Ôn tập Toán 6, 7, 8, 9 - Nguyễn Tấn Linh

NGUYỄN TẤN LINH ƠN TẬP TỐN 6, 7, 8, 9  PHẦN HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Ta phải chứng minh hai đoạn thẳng đó: Là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Là hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân hoặc hai cạnh bất kì của tam giác đều. Cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba (tính chất bắc cầu). Là hai cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Bằng phương pháp cộng đoạn thẳng. Dựa vào tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng. Là hai dây trương hai cung bằng nhau của một đường tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau). Là hai khoảng cách từ một điểm nằm trên đường phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy. Là khoảng cách từ tâm đến hai dây bằng nhau của một đường tròn. Là hai bán kính của một đường tròn. Là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong một tam giác vuông. Là hai tiếp tuyến vẽ từ một điểm đến một đường tròn. Chứng minh hai góc bằng nhau Ta phải chứng minh hai góc đó: Là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng. Là hai góc kề đáy của tam giác cân, hình thang cân; hai góc đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi. Cùng bằng hoặc phụ với một góc thứ ba. Ở vị trí so le trong hoặc đồng vị của hai đường thẳng song song. Dựa vào tính chất tia phân giác của một góc (tạo thành hai góc bằng nhau). Có các cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc (phải cùng nhọn hoặc cùng tù). Cùng bù hoặc cùng phụ với một hoặc hai góc bằng nhau. Bằng tổng hoặc hiệu của hai góc tương ứng bằng nhau. Là hai góc đối đỉnh. Là hai góc nội tiếp hoặc góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau. Có cùng một tỉ số lượng giác (sin, cos, tan, cot). Chứng minh hai tam giác bằng nhau Ta phải chứng minh hai tam giác đó có những yếu tố sau bằng nhau: * HAI TAM GIÁC THƯỜNG Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g). * HAI TAM GIÁC VUÔNG Cạnh huyền – góc nhọn; Cạnh huyền – cạnh góc vuông. Chứng minh hai tam giác đồng dạng Ta phải chứng minh hai tam giác đó có các cạnh tỉ lệ và các góc tương ứng bằng nhau: Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – góc (g.g). Với tam giác vuông (trường hợp đặc biệt) Cạnh huyền – cạnh góc vuông. NGOÀI RA CÓ THỂ DÙNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác sẽ tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu. Chứng minh hai đoạn thẳng song song Ta phải chứng minh: Chúng cùng song song hoặc vuông góc với đường thẳng thứ ba. Hai đường đường thẳng định trên hai cạnh của một góc những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (định lí Ta – lét đảo). Hai góc tạo bởi đường thẳng bị cắt bởi một cát tuyến ở vị trí so le trong hoặc đồng vị bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau. Chúng chứa hai cạnh đối của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Ta phải chứng minh: Chúng là hai đường phân giác của hai góc kề bù. Góc tạo bởi đường thẳng đó là góc vuông. Dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song: Nếu a // b và bc thì ac. Dựa vào tính chất: Trong tam giác cân, đường trung tuyến hoặc đường phân giác xuất phát từ đỉnh hoặc đường trung trực của đoạn thẳng đối diện với đỉnh cũng là đường cao. Dựa vào tính chất: Trong tam giác thì đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trực tâm tam giác thì vuông góc với cạnh đối diện. Chúng là hai đường chéo của hình thoi hoặc hình vuông. Dùng định lí: Góc nội tiếp chắn giữa đường tròn là góc vuông hoặc tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông. Dùng định lí: Tiếp tuyến thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Dùng định lí: Đường kính qua trung điểm cung thì vuông góc với dây trương cung ấy. Chứng minh ba điểm thẳng hàng Ta phải chứng minh: . Þ A, B, C thẳng hàng. Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc hoặc cùng song song với một đường thẳng thứ ba (dùng tiên đề Ơ – clit để biện luận). Dựa vào tính chất hai đường chéo của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Ví dụ: Hình bình hành ABCD có: E là trung điểm của đường chéo AC. Þ E cũng là trung điểm của đường chéo BD. Þ D, E, B thẳng hàng. Ba điểm đó cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng. Hai tia trùng nhau hoặc đối nhau. Hai đầu đường kính thì thẳng hàng với tâm. Từ một điểm chỉ có thể vẽ được một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Dựa vào tính chất: Giao điểm của ba đường trung trực, trung tuyến, đường cao là ba điểm thẳng hàng (đường thẳng Ơ – le). Chứng minh ba đường thẳng đồng quy (ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm) Ta phải chứng minh: Dựa vào tính chất: ba đường cao, trung tuyến, phân giác, trung trực trong tam giác đồng quy tại một điểm. Một trong ba đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng và hai điểm nằm trên đường thẳng thứ ba thẳng hàng. Dựa vào tính chất: Trong một đường tròn, các đường trung trực của các dây không song song đồng quy. Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng Ta phải chứng minh: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm. Hai điểm trên đường thẳng cách đều hai đầu đoạn thẳng. Dựa vào tính chất: Trong tam giác cân, đường trung tuyến, đường cao, phân giác thuộc cạnh đáy là đường trung trực của cạnh đáy. Chứng minh tam giác là tam giác cân Ta phải chứng minh: Tam giác có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau. Dựa vào tính chất: Trong một tam giác, nếu hai trong bốn đường (đường cao, trung tuyến, phân giác, trung trực) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Chứng minh tam giác là tam giác đều Ta phải chứng minh: Tam giác thường có ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau. Tam giác cân có một góc bằng 60o. Chứng minh tam giác là tam giác vuông Ta phải chứng minh: Dựa vào định lí Py – ta – go đảo. Tam giác có một góc vuông. Tam giác thường có tổng số đo hai góc bằng 90o. Tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối tương ứng. Chứng minh tứ giác là hình thang Chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song. Chứng minh tứ giác là hình thang cân Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau. Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa hẳn là hình thang cân, chẳng hạn như hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình thang cân. Chứng minh tứ giác là hình bình hành Ta phải chứng minh tứ giác có: Các cạnh đối song song. Các cạnh đối bằng nhau. Một cặp cạnh song song và bằng nhau. Các góc đối bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật Ta phải chứng minh: Tứ giác có ba góc vuông. Hình bình hành có một góc vuông. Hình thang cân có một góc vuông. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. Chứng minh tứ giác là hình thoi Ta phải chứng minh: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. Hình hình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc. Chứng minh tứ giác là hình vuông Ta phải chứng minh: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hình thoi có một góc vuông. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. Chứng minh tứ giác nội tiếp Ta phải chứng minh: Bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Bốn đỉnh cùng cách đều một điểm. Hai góc đối bù nhau. Góc trong bằng góc đối ngoài. Hai góc bằng nhau, cùng nhìn một đoạn thẳng. Chứng minh tiếp tuyến Chứng minh d = R. Chứng minh hai cung bằng nhau Chứng minh hai dây căng cung bằng nhau. Chứng minh hai góc ở tâm tương ứng bằng nhau. Dùng định lí: Đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi cung căng dây. TÍNH CHẤT CỦA CÁC HÌNH HAI ĐƯỜNG THẲNG BỊ CẮT BỞI MỘT CÁT TUYẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG BỊ CẮT BỞI MỘT CÁT TUYẾN Trong đó: và : hai góc so le trong. và : hai góc so le trong. và : hai góc đồng vị. và : hai góc đồng vị. và : hai góc đồng vị. và : hai góc đồng vị. và : hai góc trong cùng phía. và : hai góc trong cùng phía. và : hai góc so le ngoài. và : hai góc so le ngoài. và : hai góc ngoài cùng phía. và : hai góc ngoài cùng phía. Tính chất: Các cặp so le trong và đồng vị bằng nhau. Các cặp góc trong cùng phía bù nhau. Các cặp góc so le ngoài bằng nhau. Các cặp góc ngoài cùng phía bù nhau. HAI ĐƯỜNG THẲNG BỊ CẮT BỞI MỘT CÁT TUYẾN Các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía cũng như các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến nhưng chúng không bằng nhau hoặc bù nhau. TAM GIÁC CÂN Hai cạnh bên bằng nhau. Hai góc kề đáy bằng nhau. Đường trung tuyến xuất phát từ định cũng là đường cao, phân giác, trung trực. TAM GIÁC ĐỀU Ba cạnh bằng nhau. Ba góc đều bằng 60o. Một trong bốn đường (đường cao, trung tuyến, phân giác, trung trực) xuất phát từ đỉnh thì cũng là ba đường còn lại. Trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm là các điểm trùng nhau. Diện tích: (a là cạnh). ; NỬA TAM GIÁC ĐỀU hoặc AB = 2.BH AH=hoặc AB= AH=hoặc NGƯỢC LẠI: Muốn chứng minh 1 tam giác là nửa tam giác đều ta có thể chứng minh tam giác ấy vuông và có 1 trong 5 tính chất trên. TAM GIÁC VUÔNG CÂN Hai cạnh kề đáy bằng nhau. Hai góc kề đáy bằng 45o. Một trong bốn đường (đường cao, trung tuyến, phân giác, trung trực) xuất phát từ đỉnh thì cũng là ba đường còn lại. Đường trung tuyến xuất phát từ góc vuông bằng nửa cạnh huyền (tam giác vuông thường cũng có tính chất này). NGƯỢC LẠI: Muốn chứng minh 1 tam giác là tam giác vuông cân, ta có thể chứng minh tam giác ấy vuông và có 1 trong 3 tính chất trên. HÌNH THANG CÂN Hai cạnh đối song song với nhau. Hai góc kề một đáy bằng nhau. Hai đường chéo bằng nhau. Hai cạnh bên bằng nhau. HÌNH BÌNH HÀNH Các cạnh đối song song và bằng nhau từng đôi một. Các góc đối bằng nhau từng đôi một. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. HÌNH THOI Các cạnh đối bằng nhau. Các góc đối bằng nhau từng đôi một. Hai đường chéo vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Đường chéo là tia phân giác của mỗi góc. Diện tích hình thoi có một góc 60o: . HÌNH CHỮ NHẬT Bốn góc bằng 90o. Các cạnh đối bằng nhau và song song với nhau. Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. HÌNH VUÔNG Bốn góc bằng 90o. Các cạnh đối song song và bằng nhau. Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hai đường chéo bằng nhau. Đường chéo là tia phân giác của mỗi góc. CHU VI, DIỆN TÍCH CÁC HÌNH PHẲNG HÌNH TAM GIÁC C = a + b + c HÌNH THANG C = a + b + c + d HÌNH TRÒN HÌNH VUÔNG C = 4a S = a2 HÌNH CHỮ NHẬT C = 2(a + b) HÌNH BÌNH HÀNH C = 2(a + b) S = a ´ h HÌNH THOI C = 4a TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Định lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy Trên hình, ta có: ► Chú ý: Định lí vẫn đúng đối với mỗi tia phân giác của góc ngoài của tam giác. Trên hình, ta có: TỈ SỐ HAI ĐƯỜNG CAO, TỈ SỐ DIỆN TÍCH CỦA HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Định lí 1: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. Định lí 2: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc a, kí hiệu là sin a. Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc a, kí hiệu là cos a. Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc a, kí hiệu là tg a (hay tan a). Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc a, kí hiệu cotg a (hay cot a). Như vậy: ; ; ; cot . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Lưu ý: sin α < 1; cos α < 1. sin α < tan α; cos α < cot α (dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này). CÁC CÔNG THỨC VỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN tg α = . cotg α = . tan α × cot α = 1. sin2 α + cos2 α = 1 1 + tan2 a = . 1 + cot2 α = . BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT a Tỉ số lượng giác 0o 30o 45o 60o 90o sin a 0 1 cos a 1 0 tg a 0 1 cotg a 1 0 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức 1: ; Hệ thức 2: Hệ thức 3: Hệ thức 4: Hệ thức 5 (hệ quả): a2 + b2 = c2 (định lý Py-ta-go) TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Định lí: Như vậy: Tính chất ba đường phân giác của tam giác Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Định lí: ► Chú ý: Giao điểm I của ba đường phân giác trong tam giác còn có tên gọi là tâm đường tròn nội tiếp của DABC (IL = IK = IH). Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Tính chất ba đường trung trực của tam giác Định lí: ► Chú ý: Giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác còn có tên gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của DABC. (OA = OB = OC). Tính chất ba đường cao của tam giác Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. ► Chú ý: Điểm H gọi là trực tâm của DABC Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Định nghĩa: Vậy: Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp. Trên hình, ta có đường tròn (E) bàng tiếp trong của DABC; đường tròn (F) bàng tiếp trong của DABC; đường tròn (D) bàng tiếp trong của DABC. ĐƯỜNG TRÒN BÀNG TIẾP BA GÓC CỦA TAM GIÁC * HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU CHU VI, DIỆN TÍCH CÁC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN HÌNH CẦU 4pR2 43πR3 HÌNH NÓN CỤT p(r1 + r2)l 13πh(r12+r22+r1r2) HÌNH NÓN prl prl + pr2 (Sxq + Sđáy) 13 pr2h HÌNH TRỤ 2r2 ´ 3,14 Cđáy ´ h Sxq + S2 đáy 3,14r2 ´ h HÌNH CHÓP ĐỀU (AB + BC) × 2 12 Cđáy.h Sxq + Sđáy 13 S ´h HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG AB + BC + AC Cđáy.h Sxq + S2 đáy Sđáy ´ h HÌNH LẬP PHƯƠNG a ´a 2a2 4a2 6a2 a3 HÌNH HỘP CHỮ NHẬT (a + b) ´2 (a ´b) ´ 2 (a ´b) ´ 2 ´h Sxq + S2 đáy a ´b ´h Cđáy S2 đáy Sxq Stp V MỘT SỐ KIẾN THỨC NÂNG CAO Tổng các góc của n – giác lồi bằng (n – 2).180o. Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng 360o. Số đường chéo của n – giác lồi bằng . Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: (d1 và d2 là hai đường chéo). Một tứ giác là tứ giác lồi khi và chỉ khi hai đường chéo của tứ giác cắt nhau. Ba đường trung tuyến của tam giác chia thành sáu tam giác có diện tích bằng nhau. Trong DABC, gọi a, b, c là độ dài các cạnh thì: ; ; . Diện tích hình bán nguyệt: (a là bán kính). Định lí: Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau. Định lí: Hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì bằng nhau. Định lí: Tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác bằng 360o. Trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, hai góc nhọn, các tia phân giác của hai góc kề một cạnh bên vuông góc với nhau. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 3, 4; cạnh huyền bằng 5 (cùng đơn vị đo) gọi là “Tam giác Ai Cập”. Từ đó, ta có thể suy ra các cặp “Tam giác Ai Cập” khác bằng cách nhân lần lượt các cạnh góc vuông này cho 2, 3, 4,… Phương tích của một điểm đối với đường tròn Định lí Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại P và cắt đường tròn tại các điểm tương ứng A, A’ và B, B’. Khi đó: Điều này đúng cho cả ba trường hợp P nằm bên trong, bên ngoài đường tròn khi PA là tiếp tuyến (A=A’). Hệ quả Cho điểm P có khoảng cách đến tâm một góc đường tròn có bán kính r là d. Giả sử cắt đường thẳng di động qua P cắt đường tròn tại hai điểm A và A’. Khi đó ta có Nếu P nằm bên trong đường tròn và Nếu P nằm bên ngoài đường tròn Định nghĩa Cho đại lượng d2 – r2 là phương tích của điểm P đối với đường tròn đã cho (khi P nằm trên đường tròn, ta quy phương tích của P bằng 0). MỘT SỐ ĐỊNH LÍ Định lý Py-ta-go Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông Công thức tổng quát: a2 + b2 = c2. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý Ta-lét (thừa nhận, không chứng minh) Cụ thể trong hình, ta có DE // BC thì suy ra: ĐỊNH LÍ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Cụ thể trong hình, ta có: Định lý Mê-nê-la-uýt (Menelaus) Cho DABC. Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm P, Q, R tương ứng sao cho mỗi điểm không trùng với đỉnh tam giác và có không quá hai điểm thuộc hai cạnh của tam giác. Khi đó ba điểm P, Q, R thẳng hàng khi Định lí Ptôlêmê Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng của tích hai cạnh đối diện. Chứng minh: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Giả sử . Lấy điểm M trên đoạn AC sao cho . Suy ra: (1) (2) Từ (1) và (2) Định lý Xê-va (Céva) Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB của DABC. Lúc đó ba đường thẳng AE, BC, CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi . Định lí Euler và các hệ quả Bổ đề: Cho đường tròn tâm I bán kính r nằm trên trong đường tròn tâm O bán kính R. Giả sử A là điểm tuỳ ý trên đường tròn lớn, AB và AC là hai dây cung của đường tròn này, chúng tiếp xúc với đường tròn nhỏ. Lúc đó, BC là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ khi và chỉ khi . Hệ quả 1: Cho R, r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác cân. Khi đó, khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn này là . Hệ quả 2: Xét đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy tuỳ ý một điểm A1 trên đường tròn ngoại tiếp và dựng các dây cung A1B1, B1C1 sao cho cả hai đều là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp. Lúc đó, C1A1 cũng là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp. Đường thẳng Simson (Sin-sơn) Từ một điểm P trên vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta lần lượt hạ các đường vuông góc xuống BC, CA, AB, chúng tương ứng gặp BC, CA, CB tại A1, B1, C1. Khi đó, các điểm A1, B1, C1 thẳng hàng, và đường thẳng tạo bởi 3 điểm này được gọi là đường thẳng Simson. Công thức Hê-rông (Heron) (p là nửa chu vi; a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác). Đường thẳng Ơ-le Xem trang 1, 2. Đường tròn Ơ-le Đường tròn chín điểm (Ơ-le) là đường tròn đi qua 9 điểm sau của 1 tam giác: chân 3 đường cao, trung điểm 3 cạnh của tam giác, trung điểm của cạnh nối từ trực tâm đến ba đỉnh của tam giác mà tâm của đường tròn này là trung điểm của đoạn nối trực tâm với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. ĐƯỜNG TRÒN VÀ HÌNH TRÒN KIẾN THỨC CĂN BẢN Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu (O; R) là hình gồm các điểm cách điểm O cho trước một khoảng bằng R. Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng. Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Đảo lại, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Ba vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O; R) Vị trí tương đối Hệ thức M nằm trên đường tròn (O) OM = R M nằm trong đường tròn (O) OM < R M nằm ngoài đường tròn (O) OM > R Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau. 2 1 0 d < R d = R d > R Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Nếu 1 đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là 1 tiếp tuyến của đường tròn. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì: Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm. Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giá của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi 2 bán kính đi qua tiếp điểm. Trên hình, ta có Tính chất của đường nối tâm Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. Từ đó suy ra: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r Vị trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d, R và r Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r < d < R + r Hai đường tròn tiếp xúc nhau Tiếp xúc ngoài Tiếp xúc trong 1 d = R + r d = R – r Hai đường tròn không giao nhau Ở ngoài nhau (O) dựng (O’) Đặc biệt (O) và (O’) đồng tâm 0 d > R + r d < R – r OO’=0 Các định lí hình học chương III Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Số đo của cung AB được xác định như sau: (góc ở tâm). . Số đo của nửa đường tròn bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó, tức là bằng 180o. Đặc biệt, nếu điểm đầu và điểm cuối của một cung trùng nhau thì cung đó có số đo bằng 0o, cung gồm cả đường tròn thì c