Ôn thi THPT môn Toán - Chủ đề 1: Nhận biết hình

Chủ đề 1: Nhận biết hình Bài 1: a) Cho (O) đường kính AB . Trên AB lấy E. Qua E vẽ dây CD vuông góc với AB. Trên BE lấy F. Vẽ các dây CM, DN đi qua F. Chứng minh CDMN là hình thang cân. b) Cho hbh ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Vẽ đường tròn tâm O cắt các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Hãy xác định dạng của tứ giác MNPQ. Bài 2: Cho (O; R) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Qua M và N vẽ các dây CD, EF song song với nhau (C, E thuộc cùng một nửa mp bờ AB). a) Chứng minh CDFE là hình chữ nhật. b) Cho OM = R, góc nhọn giữa CD và OA bằng 600, tính diện tích hình chữ nhật DFE. Bài 3. Từ A bên ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB, cát tuyến ACD.Tia phân giác góc BAC cắt BC, BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF MN cắt MN tại H, cắt CD tại E. chứng minh: a) b) cân c) FD2 = FE.FB Bài 4: Cho (O) đường kính AB, dây MN vuông góc với AB. Gọi C là điểm thuộc cung MB. Tiếp tuyến tại C cắt MN tại K. Gọi giao điểm của AC, BC với MN theo thứ tự là F, I. Cmr: a. Tam giác KFC là tam giác cân. b. , KI = KC. b) Bài 5. Cho (O), hai dây AB, CD vuông góc với nhau tại M. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của A và C trên BD. CK cắt AB tại F, AH cắt CD tại E. (Hình b) a) CD là tia phân giác của b) Tứ giác ACFE là hình thoi. Bài 6: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh AD. Vẽ đường tròn (O) đường kính MB, cắt AC tại E. Gọi K là giao điểm của ME và DC. CMR: a) Tam giác BEM cân b) EM = ED c) Bốn điểm B, M, D, K cùng thuộc một đường tròn. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a) Cmr E đối xứng với M qua AB. b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? vì sao? c) Cho BC = 4 cm, tính chu vi của tứ giác AEBM. d) Tam giác vuông ABC phải có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông. Bài 8: Cho (O; R) và dây AB cố định, M thuộc cung lớn AB, I là điểm chính giữa của dây cung AB. vẽ đường tròn O1 qua M tiếp xúc với AB tại A. Tia MI cắt (O1) tại N và cắt (O) tại C. a) Chứng minh ANBC là hình bình hành. b) Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. c) Xác định vị trí của M trên cung lớn AB để diện tích của tứ giác ANBC lớn nhất. Chủ đề 2: Tam giác đồng dạng, cm đẳng thức Bài 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O, . Gọi E là giao điểm của 2 đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng: a) ; b) EA.ED = EB.EC Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD. Kẻ AI vuông góc với BD. Chứng minh rằng: a) DH.DA = DI.DB b) DA.DH + DC.DK = DB2. Bài 3. Tam giác ABC có 2 trung tuyến AK, CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên AC, vẽ PE // AK, PF // CL (E . Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn EF theo thứ tự tại M, N. Gọi H, I lần lượt là giao điểm của PF và AK; PE và CL. CMR: a) b) FM = MN = NE. Bài 4: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A; B. Vẽ các dây AC của (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) và dây AD của (O’) tiếp xúc với (O). cmr: a) BC.BD = BA2 b) Bài 5: Từ 1 điểm A bên ngoài (O) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của góc BAC cắt BC, BD lần lượt tại M, N. Vẽ dây cung BF vuông góc với MN tại H, cắt CD tại E. Cmr: a) cân b) FD2 = FE.FB Bài 6: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại E và F. Đường thẳng xy tiếp xúc với đường tròn tâm O tại P, tiếp xúc với đường tròn tâm O’ tại Q và cắt đường thẳng EF tại M sao cho F nằm giữa E và M. a. Chứng minh: MEP MPF. b. Cho P, Q cố định. Chứng minh rằng khi các điểm O và O’ thay đổi thì đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. c. Chứng minh: ME + MF ³ PQ. MEP MPF => Tương tự: Bài 7. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao AH. Vẽ (A; R) với R < AH. Từ B kẻ tiếp tuyến BM với đường trũn. Đường thẳng HM cắt đường trũn tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng: a) b) , từ đú chỉ ra đường thẳng CN là tiếp tuyến của (A). HD: a) AMBH nội tiếp => => b) cú: AB = AC; AM = AN; => => Vậy CN là tiếp tuyến của (A). Chủ đề 3: Tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN (C không trùng với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh: a) IECB nội tiếp. b) AME ACM và AM2 = AE.AC c) AE.AC - AI.IB = AI2. Bài 2: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, = 450. Vẽ các đường cao BD, CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a) Chứng minh ADHE nội tiếp và HD = DC. b) Tính tỉ số . c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: c1) O thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC. c2) OA vuông góc với DE. C1: C/m C2. Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. a) Chứng minh BC // DE. b) CODE; APQC là các tứ giác nội tiếp. c) Tứ giác BCQP là hình gì? Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc CD sao cho góc MBN = 450. Gọi giao điểm của BM, BN với AC lần lượt là E, F. a) Chứng minh BCNE nội tiếp b) BFM là tam giác gì? c) Chứng minh M, E, F, N, D cùng thuộc 1 đường tròn. d) Gọi H là giao điểm của NE và MF. Chứng minh BH MN. Bài 5: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Tia OA cắt (O’) tại C, tia O’A cắt (O) tại D. Chứng minh: a) OO’CD nội tiếp. b) điểm O, O’, B, C, D cùng 1 dường tròn. Bài 6: Cho tam giác nhọn ACB nội tiếp (O), BD và CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại D’ và E’. CMR: a) BEDC nội tiếp. b) DE // D’E’. c) OA DE. d) Cho BC cố định. Chứng minh khi A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn thì bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi. (; => = => HE là tiếp tuyến của (O’). Bài 7: Cho nửa (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa (O) sao cho . Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mp bờ AB, không chứa điểm C. Goi F là giao điểm của AE và và nửa (O; R). K là giao điểm của CF và ED. a) CM các điểm E, B, F, K cùng thuộc 1 đường tròn, chỉ rõ tâm của đường tròn đó. b) BKC là tam giác gì? c) Chứng minh AE luôn đi qua điểm cố định khi A di động, từ đó tìm vị trí của A để diện tích tam giác ABF lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó theo R. (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). => b) BEKF nội tiếp => ABCF nội tiếp => c) F là điểm chính gữa cung AB. F cố định. Bài 8. Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Kẻ OH AD. a) Chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp BCH. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OD. Chứng minh: b1) b2) B, C, H, M, N cùng thuộc 1 đường tròn. Chủ đề 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng + 3 đường đồng qui Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O). Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C cắt AD tại M. Chứng minh: a) AD là tiếp tuyến của (O). b) AC, BD, OM đồng quy. HD: sđ Do đú AD là tiếp tuyến của (O) b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta cú I là trung điểm của AC. OM là trung trực của AC (tớnh chất 1 tiếp tuyến cắt nhau) => I OM. Bài 2: Cho hình vuông ABCD, E và F là 2 điểm di động theo thứ tự nằm giữa B và C; C và D sao cho EAF = 450. hai đoạn AE và AF lần lượt cắt BD tại M, N. Vẽ AH EF. Cm: a) Tứ giác ABFM nội tiếp và AH, FM, EN đồng qui b) EF luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định. a) Tứ giác ABFM có: Suy ra ABFM nội tiếp. => Tương tự: Vậy AH, EN, FM đồng qui. b) Chứng minh Bài 3: Cho (O) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Gọi H là hình chiếu của B trên CO, K là hình chiếu của C trên BO. Chứng minh E, F, H, K thẳng hàng. HD: Tứ giác BHEO nội tiếp => BCKH nội tiếp => Suy ra: H, E, K thẳng hàng Bai 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D nằm giữa A và B. Vẽ đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là F và G. Cmr: a) ADEC, AFBC nội tiếp. b) AC // FG c) Các đường thẳng AC, DE, và BF đồng quy. HD: b) ACED nội tiếp => DEGF nội tiếp => (Tính chất) Bài 5: Cho (O) đường kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đường tròn (O’) đường kính AC. Đường thẳng đi qua trung điểm M của đoạn AB và vuông góc với AB cắt (O) tại D và E. Gọi F, K lần lượt là giao điểm thứ 2 của CD và CE với (O’). Chứng minh: a) Tứ giác ADBE là hình thoi. b) Ba điểm E, A, F thẳng hàng. c) Các đường thẳng CM, DK, EF đồng quy. Bài 7 Bài 7: DM+ EN = BC/2 Ko đổi. S -> Max khi DE -> max => AH-> max Ta có AH = Bài 6: Cho đường tròn tâm O. Từ 1 điểm P bên ngoài đường tròn kể hai tiếp tuyến PA, PC (A, C là 2 tiếp điểm) với (O). a) Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp. b) Tia AO cắt (O) tại B, đường thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì? c) Gọi I là giao điểm của OC và PD, J là giao điểm PC và OD, K là trung điểm của AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 7: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, BC cố định, đường cao AH. Vẽ đường trũn tõm O đường kớnh AH. Đường trũn này cắt cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E. a) Chứng minh D, O, E thẳng hàng. b) Cỏc tiếp tuyến của (O) tại D, E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn HB, HC. c) Cho AB = 8cm, AC = 19 cm. Tớnh diện tớch tứ giỏc MDEN. d) Tam giỏc ABC thỏa món điều kiện gỡ thỡ diện tớch tứ giỏc MDEN lớn nhất, tỡm giỏ trị lớn nhất đú theo BC. Bài 8. Cho đoạn thẳng AB cố định. Lấy M thuộc AB, kẻ My vuụng gúc với AB. Trờn My lấy C, D sao cho MB = MD; MA = MC. Dựng cỏc đường trũn đường kớnh AC, BD, 2 đường trũn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là N. a1) Tớnh a2) Chứng minh A, D, N thẳng hàng; B, N, C thẳng hàng. b) Kẻ tiếp tuyến tại A của đường trũng đường kớnh AC cắt đường trung trực của AB tại K. Chứng minh tứ giỏc AKBN nội tiếp và M, N, K thẳng hàng. c) Tỡm vị trớ của M trờn OB hoặc OA sao cho DA.DN cú giỏ trị lớn nhất (O là trung điểm của AB). HD: a) Tứ giỏc BMDN nội tiếp đường trũn đường kớnh BD. Suy ra Tứ giỏc AMNC nội tiếp. suy ra Do đú: A, D, N thẳng hàng. Lại cú: nờn B, N, C thẳng hàng. b1) AK = KM (tớnh chất đường TT) . Do đú AKB vuụng cõn tại K Vậy AMBN nội tiếp. b2) AMBN nội tiếp => BMDN nội tiếp => . Suy ra M, N, K thẳng hàng. c) = BM(AM – BM) Đặt BM = x, AB = a ta cú: ND.DA = x(a – x – x) = x(a – 2x) = -2x2 + ax = -2(x2 - ax + ) = -2(x - )2 + Chủ đề 5: Điểm, đường cố định Bài 1: Cho (O; 6) và (O’; 3) tiếp xúc ngoài tại A. Trên nửa mp có bờ OO’ vẽ các bán kính OM, O’N sao cho OM // O’N. Cmr: MN luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 2: Cho (O, R) và 1 điểm A cố định bên ngoài đường tròn. Từ 1 điểm M trên d OA vẽ 2 tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là 2 tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh OA.OK = OH.OM a) Chứng minh BC đi qua 1 điểm cố định. b) Chứng minh H di đông trên 1 đường tròn cố định. Cho OA = 2R, hãy xác định vị trí của M để diện tích của tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tính giá trị đó. Hình bài 2 Hình bài 3 Bài 3: Cho (O), đường kính AB cố định và một điểm M di động trên nửa đường tròn sao cho . Vẽ vào trong đường tròn hình vuông AMCD. a) Cm đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định. b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Cmr: 4 điểm A, B, C, I cùng thuộc 1 đường tròn. c) Gọi giao điểm của CD và tiếp tuyến của (O) tại A là điểm G. Chứng minh BG đi qua điểm chính giữa cung AB, từ đó chứng minh CD luôn đi qua 1 điểm cố định. HD: b) Chứng minh c) Xét tứ giác ADPG có => ADPG nội tiếp => ; => G, P, B thẳng hàng. Tiếp tuyến tại A cố định, BP cố định. Do đó G cố định. Vậy CD đi qua điểm G cố định Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB =2R và một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đường tròn này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D. a) Chứng minh CD//AB. b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN đi qua một điểm K cố định. c) Chứng minh: KM.KN không đổi. a) OA = OM O’M = O’C => CD // AB. b) Xét (O’) có: => MN là tia phân giác góc AMB. Gọi giao điểm của MN với (O) là K. Ta có => K là điểm chính giữa cung AB. K cố định Do đó MN đi qua K cố định. c) Kéo dài KO cắt (O) tại I. Ta có Bài 5. Cho (O) đường kính AB cố định, đường kính CD quay quanh O.Gọi giao điểm của AC, AD với tiếp tuyến tại B của (O) lần lượt là E, F. a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh . c) Goi P là giao điểm của các đường trung trực của CD, EF. Chứng minh P di chuyển trên 1 đường cố định. Chủ đề 6: Cực trị hình học Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú BC = a cố định, = 600. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm D. b) Tỡm vị trớ của A để AB + AC cú giỏ trị lớn nhất. Tớnh giỏ trị lớn nhất đú theo a. a) . Do đú quỹ tớch cỏc điểm D là 2 cung chứa gúc 300 dựng trờn BC cố định. b) AB + AC = AB + AD AB + AC lớn nhất khi AB + AD lớn nhất hay BD lớn nhất. => BD đi qua tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD Bài 2: Cho nửa đường trũn tõm O, đường kớnh AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường trũn. By thay đổi cắt nửa đường trũn O tại điểm C. Tia phõn giỏc của gúc ABy lần lượt cắt nửa đường trũn O tại D, cắt Ax tại E, cắt AC tại F. Tia AD và BC cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giỏc DHCF nội tiếp. b) Chứng minh tứ giỏc AEHF là hỡnh thoi. c) Tỡm vị trớ điểm C để diện tớch tam giỏc AHB lớn nhất. HD: b) BD là tia phõn giỏc gúc BAC => => AEF cõn tại A => ED = DF ABH cõn tại B => AD = DH => Tứ giỏc AEHF là hỡnh thoi. c) SAHB = 2SADB = KD.AB KD AB tại K => KD OD => AB.KD AB.OD = R3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi KD = OD => K O => D là điểm chớnh giữa cung BA => C B. Bài 3. Cho (O) đường kớnh BA cố định. Gọi xy là tiếp tuyến của (O) tại A. Điểm C chuyển động trờn nửa đường trũn. Kẻ đường kớnh CD. BC, BD lần lượt cắt xy tại I và K. Tỡm vị trớ của C để IK cú chiều dài nhỏ nhất. HD: => IA.AK = AB2 . IK = IA + AK (AB khụng đổi) Dấu “=” xảy ra khi IA = AK => C là điểm chớnh gữa cung AB. Bài 4: Cho gúc vuụng xAy. Trờn tia Ax, lấy điểm B sao cho AB = 2R (với R là hằng số dương). Gọi M là một điểm thay đổi trờn tia Ay (M khỏc A). Kẻ tia phõn giỏc gúc ABM cắt Ay tại E. Đường trũn tõm I đường kớnh AB cắt BM và BE lần lượt tại C và D (C và D khỏc B) a) Chứng minh . b) Gọi K là giao điểm của cỏc đường thẳng ID và AM. Chứng minh . c) Tớnh giỏ trị lớn nhất của chu vi tam giỏc ABC theo R. Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là điểm chạy trên nửa đường tròn ( không trùng với A và B ). CH là đường cao của tam giác ABC. I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AC và BC. M, N lần lượt là trung điểm của AH và HB. a) So sánh CH và IK. b) Chứng minh tứ giác AIKB là tứ giác nội tiếp. c) Xác định vị trí của C để chu vi tứ giác MIKL lớn nhất. hình bài 6 Bài 6. Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định nằm giữa A, B. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với CD cắt 2 tiếp tuyến Ax, Ay của nửa đường tròn lần lượt tại M, N. Gọi P là giao điểm AD, CM; Q là giao điểm của BD, CN. a) Tính b) Chứng minh PQ // AB. c) Chứng minh AM.BN = AC.BC d) Tìm Min SABNM. e) Chứng minh CM.CN 2CA.CB HD: = 900. b) => => PQ // AB. c) d) SABNM = (AM + BN)AB .AB = .AB (.AB ko đổi). e) Bài 7: Cho nửa đường tròn (O; ) , K là điểm chính giữa trên cung AB. Trên cung KB chứa K lấy điểm M ( M khác B; K) N thuộc AM sao cho AN = BM. Kẻ dây PB // KM. Gọi Q là giao điểm của PA , BM. a) So sánh tam giác AKN và BKM b) Tam giác KMN là tam giác gì ? Vì sao ? c) Chứng minh rằng : Tứ giác ANKP là hình bình hành. d) Chứng minh Q di động trên đường tròn cố định khi M di chuyển trên cung KB.