Ôn tập Toán 7 học kỳ II

ĐỀ CƯƠNG Ôn tập học kì II – Toán 7 A. CÁC DẠNG TOÁN I. THỐNG KÊ Xác định dấu hiệu. Lập bảng tần số Tính số trung bình cộng Trong đó: x; x;… x là k giá trị khác nhau của dấu hiệu X n; n;…n là k tần số tương ứng N là số các giá trị của giá trị Tìm Mốt của dấu hiệu (M0): là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số. Dựng biểu đồ đoạn thẳng Nhận xét dấu hiệu (giá trị cao nhất, thấp nhất; giá trị có tần số cao nhất, thấp nhất; khoảng giá trị chủ yếu (tỉ lệ phần trăm so với tổng số)). II. ĐA THỨC Thu gọn biểu thức Nhân hai đơn thức: Nhân các hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau (áp dụng: xm.xn = xm+n). Chú ý: Tính lũy thừa trước: áp dụng công thức (xm)n = xm.n Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng: cộng, trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến Chú ý: Quy tắc bỏ dấu ngoặc: Nếu trước dấu ngoặc là dấu “– ” thì khi bỏ dấu ngoặc ta phải đổi dấu các hạng tử bên trong dấu ngoặc, Nếu trước dấu ngoặc là dấu “+ ” thì khi bỏ dấu ngoặc ta giữ nguyên các hạng tử bên trong dấu ngoặc. Tính giá trị của biểu thức đại số: Thực hiện theo ba bước Thu gọn biểu thức (nếu có thể). Thay giá trị của biến vào biểu thức. Thực hiện phép tính theo thứ tự: lũy thừa à nhân, chia à cộng, trừ. Tìm bậc: Thu gọn biểu thức trước khi tìm bậc Bậc của đơn thức: Tổng số mũ của các biến. Bậc của đa thức: Bậc của hạng tử có bậc cao nhất. Cộng, trừ đa thức Thu gọn đa thức trước khi cộng, trừ. Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc à Cộng, trừ các hạng tử đồng dạng. Chứng tỏ a là nghiệm (hay không là nghiệm) của đa thức P(x): Tính P(a) Nếu P(a) = 0 x = a là nghiệm của P(x). Nếu P(a) 0 x = a không phải là nghiệm của P(x). Tìm nghiệm của P(x): Cho P(x) = 0 Tìm x Chú ý: f(x). g(x) = 0 f(x) = 0 hoặc g(x) = 0 f2(x) = m (m0) f(x) = Chứng minh đa thức P(x) vô nghiệm: Ta chứng tỏ P(x) > 0, với mọi x hoặc P(x) < 0, với mọi x Chú ý: Lũy thừa bậc chẵn của một số hay một biểu thức luôn luôn không âm (0). Giá trị tuyệt đối của một số hay một biểu thức luôn luôn không âm (0).  III. HÌNH HỌC Sử dụng các kiến thức dưới đây để soạn các dạng toán theo hướng dẫn bên dưới Tổng ba góc của một tam giác, góc ngoài của tam giác. Các trường hợp bằng nhau của tam giác và tam giác vuông. Tam giác vuông, tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều. Định lý Py-ta-go. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. Bất đẳng thức tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác: đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao. Các dạng toán Phương pháp giải Ghi chú Chứng minh hai tam giác bằng nhau Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Chứng minh hai góc bằng nhau Chứng minh tam giác vuông Chứng minh tam giác cân Chứng minh tam giác đều Chứng minh tam giác vuông cân Chứng minh hai đường thẳng song song Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Chứng minh ba điểm thẳng hàng Tính số đo góc Tính độ dài đoạn thẳng So sánh hai góc (không bằng nhau) So sánh hai đoạn thẳng (không bằng nhau) B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm hệ số, phần biến và bậc của chúng Thu gọn, tìm bậc và tính giá trị của các đa thức sau tại x = 2 và y = - 1 tại x = 0,2 và y = - 2 tại x = 2 tại x = - 3 a) Thu gọn, sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến rồi tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do. f(x) = . b) Tính f(2), f(-1). Tính tổng và hiệu của các đa thức sau: Kiểm tra xem: a) x = 0,5 có phải là nghiệm của đa thức 5 – 10x không? b) Mỗi số 1; -2; 2 có phải là nghiệm của đa thức x2 + x – 2 không? Chứng tỏ các đa thức sau vô nghiệm:a) x2 + 2012 b) 3x2 + 5 c) y4 + 1 d) x4 + 2x2 + 7 e) – x2 – 4 f) – 2011 – 5y2 Tìm nghiệm của các đa thức: a) 2x + 3 b) 2 – 5x c) d) (x – 2)(x + 2) e) (x – 1)(x – 3)(2x + 6)  f) x2 – 16 g) 2x2 – 0,5 h) (x – 1)(x2 + 1) i) (2x + 5)(x2 – 9) Cho ΔABC, vẽ AH vuông góc với BC tại H. Biết BH = 9cm, CH = 16cm.  a) Tính AB, AC b) Chứng minh: ΔABC là tam giác vuông. Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 1cm. Tìm độ dài cạnh BC biết độ dài này là một số nguyên (cm). Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh bằng 4m và 9m. Cho ΔABC có AB = AC = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính GA. Cho ΔABC có AB = 5cm, AB = 13cm và AC = 12cm. a) ΔABC là tam giác gì? b) So sánh các cạnh của ΔABC Cho biết ΔABC là tam giác gì và so sánh các cạnh của nó trong các trường hợp sau: a) b) Cho ΔABC biết , vẽ AH vuông góc với BC tại H. Lấy D nằm giữa A và H. So sánh: a) AB và AC b) HB và HC c) và Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không? a) 5cm, 10cm, 12cm b) 1m, 2m, 2,2m c) 1,2m, 1m, 2,2m Cho ΔABC, AM là đường trung tuyến của ΔABC. Trên tia đối của tia MA, lấy D sao cho MD = MA. Chứng minh: a) ΔAMB = ΔDMC b) AB // CD c) AB + AC > 2AM. Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm. a) Tính độ dài các đoạn thẳng AH. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng?c) Chứng minh: ΔABG = ΔACG. Cho ΔABC cân tại A, BM và CN là hai đường trung tuyến, G là trọng tâm. a) Chứng minh: Tam giác GBC cân  b) Vẽ AK vuông góc với BC tại K. Chứng minh: AK, BM, CN đồng quy. Cho tam giác ABC biết AB = AC = 5cm, BC = 6cm, AM là đường trung tuyến. a) Tính AM b) Chứng minh: M cách đều hai cạnh AB và ACc) Từ B và C vẽ hai đường thẳng vuông góc với AB và AC cắt nhau tại O. Chứng minh A, M, O thẳng hàng. Cho DABC, , AM là đường trung tuyến. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA. a) Các tam giác ABC, ABM và ACM là tam giác gì? Vì sao? b) Chứng minh AB = CD. c) Chứng minh CD ^ AC. C. CÁC ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ 1 Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm hệ số và bậc của chúng Tính giá trị của các đa thức sau và tìm bậc của chúng tại x = 3 và y = - 2 Cho các đa thức: A(x) = x2 +5x4 – 3x3 + x2 – 4x4 + 3x3 – x + 5 ; B(x) = x – 5x3 – x2 – x4 + 5x3 – x2 + 3x – 1 a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm của biến. b) Tính A(x) + B(x) và B(x) – A(x). Tìm nghiệm của các đa thức: a) 3x + 7 b) (5 – 4x)(5 + 10x) Cho DABC có AB < AC và AD là đường phân giác. Trên cạnh AC, lấy điểm E sao cho AB = AE. a) Chứng minh DB = DE b) So sánh BD và CD c) Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh DABF cân. d) Chứng minh DBEF vuông. ĐỀ 2 Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm hệ số và bậc của chúng a) b) c) Tính giá trị của các đa thức sau và tìm bậc của chúng a) A(x) = 2x2 – 5x – 7 tại x = -1 ; b) tại x = 2 ; y = -1 Cho A(x) = - 4x– x+ 4x+ 5x + 9 + 4x– 6x – 2 ; B(x) = - 3x – 4x + 10x- 8x + 5x – 7 + 8x a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm của biến . b) Tính A(x) + B(x) và A(x) – B(x). c) Đặt P(x) = A(x) + B(x). Chứng tỏ x = -1 là nghiệm của đa thức P(x) Tìm nghiệm của các đa thức: a) 3x – 2 b) x2 – 25 Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại I a) Chứng minh ∆BNC = ∆CMB b) Chứng minh ∆BIC cân tại I c) Chứng minh BC < 4.IM ĐỀ 3 Điểm kiểm tra toán của lớp 7A được ghi lại như sau: 10 5 8 8 5 7 8 9 4 8 5 7 8 7 9 8 10 7 4 8 9 8 9 6 6 9 10 5 5 4 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? số các giá trị là bao nhiêu? b) Lập bảng tần số và rút ra nhận xét. c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu. Tìm đa thức M biết: a) M + (- 5x2 + 2xy) = - 4x2 + 6xy – y2 b) M – (3x2 - 2xy + 1) = 2x2 + 3xy – 2 Cho các đa thức: a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm của biến . b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x). c) Đặt M(x) = P(x) + Q(x). Xét các số 0; 1; – 3 có là nghiệm của M(x) không? Chứng tỏ các đa thức sau vô nghiệm: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 12cm, BC = 20cm. a) Tính AC và so sánh các góc của tam giác ABC. b) Vẽ AH ^ BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD. Chứng minh: tam giác BAD cân. c) Chứng minh tam giác BDC vuông. d) Gọi M là trung điểm của AB và K là hình chiếu của H lên DC. Chứng minh M, H, K thẳng hàng. ĐỀ 4 Thu gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau: 3x(-5x2y) – (2xy + 5 – 15x3y) tại x = – 2 và y = 3 Cho các đa thức: a) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x). b) Đặt M(x) = P(x) – Q(x). Tính Tìm nghiệm của đa thức sau: 3(2x – 5) – 5(7x + 8) Cho ΔABC vuông tại A có . Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ CK vuông góc với tia BD ở K. Chứng minh: a) ΔABK đều và ΔBCD cân b) AB = CK c) ΔAKB = ΔKAC d) BC = 2AB. ĐỀ 5 Tính tích của các đơn thức sau rồi tìm bậc của kết quả: a) Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 3x + 21 b) Xác định a để đa thức x2 – ax + 6 nhận 2 làm nghiệm. c) Chứng minh đa thức Q(x) = 2x4 + x + 2011 không có nghiệm dương Cho hai đa thức A = 5x2 – 6xy + 7y2 và B = 4x2 + 6xy – 2y2 a) Tính A + B và A – B b) Tìm đa thức C biết B + C = 2x2 + 6xy Cho P(x) = x4 – 2012x3 + 2012x2 – 2012x + 2012. Tính P(2011). Cho ΔABC cân tại A (Â < 900), vẽ BD ^ AC và CE ^ AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a) Chứng minh: ΔABD = ΔACE b) Chứng minh ΔAED cân c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED d) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh ΔECB = ΔDKC ĐỀ 6 Cho đơn thức:  a) Thu gọn M rồi tìm hệ số và phần biến của đơn thức. b) Tính giá trị của M tại x = – 1 và y = 2. Cho các đa thức: P(x) = 2x5 + 4x2 – 10x + x4 + Q(x) = 2x5 – 4x4 + 6 + x2 – 10x a) Tính P(x) + Q(x)  và P(x) – Q(x). b) Đặt M(x) = P(x) – Q(x) . Tính giá trị của M(x) khi x = c) Chứng minh đa thức M(x) vô nghiệm. Cho đa thức: P(x) = 15 – x6 + 3x5 – x. Tìm  đa thức Q(x) sao cho: a) P(x) – Q(x) là đa thức bậc 0 b) P(x) và Q(x) là hai đa thức đối nhau Tìm nghiệm của các đa thức:  a) P(x) = 3x + 6 b) Q(x) = (2x – 7) + (x – 14) c) R(x) = 4(2x – 3) – 3(7 – x) Cho tam giác vuông tại A, BI là đường phân giác. Từ I kẻ đường vuông góc với BC tại D và cắt đường thẳng AB ở E. Chứng minh: a) ΔABI = ΔDBI. Từ đó suy ra BI là đường trung trực của AD b) AE = CD và CD < IE c) BI ^ EC  ĐỀ 7 Cho đơn thức:  a) Thu gọn M rồi tìm hệ số và phần biến của đơn thức. b) Tính giá trị của M tại x = – 1 và y = – 3. Cho các đa thức: P(x) = 3x + 2x -10x + 3 Q(x) = - 3x + x -2x - 10x -1 a) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x). b) Đặt M(x) = P(x) + Q(x). Tính giá trị của M(x) khi x = -2  a) Cho P(x) = x2 + 3x + 2. Chứng tỏ x = – 2 là nghiệm của P(x). b) Thu gọn và tìm nghiệm của đa thức sau: R = - x –x– 7xy + 0,5 + 7xy + + 3x - x – 2x Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 9cm, BC = 12cm. a) Tính AC và so sánh các góc của tam giác ABC. b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Chứng minh tam giác BCD cân c) Gọi K là trung điểm của cạnh BC, Đường thẳng DK cắt cạnh AC tại M. Tính MC. d) Đường trung trực của cạnh AC cắt đường thẳng DC tại Q. Chứng minh B, M, Q thẳng hàng. ĐỀ 8 Tìm nghiệm của các đa thức: a) -2x + 8 b) c) Cho các đa thức: P(x) = 5x + 2x – 5 – 6x Q(x) = - 6x + 5x + 4 –x  a) Tính P (x) + Q (x) và P (x) – Q (x). b) Đặt R(x) = P (x) – Q (x). Tính giá trị của  đa thức R(x) tại x = Cho đa thức A(x) = (3x – 7) – 2(4 – x) a) Hãy thu gọn rồi tính giá  trị của A tại x = -5 b) Tìm x để A(x) = 10 Cho đa thức Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d, biết a + c = b + d. Chứng minh x = – 1 là nghiệm của Q(x). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, BD là đường phân giác. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. a) Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BC. b) Chứng minh tam giác ADE cân. c) Chứng minh DA < DC. d) Vẽ CF vuông góc với BD tại F. Chứng minh AB, DE, CF đồng quy. D. CÁC ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008 - 2009 (1 điểm) Tính tích hai đơn thức xy và 6xy rồi tìm hệ số và bậc của tích tìm được. (2 điểm) Cho đa thức A = -2xy + 3xy + 5xy + 5xy +1 a) Thu gọn đa thức A. b) Tính giá trị đa thức A tại x = ; y = -1 (1 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau:  a) 3x – 9 b) x – 2x (2,5 điểm) Cho hai đa thức:  A(x) = x – 2x + x – 5 + 5x B(x) = - x + 4x – 3x – 6x + 7 a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến b) Tính A(x) + B(x) ; A(x) - B(x) (3,5 điểm) Cho ΔABC vuông tại A, phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DH BC tại H . a) Chứng minh: ABD = HBD. b) Chứng minh BD là đường trung trực của AH. c) Gọi E là giao điểm của DH và BA . Chứng minh BD CE ; BCE là tam giác gì? ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009 - 2010 (1 điểm) Cho các đơn thức 4x3y2z và – 0,25x3y4z5 a) Tìm bậc của mỗi đơn thức trên b) Tính tích của các đơn thức trên. (3,5 điểm)  1) Thu gọn đa thức sau và tìm bậc: A = 5x6y2 + 4x3y3 – 5x6y2 + x3y3 – 3x5y2 + – 3x5y2 2) Cho hai đa thức: P(x) = 2x3 + 3x2 – 4x + 5 Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 2  a) Tính P(x) + Q(x) b) P(x) - Q(x) (2 điểm) Cho đa thức f(x) = x4 + x2 – 2  a) Tính giá trị của đa thức tại x = 0 và x = – 1. Tại các giá trị của x đã cho, giá trị nào của x là một nghiệm của f(x)? b) Chứng tỏ rằng đa thức g(x) = f(x) + 3 không có nghiệm. (3,5 điểm)  1) So sánh các cạnh của tam giác MNP biết . 2) Cho tam giác ABC có AB = AC = 15cm, BC = 24cm. Gọi M là trung điểm của BC. a) Tính AM. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính AG. ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011 (2 điểm)  a) Tính tích hai đơn thức và rồi tìm bậc của tích tìm được. b) Tính giá trị đa thức sau: 3x2 – 3xy2 + y3 tại x = 3 và y = – 1 (2,5 điểm) Cho hai đa thức:  P(x) = 7x + x – 5x – 3x3 + 2 Q(x) = x + 2x3 – 1 + 3x – x4 – 4x2 a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x) (2 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau:  a) 2x + 6 b) (x – 5)(2x + 1) (3,5 điểm) Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng: a) Chứng minh: BAE = BDE. b) Chứng minh BE là đường trung trực của AD. c) AD là tia phân giác của góc HAC. ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 1: (2 điểm) a) Thu gọn biểu thức sau và cho biết bậc của đơn thức tìm được: b) Tính giá trị của biểu thức đại số tại x = 20 Câu 2: (2 điểm) Cho hai đa thức: , a) Tính b) Tính Câu 3:(21 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) 5x + 6 b) Câu 4: (0.5 điểm) Rút gọn biểu thức: Câu 5:(3.5điểm) Cho ∆ABC vuông A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC . Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh: a) ∆ABE = ∆HBE b) BE là đường trung trực của AH c) EK = EC