Ôn tập Hình học không gian lớp 11

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 1 ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 §1. ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG A. KIẾNTHỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm mở đầu: Mặt phẳng: Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn. Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa, hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc. Ví dụ : mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (α)… Điểm thuộc mặt phẳng: Cho điểm A và mặt phẳng (P). Khi điểm A thuộc mặt phẳng (P) ta nói điểm A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A và kí hiệu là A∈(P). Khi điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta nói điểm A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A, hay (P) không đi qua A và kí hiệu là A (P). Hình biểu diễn của một hình không gian: Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian. 2. Các tính chất thừa nhận: 3. Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trên mặt phẳng. 4. Các điều kiện xác định mặt phẳng: Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong bốn điều kiện sau đây: 1/ Đi qua ba điểm không thẳng hàng. 2/ Đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó. 3/ Đi qua hai đường thẳng cắt nhau. 4/ Đi qua hai đường thẳng song song. 5. Hình chóp & hình tứ diện. Thiết diện: Hình chóp có đáy là một đa giác và các mặt bên đều là tam giác có chung một đỉnh (đỉnh của hình chóp).Hình tứ diện là hình chóp có đáy cũng là tam giác. Thiết diện của một hình chóp là đa giác có các cạnh là các đoạn giao tuyến (nếu có)của một mặt phẳng với các mặt của hình đó. 1/ Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. 2/ Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. 3/ Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. 4/ Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. 5/ Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 2 B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 1. Phƣơng pháp giải: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. 2. Ví dụ: Ví dụ 1. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Điểm S nằm ngoài mp(P). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Giải: Gọi O = AC ∩ BD. Ta có S, O là các điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SO. Ví dụ 2. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD ( AB//CD và AB>CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Giải: Gọi I = AD∩BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng SI. A B D C I S S B O C D A TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 3 Dạng 2: Tìm giao điểm của đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P) 1. Phƣơng pháp giải: Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng d và cắt mặt phẳng đã cho theo giao tuyến d’. Khi đó I = d ∩d’ cũng là giao điểm của d và (P). 2. Ví dụ: Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD với AI = 1 2 IB và AJ = 3 2 JD. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mặt phẳng (BCD). Giải: Trong mặt phẳng(ABD)ta có IJ cắt BD tại K. Khi đó K = IJ ∩(BCD). Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên các cạnh AB, BC và CD sao cho AI = 1 3 AB; BJ = 2 3 BC; CK = 4 5 CD. Tìm giao điểm của mặt phẳng (IJK) với đường thẳng AD. Giải: Trong mặt phẳng (BCD) ta có JK cắt BD tại E. Trong mặt phẳng (ABD) IE cắt AD tại F. Ta có F = AD ∩ (IJK). Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1. Phƣơng pháp giải: Chứng minh ba điểm ấy cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Ví dụ 1. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. I J B C D K F E A A I J B C D K TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 4 Giải: Ta có M, N, P là các điểm chung của hai phẳng phân biệt (Q) và (ABC) nên M, N, P thuộc giao tuyến d của (Q) và (ABC). Vậy M, N, P thẳng hàng. Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox, Oy và hai điểm A, B không nằm trong mặt phẳng (Ox, Oy). Biết rằng đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy) có một điểm chung. Một mặt phẳng (α) thay đổi luôn luôn chứa AB và cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi (α) thay đổi. Giải: Gọi I là điểm chung của AB và mặt phẳng (Ox, Oy). Vì AB và mặt phẳng (Ox, Oy) cố định nên I cố định. Ta có M, N, I là các điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (Ox, Oy) nên chúng luôn thẳng hàng. Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm I cố định khi mặt phẳng (α) thay đổi. A B I O x y N M A B C P N M TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 5 Dạng 4: Dựng thiết diện của hình chóp 1. Phƣơng pháp giải: Xác định các đoạn giao tuyến (nếu có) của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp đã cho. 2. Ví dụ: Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Điểm C’ nằm trên cạnh SC nhưng không trùng với các đỉnh S, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABC’). Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. O’ là giao điểm của AC’ và SO. Nối B với O’ kéo dài cắt SD tại D’. Thiết diện là tứ giác ABC’D’. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD và SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP). Giải: Thiết diện là ngũ giác MNIPQ. A B D C N P M Q I K L S C’ A D C B D’ S TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 6 C. BÀI TẬP BỔ SUNG: 01. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I, J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD). b) Lấy điểm N thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN không song song với AD và cắt cạnh AB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC). 02. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (SBM) và (SCD); b) (ABM) và (SCD); c) (ABM) và (SAC). 03. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm I trên cạnh AB và lấy các điểm J, K lần lượt thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC). a) Hãy xác định điểm L. b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện. 04. Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD ( K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK). 05. Cho hình chóp S.ABCD . Lấy các điểm M, N và P lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với các trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp. 06. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN). 07. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. 08. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (P) lấy hai điểm A, B sao cho AB cắt d tại I. Gọi O là một điểm nằm ngoài (P) và (Q) sao cho OA và OB lần lượt cắt (Q) tại A’ và B’. a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng. b) Trong (P) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (Q) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 09. Cho tứ diện SABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA lần lượt tại P, Q. a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng. b) Giả sử AN ∩ DM = K, BQ ∩ EP = L. Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng. 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD, P là điểm trên cạnh AD nhưng không trùng với A, D và trung điểm của AD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP). 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (d, C’). 12. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMB) và (SAC). b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC). c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ABM). TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 7 §2. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có ba khả năng sau đây xảy ra: i) a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu a ∩ b = {M}. ii) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu: a // b. iii) a trùng b, kí hiệu a ≡ b. Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b. Hai đường thẳng đồng phẳng Hai đường thẳng chéo nhau 2. Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. 3. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng. 4. Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. 5. Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó O Q Q P c b P c a b a R R d d d d1 d2 d1 d2 d1 d2 Q Q Q P P P 6. Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. M a b a b a b a b M TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 8 B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 1. Phƣơng pháp giải: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua S và song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng ấy ( Hệ quả của định lí 2). 2. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). S d Giải: Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song AD và BC nên giao A D tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC. B C Dạng 2: Chứng minh hai đƣờng thẳng song song 1. Phƣơng pháp giải: Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song ta sử dụng một trong các cách sau: Cách 1 ( Sử dụng định nghĩa): Chứng minh a, b cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung. Cách 2 ( Sử dụng định lí 2): Chứng minh a, b là hai giao tuyến trong số ba giao tuyến của ba mặt phẳng đôi một cắt nhau và có hai giao tuyến song song. Cách 3 ( Sử dụng hệ quả của định lí 2): Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song trong đó có b. Cách 4 ( Sử dụng định lí 3): Chứng minh a, b cùng song song với đường thẳng m nào đó. 2. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD. (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng tứ giác MNJI là hình thang. Nếu M là trung điểm của AC thì tứ giác MNJI là hình gì? A Giải: Ba mặt phẳng (ACD), BCD) và (P) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến CD, IJ, MN. N Vì IJ // CD ( tính chất đường trung bình)nên theo M định lí 2 ta có MN // IJ. Vậy tứ giác MNJI là hình thang. B J D Nếu M là trung điểm của AC thì N là trung điểm / của AD. Khi đó tứ giác MNJI là hình bình hành. I / C Dạng 3: Chứng minh hai đƣờng thẳng chéo nhau 1. Phƣơng pháp giải: Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau , ta thường sử dụng phương pháp phản chứng, giả sử hai đường thẳng đó cùng thuộc một mặt phẳng dẫn đến vô lý. 2. Ví dụ: Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1 lấy hai điểm phân biệt A và B; trên d2 lấy hai điểm phân biệt C, D. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau. Giải: Giả sử AC và BD không chéo nhau, tức là có B một phẳng (P) chứa cả AC và BD. A Như vậy mặt phẳng (P) cũng sẽ chứa cả d1 và d2. d1 Điều này mâu thuẫn với giả thiết d1, d2 chéo nhau. Vậy AC và BD chéo nhau. d2 C D P TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 9 C. BÀI TẬP BỔ SUNG: 01. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶 . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DBC) và (DMN). 02. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD. 03. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AD // BC. Biết AD = a; BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q. a) Chứng minh MN // PQ. b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh EF // MN // PQ. Tính EF theo a và b. 04. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC; M là điểm tùy ý trên cạnh AD. a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD). b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d; K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD ( M không là trung điểm của AD). c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ). 05. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau: SA và BC; SA và CD; SB và CD; SB và DA; SC và AD; SC và AB; SD và AB; SD và BC. 06. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, BD và E là một điểm thuộc cạnh AD, khác với A và D. a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (IJE). b) Tìm vị trí của điểm E trên AD để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD để thiết diện là hình thoi. 07. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi, giao điểm hai đường chéo AC và BD là O. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng: a) ME // AC và NF // BD. b) Ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy. c) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. 08. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. b) Tứ giác MNEF là hình thoi. 09. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SDA; E là trung điểm của CB. a) Chứng minh rằng MN // BD. b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNE). c) Gọi H, L lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh LH // BD. 10. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng nối đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện ( gọi là các đường trọng tuyến) đồng quy tại một điểm G và điểm G chia trong mỗi đoạn theo tỉ số 3 : 1. b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ( giao của các đoạn đường trung bình). 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD ; R là điểm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mặt phẳng (PQR). Chứng minh rằng: AS = 2SD. 12. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và OB. a) Tìm giao điểm I của SD và mặt phẳng (AMN). b) Tính tỉ số SI : ID. TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 10 §3. ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tùy theo số điểm chung của d và (P), ta có ba trường hợp sau: d // (P) d ∩ (P) = {M} d  (P) Hình 3.1 Hình 3.2 Hình 3.3  d và (P) không có điểm chung: d song song với (P) hay (P) song song với d , kí hiệu là d // (P).  d và (P) có điểm chung duy nhất M: d và (P) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu d ∩ (P) = M.  d và (P) có vô số điểm chung: d nằm trong (P) hay (P) chứa d, kí hiệu: d (P). 2. Các tính chất cơ bản: Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (P) thì d song song với (P).(Hình 3.4) Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến m thì m song song với a.(Hình 3.5) Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. (Hình 3.6) Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. (Hình 3.7) m m a a d d’ Q P Q P P Hình 3.4 Hình 3.5 Hình 3.6 b Hình 3.7 d P d a b M P P d b’ a P TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 11 B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN: Dạng 1: Chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng 1. Phƣơng pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)ta sử dụng một trong các cách sau: Cách 1 (Sử dụng định nghĩa): Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung. Cách 2 (Sử dụng định lí 1): Chứng minh đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó thuộc mặt phẳng (P). 2. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. A Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD). I Giải: Gọi I là trung điểm của AD. Trong tam giác CBI ta có: C G D 𝐵𝑀 𝐵𝐶 = 𝐵𝐺 𝐵𝐼 = 2 3 nên MG // CI. M Mà CI  (ACD) . Vậy MG // (ACD). B Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đƣờng thẳng. 1. Phƣơng pháp giải: Sử dụng định lí 2 và hệ quả. S 2. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (α) qua M và đồng thời song song với SC, AD. M N Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α). Giải: Vì (α) song song với AD nên (α) cắt hai A D mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD. Q P Tương tự (α) song song với SC nên (α) cắt O hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo các giao B C tuyến song song với SC. Gọi O = AC ∩BD, ta có SC // MO. Qua O kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB, CD lần lượt tại Q, P. Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N. Khi đó MN // QP và NP // SC. Thiết diện là hình thang MNPQ. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác ABC, (α) là mặt phẳng đi qua A M và song song với các đường thẳng AB và CD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp (α). Giải: Vì mặt phẳng (α) //AB nên (α) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến qua M và song song với AB. H Giao tuyến này cắt AC và BC lần lượt tại E và F. E Tương tự (α) // CD nên (α) cắt (ACD) và (BCD) theo các giao tuyến EH và FG song song với CD B M G D và do đó song song với nhau. Vậy thiết diện là hình bình hành EFGH. F C TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 12 C. BÀI TẬP BỔ SUNG: 01. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD). 02. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF; M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng: a) OO’ // (ADF) và OO’ // (BCE). b) MN // (CEF). 03. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AD // BC và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD. a) Chứng minh rằng OG // (SBC). b) Gọi M là trung điểm của SD. Chứng minh CM // (SAB). c) Gọi I là điểm trên cạnh SC sao cho SC = 3 2 SI. Chứng minh rằng SA // (BID). 04. Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên cạnh AC (không trùng với A và C) ta dựng một mặt phẳng (α) song song với AB và CD. Mặt phẳng (α) lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC. 05. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh NG // (SCD). c) Chứng minh rằng MG // (SCD). 06. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng (α) đi qua M đồng thời song song với SA và BC; (α) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P và Q. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định. 07. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm thuộc cạnh CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với BC. a) Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bới mặt phẳng (P). b) Xác định vị trí của điểm N trên CD để thiết diện là hình bình hành. 08. Hãy xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc cạnh BC và song song với AD. b) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, đồng thời song song với BC và AD. 09. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC; (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P). b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác SME với tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD. c) Gọi K là giao điểm của ME với CB , J là giao điểm của MF với CD. Chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số 𝐸𝐹 𝐾𝐽 . 10. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M, N, E, F. a) Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành. b) Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF. TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HÀ NỘI) Page 13 §4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, α kí hiệu (α) // (β) hay (β) // (α). (α) // (β) đ/𝑛 (α) ∩ (β) = ∅. β 2. Các tính chất cơ bản: Định lí 1: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β). ( Hình 4.1) Định lí 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.(Hình 4.2) Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α). (Hình 4.3). Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α). ( Hình 4.4) Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng nào đó cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. (Hình 4.5) Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. a α b d β α Hình 4.1 Hình 4.2 Hình 4.3 R a α α A b β β Hình 4.4 Hình 4.5 3. Định lí Ta – let: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên h