Ôn tập Mặt tròn xoay

Buổi 10 : mặt tròn xoay B. Các ví dụ Bài 1 : Cho hình nón có đường cao h và bán kính đáy R . Tính thể tích của hình trụ nội tiếp trong hình nón , biết rằng hình trụ này có thiết diện qua trục là 1 hình vuông . Bài 2 : Trong 1 hình nón cụt các đường chéo của thiết diện đi qua trục vuông góc với nhau , đường sinh bằng l và làm với đáy lớn 1 góc . Tính thể tích của hình nón cụt . Bài 3 : Cho 2 đường thẳng d và d’ cố định . (P) là mp chuyển động luôn qua d , (Q) là mp chuyển động luôn qua d’ sao cho (P) (Q) , giao tuyến của (P) và (Q) là ∆ . Tìm tập hợp giao tuyến ∆ trong 2 trường hợp sau a. d // d’ b. d cắt d’ tại O Bài 4 : Cho góc tam diện vuông Oxyz , đỉnh O . Chứng minh tồn tại 1 mặt nón tròn xoay (N) nhận Ox, Oy, Oz làm 3 đường sinh . Bài 5 : Một hình nón tròn xoay có bán kính R và đường cao h . Trong tất cả các mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón , hãy xác định mp cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất và hãy tính diện tích ấy . Bài 6 : Cho hình trụ có bán kính đáy R = 53 , chiều cao h = 56 . Một thiết diện song song với trục là một hình vuông . Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện . A B C D D’ C’ Bài 7 : Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 , chiều cao h = 20 . Một hình vuông có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ , có các đỉnh nằm trên các đường tròn ấy . Tính cạnh hình vuông . HD : Gọi x là cạnh hình vuông . Tam giác BC’C vuông ở C’ nên : BC’2 = x2 – h2 (1) , Tam giác ABC vuông ở B nên : BC’2 = 4R2 – x2 (2) Từ (1) và (2) suy ra : x2 = (4R2 + h2 )/ 2 Thay R = 70 và h = 20 ta có x = 100 Bài 8 : Trong các hình trụ có thể tích V cho sẵn , hình trụ nào có diện tích toàn phần nhỏ nhất ? HD : Ta có : V = (1) và (2) Khừ h từ (1) và (2) ta có : , đẳng thức xảy ra khi : V/R = hay h = 2R Bài 9 : Diện tích đáy của 1 hình nón bằng 324 , diện tích 1 thiết diện song song với đáy bằng 182,25, biết rằng khoảng cách giữa thiết diện và đáy bằng 30 . Tính góc ở đỉnh của hình nón . Bài 10 : Tính thể tích hình nón ngoại tíêp một tứ diện đều cạnh a Bài 11 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a , chiều cao OO’ = 2a , OA và O’B’ là 2 bán kính của hai đáy tạo với nhau góc bằng 300. a) Tính AB’ b) Tính góc giữa AB’ và OO’ c) Tính khoảng cách giữa AB’ và trục hình trụ Bài 12 : Một hình nón đỉnh S , đường cao SO = h , bán kính đáy bằng R , M là 1 điểm trên đoạn SO với OM = x ( 0 < x < h ) a) Tính diện tích thiết diện (C) do mp qua M vuông góc với SO cắt hình nón b) Tính thể tích V của hình nón đỉnh O đáy (C) theo R , h và x . Đinh x để V lớn nhất . HD : a) S = b) , V lớn nhất khi : Do đó : , đẳng thức xảy ra khi : h-x = 2x hay x = h/3 Bài 13 : tính thể tích hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R nếu biết chiều cao h của nó . Bài 14 : Tính thể tích của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R nếu biết chiều cao h của nó .