Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Đề số 19

TRƯỜNG THPT THANH BÌNH 2 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011 ĐỀ SỐ 20 KHỐI: A Thời gian: 180 phút(không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . Câu II (2 điểm) Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 Giải phương trình: x2 – 4x - 3 = Câu III (1 điểm) Tính tích phân: Câu IV (1 điểm) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất . Câu V ( 1 điểm ) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . CMR: PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a.( 2 điểm ) 1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1) 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) và (d’) Viết phương trình tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . Câu VIIa . ( 1 điểm ) Tính tổng : B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b.( 2 điểm ) 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) và (d’) a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Câu VIIb.( 1 điểm ) Giải phương trình : ----------------------------- Hết ----------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ®¸p ¸n C©u Néi dung §iÓm I 2.0® 1 1.25® Hµm sè y = cã : - TX§: D = \ {2} - Sù biÕn thiªn: + ) Giíi h¹n : . Do ®ã §THS nhËn ®­êng th¼ng y = 2 lµm TCN , . Do ®ã §THS nhËn ®­êng th¼ng x = 2 lµm TC§ +) B¶ng biÕn thiªn: Ta cã : y’ = < 0 y’ y x - 2 - 2 2 2 Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng vµ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ - §å thÞ + Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ; ) + Giao ®iÓm víi trôc hoµnh : A(3/2; 0) - §THS nhËn ®iÓm (2; 2) lµm t©m ®èi xøng 0,25 0,25 0,25 0,5 2 0,75đ Lấy điểm . Ta có : . Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình : Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2) Ta có : . Dấu “=” xảy ra khi m = 2 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ II 2,0® 1 1,0® Phương trình đã cho tương đương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0 Xét Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với . Khi đó phương trình trở thành: Suy ra : 0,25 0,25 0,5 2 1,0® x2 - 4x + 3 = (1) TX§ : D = ®Æt y - 2 = , Ta cã hÖ : 0,25 0,25 0,5 III 1.0® 1® Ta có : = . Đặt Đổi cận : Vậy I2= Nên I = 1 0,5 0,5 IV 2® 1.0® Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có : ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Vậy Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay Vậy MaxVSABC = , đạt được khi sin = hay ( với 0 < ) 0,25 0,5 V 1.0® +Ta có : ;; + Lại có : cộng các BĐT này ta được đpcm. 1® VIa 2® 1 1® Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) . Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên : 9a2 + 100ab – 96b2 = 0 Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác . Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1® Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP Ta có : Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm) Khi đó : 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa 1đ Chọn khai triển : Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là : Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)12 là : Từ đó ta có : = = 792 .0,25 0,25 0,25 0,25 VIb 2đ 1 1đ Đường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán kính R1 = 5 . Nếu đường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) thì khoảng cách từ I1 và I2 đến đường thẳng đó lần lượt bằng R1 và R2 , tức là : Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ được A = - 14 , C = Vậy có hai tiếp tuyến : (- 14 )x + 21y = 0 TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) , thay vào (2) ta được : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 . Phương trình này vô nghiệm . 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1® a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy . Ta đặt : Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ làm VTCP và chúng có phương trình là : và VIIb 1® ĐK : x > 0 PT đã cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1) Đặt t = log2x, suy ra x = 2t (2) Xét hàm số : f(t) = f'(t) = Suy ra f(t) nghịch biến trên R Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log2x = 1 hay x =2 Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 2 0,25 0,25 0,25 0,25