 3) y = sin 4) y = cos 5) y = 6) y = 7) y = 8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x - 10) y = II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Cĩ 3 khả năng Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = tan2x 5) y = sin + x2 6) y = cos III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên 2) y = cosx trên khoảng 3) y = cotx trên khoảng 4) y = cosx trên đoạn 5) y = tanx trên đoạn 6) y = sin2x trên đoạn 7) y = tan3x trên khoảng 8) y =sin(x + ) trên đoạn Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn 2) y = -2cos trên đoạn IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x-) + 3 2) y = 3 – cos2x 3) y = -1 - 4) y = - 2 5) y = 6) y = 5cos 7) y = 8) y = Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn 2) y = cosx trên đoạn 3) y = sinx trên đoạn 4) y = cosx trên đoạn C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v Û ( k Ỵ Z ) cos u = cos v Û u = ± v + k2p. ( k Ỵ Z ) tanu = tanv Û u = v + kp ( k Ỵ Z ) cotu = cotv Û u = v + kp ( k Ỵ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 Û x = kp , sinx = 1 Û x = + k2p ,sinx = -1 Û x = - + k2p cosx = 0 Û x = + k p , cosx = 1 Û x = k2p , cosx = -1 Û x = p + k2p . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 ¹ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c Û = c với asinx +bcosx = c Û = c với . Cách 2 : Xét phương trình với x = p + kp , k Ỵ Z Với x ¹ p + kp đặt t = tan ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm Û a2 + b2 - c2 ³ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. , 2. 3. , 4. 5. , 6. 7. 8. 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 10. 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 . Cách 1 : Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . Xét chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , sinxcosx = sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = + kp ,kỴZ. Bài tập : 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 6/ Phương trình dạng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Đặt t = cosx + sinx , điều kiện khi đó sinxcosx = Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện khi đó sinxcosx = Bài tập : Giải các phương trình sau : 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ ĐS : x = k3p , x= ± +k3p , x = ± +k3p 3/ 1+ sinsinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ĐS: sinx =1 v sin = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - + k p 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ĐS : x = k2p , x = ± +k2p 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ĐS : x = kp v x = + kp 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = + kp 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= + 5/ sin3(x - ) = sinx ĐS : x = +kp 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = ± + kp v x= + 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). IV .PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ 11/ sin2tan2x – cos2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x) 15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan) 20/ cotx – 1 = 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =