Ôn tập Giải tích 12 – Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

CHƯƠNG 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ CẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §1: QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f/(x) > 0 x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I b) Nếu f/(x) < 0 x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I c) Nếu f/(x) = 0 x I thì hàm số f lấy giá trị không đổi trên khoảng I Ví du 1ï: Chứng minh rằng hàm số : f(x) = x3 – 6x2 + 5 nghịch biến trên đoạn [ 0 ; 4 ] f(x) = - x3 + 3x + 10 Ví du 2: Xét chiều biến thiên của hàm số : y = x + c) y = x3 – 2x2 + x – 3 y = x3 –x2 + 2x – 3 d) y = 2x5 + 5x4 + x3 – Bài tập tự luận: Bài 1: Chứng minh rằng : Hàm số y = x3 + x – 11 đồng biến trên R Hàm số y = sin2x – 3 x + 11 nghịch biến trên R Hàm số y = nghịch biến trên khoảng ( 1 ; + ) Hàm số y = 3x3 – 6x2 + 4x – 5 đồng biến trên R Hàm số y = đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó Hàm số y = nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó Hàm số y = x5 – x4 + x3 – 7 đồng biến trên R Hàm số y = x3 + x – cosx – 4 đồng biến trên R Hàm số y = x + sinx cosx - 10 đồng biến trên R Hàm số y = x – sinx đồng biến trên nữa khoảng [ 0 ; + ) Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số : a) y = x2 + 3x + 2 b) y = x3 – 2x2 + x + 1 c) y = x + d) y = x - e) y = x4 – 2x2 – 5 f) y = x4 + x3 – 11 g) y = 3x3 – 3x2 + x – 12 h) y = x4 –x3 + 2x2 – x + 3 k) y = m) y = n) y = 2x – i) y = Bài tập trắc nghiệm: §2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số f có tập xác định D và x0 D x0 là điểm cực trị của hàm số f f/(x0) = 0 * Xác định điểm cực đại và cực tiểu của hàm số . Cách 1: Nếu f//(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại Nếu f//(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu Cách 2: Lập bảng biến thiên , dựa vào bảng biến thiên để kết luận . Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số : a) f(x) = x3 – x2 – 3x + b) f(x) = x + - 5 c) f(x) = x4 – 2x2 + 1 d) f(x) = x Bài tập tự luận: Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số : a) f(x) = x2 – 3x + 5 b) f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 1 c) f(x) = x3 – x2 + 2x – 10 d) f(x) = x + e) f(x) = x5 –x3 f) f(x) = g) f(x) = h) f(x) = Bài 2: Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; f(0)= 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1 ; f(1) = 1 Bài 3: Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = - 2 và đồ thị của hàm số đi qua điêm A( 1 ; 0 ) . §3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực D. a) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho f(x) f(x0 ) , x0 D thì số M = f(x0 ) đgl GTLN của hàm số f trên tập D kí hiệu: M = b) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho f(x) f(x0 ) , x0 D thì số m = f(x0 ) đgl GTNN của hàm số f trên tập D kí hiệu: m = Chú ý: Muốn tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên khoảng ( trên đoạn ) ta lập bảng biến thiên trên khoảng ( trên đoạn tính các giá trị đầu mút ) đó . Dựa vào bảng biến thiên để kết luận . Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số : a) f(x) = b) f(x) = x3 – 3x + 3 trên đoạn [- 3; ] c) f(x) = x + trên khoảng ( 1 ; +) §1: Bài tập tự luận: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: f(x) = x2 +2x – 5 trên đoạn [ - 2 ; 3 ] f(x) = + 2x2 + 3x – 4 trên đoạn [ - 4 ; 0 ] c) f(x) = x + trên khoảng ( 0 ; +) d) f(x) = - x2 + 2x + 4 trên đoạn [ 2; 4 ] e) f(x) = trên đoạn [ 0 ; 1 ] f) f(x) = x – trên nữa đoạn ( 0 ; 2 ] §4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa : Đường thẳng y = y0 đgl Đường tiệm cận ngang ( Gọi tắc là tiệm cận ngang ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng ( Gọi tắc là tiệm cận đứng ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc Chú ý: Cách tìm các tiệm cận Muốn tìm tiệm cận đứng ta giải phương trình mẫu số bằng không tìm nghiệm ( VD:hàm số f(x) = có tiệm cận đứng x = - 2 ) + Hàm số có bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = hệ số bậc cao nhất chia nhau ( VD: hàm số y = có tiệm cận ngang y = - 1 ) + Hàm số có bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = 0 + Hàm số có bậc tử > bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các hàm số sau: a) y = b) y = c) y = d) y = Bài tập tự luận: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các hàm số sau: a) y = b) y = c) y = 1 – d) y = 1 + e) y = f) ) y = g) y = h) y = i) y = j) y = m) y = n) y = k) y = l) y = §5: TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA HÀM SỐ f//(x) > 0 , x ( a; b ) = > đồ thị của hàm số f(x) lõm x ( a; b ) f//(x) đồ thị của hàm số f(x) lồi x ( a; b ) f//(x0) = 0 = > x0 là điểm uốn Điểm uốn là trung điểm của cực đại và cực tiểu Bài tập 1: Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của các đồ thị hàm số sau : a) y = 2x3 – 6x2 + 2x b) y = c) y = d) y = x3 + 6x – 4 e) y = f) y = 3x5 – 5x4 + 3x – 2 Bài tập 2: Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = x3 – ax2 + x + b nhận điểm I ( 1; 1 ) làm điểm uốn . Bài tập 3: Tìm a để đồ thị của hàm số y = x4 – ax2 + 3 có hai điểm uốn không có điểm uốn Bài tập 4: chứng minh rằng đường cong y = có 3 điểm uốn cùng nằm trên một đường thẳng . §6: PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ Công thức chuyển hệ toạ độ: Tịnh tiến theo vectơ M(x; y) đối với hệ toạ độ Oxy thì M( X; Y) đối với hệ toạ độ IXY Với I( x0;y0) M y = f(x) đối với hệ toạ độ Oxy M Y + y0 = f( X + x0 ) đối với hệ toạ độ IXY Ví du1 ï: Cho ( P ):y = x2 + 2x – 1 Xác định toạ độ đỉnh của ( P ) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và viết phương trình của ( P )đối với toạ độ IXY Ví du2 ï: Cho ( P ):y = 2x2 – 4x Xác định toạ độ đỉnh của ( P ) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và viết phương trình của ( P )đối với toạ độ IXY Ví du 3 ï: Cho ( H ):y = Tìm giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị ( H ) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và viết phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY Ví du 4 ï: Cho ( H ):y = Tìm giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị ( H ) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và viết phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY Bài tập tự luận: Bài 1: Xác định toạ độ đỉnh của ( P ). Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và viết phương trình của ( P )đối với toạ độ IXY a) y = 2x2 – 3x + 1 b) y = x – 4x2 Bài 2: Tìm giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị ( H ) đối với mỗi hàm số dưới đây . Viết công thức chuyễn hệ trục toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và viết phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY . a) y = b) y = Bài 3: a) Vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x) = b) Chứng minh rằng trên khoảng ( - ; 1 ) đồ thị ( C ) nằm phí trên đường thẳng y = 2x và trên lhoảng ( 1 ; + ) đồ thị ( C ) nằm phí dưới đường thẳng đó . c) Từ đồ thị ( C ), hãy chỉ ra cách vẽ đồ thị hàm số y = - f(x) và y = | f(x) | Bài 4: Cho hàm số : f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 1 ( C ) a) Xác định điểm I ( x0; y0 ) thuộc đồ thị ( C ) của hàm số đã cho , trong đó x = x0 là nghiệm của phương trình f// (x) = 0 . b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và viết phương trình của ( H )đối với toạ độ IXY .. c) Từ đó , suy ra rằng điểm I là tâm đối xứng của đường cong ( C ) . §7: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ . Bước 1: Tìm tập xác định và xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hoàn của hàm số ( nếu có ) Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số Tìm giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có ) Lập bảng biến thiên của hàm số . từ đó suy ra hàm số đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu , lồi , lõm , điểm uốn ( Nếu có ) Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số Vẽ các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có ) Tìm giao điểm với các trục toạ độ ( Nếu đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc giao điểm phức tạp thì bỏ qua ) Tìm một số điểm khác , ngoài các điểm cực đại , cực tiểu, điểm uốn để vẽ đồ thị chính xác hơn Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 – 9x – 5 b) y = – x3 + 3x2 – 4x + 2 * Các kiến thức cơ bản thường sử dụng: 1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối : 2. Định lý cơ bản: 3. Một số tính chất về đồ thị: a) Đồ thị của hai hàm số y= f(x) và y= -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng * Ba dạng cơ bản: Bài toán tổng quát: Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: Dạng 1: Từ đồ thị Cách giải B1. Ta có : B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) ) Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1) Minh họa y=x3-3x+2 y=x3-3x+2 Dạng 2: Từ đồ thị ( đây là hàm số chẵn) Cách giải B1. Ta có : B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) ) Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do do tính chất hàm chẵn ) Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đượ (C2) Minh họa: y=x3-3x+2 y=x3-3x+2 Dạng 3: Từ đồ thị Cách giải B1. Ta có : B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) ) Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3) Minh họa: y=x3-3x+2 y=x3-3x+2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số : (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: b) c) Bài 2: Cho hàm số : (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: b) c) d) e) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 2.BÀI TOÁN 2 : Bài toán tổng quát: Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : (C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: f(x) = g(x) (1) * Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). Chú ý 1 : * (1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm điểm chung * (1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung Chú ý 2 : * Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). Áp dụng: Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): và đường thẳng Minh họa: ` b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : Định lý : (C1) tiếp xúc với (C2) hệ :có nghiệm Áp dụng: Ví dụ: Cho và . Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau Minh họa: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Bài 2: Cho hàm số (C) Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Bài 3: Cho hàm số (C) Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Bài 4 : Cho hàm số (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Bài 5: Cho hàm số (1) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt Bài 6: Cho hàm số (1) Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. Bài 8: Cho hàm số (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương . Bài 9: Cho hàm số (1) Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho . Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên của hàm số cắt các trục toạ độ tại hai điểm A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8. Bài 11: Cho hàm số Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;) sao cho (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân A,B và M là trung điểm của AB. Bài 12: Cho hàm số (1) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1 Bài 13: Cho hàm số (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được Bài 14: Cho hàm số . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thị hàm số Bài 15: Cho hàm số (C) Tìm trên (C) tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm Bài 16: Cho hàm số (C) và hai đường thẳng Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt (d1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua (d2) Bài 17: Cho hàm số (1) Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng 3.BÀI TOÁN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG a. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm (C): y=f(x) Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0) Áp dụng: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn của nó `b. Dạng 2: (C): y=f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : , từ đó suy ra =? Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . (C): y=f(x) (C): y=f(x) Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng () có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của () là: Định lý 2: Nếu đường thẳng () đi qua hai điểm thì hệ số góc của () là : Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng . Khi đó: Áp dụng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2. Ví dụ 2: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng c. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA) Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Viết phương trình đường thẳng () qua A và có hệ số góc là k bởi công thức: (*) Bước 2: Định k để () tiếp xúc với (C). Ta có: Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm. Áp dụng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) Ví dụ 2: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0). BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 2: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Bài 3: Cho hàm số (C) Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng Bài 4: Cho đường cong (C): Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). Bài 5: Cho hàm số (C) Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). Bài 6: Cho hàm số (Cm) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 7: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7) 4.BÀI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x) Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: Bước 2: Vẽ (C) và () lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của () và (C) Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) Minh họa: Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *) Phương pháp: Đặt k=g(m) Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: Bước 2: Vẽ (C) và () lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của () và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**). Minh họa: Áp dụng: Ví dụ: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình : a. b. Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Bài 4 :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: Bài 5: Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 5. BÀI TOÁN 5: HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong ( m là tham số ) Biện luận theo m số đường cong của họ đi qua điểm cho trước. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Ta có : Họ đường cong đi qua điểm (1) Xem (1) là phương trình theo ẩn m. Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0 Cụ thể: Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0 Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0 Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong Áp dụng: Ví dụ: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm A(2;0) Ví dụ: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y=x+1 TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong ( m là tham số ) Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Gọi là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua. Khi đó phương trình: nghiệm đúng m (1) Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau: Dạng 1: Dạng 2: Áp dụng định lý: (2) (3) Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được 6. BÀI TOÁN 6: TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên . Bài 2: Cho hàm số Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung . Bài 3: Cho hàm số Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất Bài 4: Cho hàm số Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất Bài 5: Cho hàm số Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là nhỏ nhất. Bài 6: Cho hàm số Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ nhất. Bài 7: Cho hàm số (C) Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất Bài 8: Cho hàm số Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm Bài 9: Cho hàm số Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1 7. BÀI TOÁN 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG Bài 1: Cho hàm số (C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên làm tâm đối xứng. Bài 2: Cho hàm số (Cm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ Bài 3: Cho hàm số (Cm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ Bài 4: Cho hàm số (Cm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạđộ ----------------------------------Hết----------------------------------- §7: