Ôn thi Hình học vào Lớp 10

ÔN THI 10 Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BC .Điểm A thuộc nửa đường tròn đó Dưng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đường tròn Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. Giải a. Ta có KEB= 900 mặt khác BFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) do CF kéo dài cắt ED tại D => BFK= 900 => E,F thuộc đường tròn đường kính BK hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đường tròn đường kính BK. b. BCF= BAF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Mà BAF= BAE=450( tính chất hình vuông)=> BCF= 450 Ta có BKF= BEF( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Mà BEF= BEA=450(EA là đường chéo của hình vuông ABED) => BKF=450 Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B Bài 2 : Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành. b, Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng. c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất. Giải a. Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH và BH => BD và CD. Do đó: ABD = 900 và ACD = 900 . Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD của đường tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành. Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhưng ADB =ACB nhưng ADB = ACB Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB Chứng minh tương tự ta có: CHQ = DAC Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c). Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn nhất ú AP và AQ là lớn nhất hay ú AD là lớn nhất ú D là đầu đường kính kẻ từ A của đường tròn tâm O Bài3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD. a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I là trung điểm của MN. b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi. c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định. Giải Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N Do MâN = 900 nên MN là đường kính Vậy I là trung điểm của MN b) Kẻ MK // AC ta có : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì ΔMKD vuông cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta có IA = IB = IM = IN Vậy đường tròn ngoại tiếp ΔAMN đi qua hai điểm A, B cố định . Bài 4 Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc éxOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.Chứng minh rằng: a. DE là tiếp tuyến của đường tròn ( O ). B M A O C D E b. a.áp dụng định lí Pitago tính được AB = AC = R ABOC là hình vuông Kẻ bán kính OM sao cho éBOD = éMOD éMOE = éEOC Chứng minh DBOD = DMOD éOMD = éOBD = 900 Tương tự: éOME = 900 D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). b.Xét DADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2RDE < R Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Bài 5: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC. a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d. Giải a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có ; (1) Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => D AHC D POB Do đó: (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH O B C H E A P b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) và do AH = 2EH ta có AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB từng vế ta được: 3DE > 2R DE > R Vậy R > DE > R Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q. Chứng minh DM.AI= MP.IB Tính tỉ số : Giải Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=> MPD đồng dạng với ICA => => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1). Ta có góc ADC = góc CBA, Góc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - góc AIM = góc BIA. Do đó DMQ đồng dạng với BIA => => DM.IA=MQ.IB (2) Từ (1) và (2) ta suy ra = 1 Bài 7 Cho tam giác ABC đường phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Chứng minh rằng AI = (Cho Sin2) Giải + + + Bài 8: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450. Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đường chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q. a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đường tròn. b/ Chứng minh rằng: SAEF = 2SA Q P c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD=CMD Giải a/ A1 và B1 cùng nhìn đoạn QE dưới một góc 450 ị tứ giác ABEQ nội tiếp được. ị FQE = ABE =1v. chứng minh tương tự ta có FBE = 1v ị Q, P, C cùng nằm trên đường tròn đường kinh EF. b/ Từ câu a suy ra ∆AQE vuông cân. ị = (1) tương tự ∆ APF cũng vuông cân ị = (2) từ (1) và (2) ị AQP ~ AEF (c.g.c) = ( )2 hay SAEF = 2SAQP c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD và APD=CPD ịMCD= MPD=APD=CPD=CMD ịMD=CD ị ∆MCD đều ị MPD=600 mà MPD là góc ngoài của ∆ABM ta có APB=450 vậy MAB=600-450=150 Bài 9: Cho đường tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho AC>AB và AC > BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD và CE. a. Chứng minh rằng DE// BC b. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp c. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F Chứng minh hệ thức: = + Giải a. SđCDE = Sđ DC = Sđ BD = => DE// BC (2 góc vị trí so le) b. APC = sđ (AC - DC) = AQC => Tứ giác APQC nội tiếp (vì APC = AQC cùng nhìn đoan AC) c.Tứ giác APQC nội tiếp CPQ = CAQ (cùng chắn cung CQ) CAQ = CDE (cùng chắn cung DC) ị CPQ = CDE => DE// PQ Ta có: = (vì DE//PQ) (1) = (vì DE// BC) (2) Cộng (1) và (2) : => (3) ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy ra PQ = CQ Thay vào (3) : Bài 10: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn; vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh : tgB . tgC = Chứng tỏ rằng : HG // BC tgB . tgC = 3 a) (2,5 điểm) Xét tg B = Xét tg C = tg B . tg C = Ta có BDH ~ ADC BD . DC = DH . AD tgB . tgC = b)Ta có Do đó Xét ADM có : HG // BC HG // DM tgB.tgC = 3