Ôn thi môn vào lớp 10 môn Toán - Phương trình tham số - Sự tương giao giữa (D) & (P)

Phương trỡnh tham số- Sự tương giao giữa (D) & (P) Nguyễn Văn Quốc – THCS Gio Hải 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đ−ờng thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P) :y = x2 . a) Vẽ (P) và (d) khi m = 1. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đ−ờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. c)Tìm m để diện tích ∆ OAB bằng 2. 2. Cho ph−ơng trình x2 – mx + m2 – 5 = 0 (m là tham số) a) Giải ph−ơng trình với m = 1 2+ . b) Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm trái dấu. c) Với những giá trị của m mà ph−ơng trình có nghiệm, hHy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm đó. 3. Cho ph−ơng trình (x + 1)4 – (m – 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0. (*) a) Giải ph−ơng trình với m = -1. b) Chứng minh rằng ph−ơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. c) Tìm các giá trị của m để 1 2 2x x+ = 4. Trong hệ tọa độ vuông góc xOy cho Parabol : y = x2 (P) và đ−ờng thẳng y = x + m (d). Tìm m để (d) cắt hai nhánh của (P) tại A và B sao cho ∆ AOB vuông tại O. 5. Cho ph−ơng trình : x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn) a) Xác định m để ph−ơng trình có một nghiệm x = -1 và tìm nghiệm còn lại. b) Chứng minh rằng ph−ơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. c) Với giá trị nào của m thì x1 2 + x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = -x2 và đ−ờng thẳng (d) đi qua điểm I (0;-1) có hệ số góc k. a) Viết ph−ơng trình của đ−ờng thẳng (d). Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Gọi hoành độ của A và B là x1 và x2 , Chứng minh rằng 1 2 2x x− ≥ . c) Chứng minh rằng ∆ OAB vuông. 7. Cho ph−ơng trình: x2 – (m-2)x – m2 + 3m – 4 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để tỉ số hai nghiệm của ph−ơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2. Phương trỡnh tham số- Sự tương giao giữa (D) & (P) Nguyễn Văn Quốc – THCS Gio Hải 8. Cho ph−ơng trình : x + 3(m – 3x2)2 = m. a) Giải ph−ơng trình với m = 2. b) Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm. 9. Trên mặt phẳng tọa độ cho đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình : 2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số) a) Với giá trị nào của k thì đ−ờng thẳng (d) song song với đ−ờng thẳng 3y x= . Khi đó hHy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox. b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) là lớn nhất. 10. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho đ−ờng thẳng (d) : 2x – y – a2 = 0 và parabol (P): y = ax2 . ( a là tham số d−ơng). a) Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung.. b) Gọi xA và xB là hoành độ của A và B, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 A B A B T x x x x = + + . 11. Cho hàm số )( 2 1 2 Pxy −= a. Vẽ đồ thị của hàm số (P) b. Với giá trị nào của m thì đ−ờng thẳng y=2x+m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt A và B. Khi đó hHy tìm toạ độ hai điểm A và B. 12. Xét ph−ơng trình: x2-12x+m = 0 (x là ẩn). Tìm m để ph−ơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mHn điều kiện x2 =x1 2. 13. Cho Parabol y=x2 và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình y=2mx-m2+4. a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng b. Chứng minh rằng Parabol và đ−ờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất? 14. Tìm giá trị của a để ph−ơng trình: (a2-a-3)x2 +(a+2)x-3a2 = 0 nhận x=2 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của ph−ơng trình? 15. Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1), N(5;-1/2) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình y=ax+b 1. Tìm a và b để đ−ờng thẳng (d) đi qua các điểm M và N? 2. Xác định toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng MN với các trục Ox và Oy. 16. Cho hàm số: y=x2 (P) y=3x=m2 (d) 1. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m, đ−ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Phương trỡnh tham số- Sự tương giao giữa (D) & (P) Nguyễn Văn Quốc – THCS Gio Hải 2. Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đ−ờng thẳng (d) và (P). Tìm m để có đẳng thức y1+y2 = 11y1y2 17. Xác định giá trị của m trong ph−ơng trình bậc hai: x2-8x+m = 0 để 34 + là nghiệm của ph−ơng trình. Với m vừa tìm đ−ợc, ph−ơng trình đH cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại ấy? 18. Cho parabol (P) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: (P): y=x2/2 ; (d): y=mx-m+2 (m là tham số). 1. Tìm m để đ−ờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x=4. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đ−ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 3. Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm của đ−ờng thẳng (d) và (P). Chứng minh rằng ( )( )2121 122 xxyy +−≥+ . 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: (P): y=x2 (d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số) 1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng (d) và (P). 2. Chứng minh rằng với mọi a đ−ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 3. Gọi hoành độ giao điểm của đ−ờng thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để x1 2+x2 2=6. 20. Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho parabol (P) có ph−ơng trình y=- 2x2 và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình y=3x+m. 1. Khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d). 2. Tính tổng bình ph−ơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. 21. Cho ph−ơng trình x2+px+q=0 ; q≠0 (1) 1. Giải ph−ơng trình khi 2;12 −=−= qp . 2. Cho 16q=3p2. Chứng minh rằng ph−ơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. 3. Giả sử ph−ơng trình có 2 nghiệm trái dấu, chứng minh ph−ơng trình qx2+px+1=0 (2) cũng có 2 nghiệm trái dấu. Gọi x1 là nghiệm âm của ph−ơng trình (1), x2 là nghiệm âm của ph−ơng trình (2). Chứng minh x1+x2≤-2. 22. Cho ph−ơng trình: x2- (m-1)x-m=0 (1) 1. Giả sử ph−ơng trình (1) có 2 nghiệm là x1, x2. Lập ph−ơng trình bậc hai có 2 nghiệm là t1=1-x1 và t2=1-x2. 2. Tìm các giá trị của m để ph−ơng trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mHn điều kiện: x1<1<x2. Phương trỡnh tham số- Sự tương giao giữa (D) & (P) Nguyễn Văn Quốc – THCS Gio Hải 23. Cho đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình là y=mx-m+1. 1. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đ−ờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định ấy. 2. Tìm m để đ−ờng thẳng (d) cắt y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho 3=AB . 24. Cho hệ ph−ơng trình: ( )  +=+− −=− 22 121 mmyxm mymx 1. Chứng tỏ ph−ơng trình có nghiệm với mọi giá trị của m. 2. Gọi (x0;y0) là nghiệm của ph−ơng trình, xhứng minh với mọi giá trị của m luôn có: x0 2+y0 2=1 25. Cho ph−ơng trình: x4-2mx2+m2-3 = 0 1. Giải ph−ơng trình với m= 3 . 2. Tìm m để ph−ơng trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. 26. Cho ph−ơng trình: x2-2mx+m2- 0,5 = 0 1. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm và các nghiệm của ph−ơng trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau. 2. Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. 27. Tìm m để ph−ơng trình: 0122 =+−−− mxxx , có đúng 2 nghiệm phân biệt. 28. Cho ph−ơng trình: x2-2(m+1)x+m2-1 = 0 với x là ẩn, m là số cho tr−ớc. 1. Giải ph−ơng trình đH cho khi m = 0. 2. Tìm m để ph−ơng trình đH cho có 2 nghiệm d−ơng x1,x2 phân biệt thoả mHn điều kiện x1 2-x2 2= 24 29. Cho ph−ơng trình: mxx =−+− 95 với x là ẩn, m là số cho tr−ớc. 1. Giải ph−ơng trình đH cho với m=2. 2. Giả sử ph−ơng trình đH cho có nghiệm là x=a. Chứng minh rằng khi đó ph−ơng trình đH cho còn có một nghiệm nữa là x=14-a. 3. Tìm tất cả các giá trị của m để ph−ơng trình đH cho có đúng một nghiệm. 30. Cho các đoạn thẳng: (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx (m là tham số) 1. Tìm toạ độ các giao điểm A, B, C theo thứ tự của (d1) với (d2), (d1) với trục hoành và (d2) với trục hoành. 2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai đ−ờng thẳng (d1), (d2). Phương trỡnh tham số- Sự tương giao giữa (D) & (P) Nguyễn Văn Quốc – THCS Gio Hải 3. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai tia AB và AC 31. Cho parabol (P) và đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: (P): y=mx2 (d): y=2x+m trong đó m là tham số, m≠0. 1. Với m= 3 , tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng (d) và (P). 2. Chứng minh rằng với mọi m≠0, đ−ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 3. Tìm m để đ−ờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ là ( ) .)21(;21 33 −+ 32. Cho parabol y=2x2 và đ−ờng thẳng y=ax+2- a. 1. Chứng minh rằng parabol và đ−ờng thẳng trên luôn xắt nhau tại điểm A cố định. Tìm điểm A đó. 2. Tìm a để parabol cắt đ−ờng thẳng trên chỉ tại một điểm. 33. Cho hàm số y=ax2+bx+c 1. Tìm a, b, c biết đồ thị cắt trục tung tại A(0;1), cắt trục hoành tại B(1;0) và qua C(2;3). 2. Tìm giao điểm còn lại của đồ thị hàm số tìm đ−ợc với trục hoành. 3. Chứng minh đồ thị hàm số vừa tìm đ−ợc luôn tiếp xúc với đ−ờng thẳng y=x-1.