Ôn thi tốt nghiệp THPT - Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số A. Lý Thuyết: Hàm số đơn điệu: Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng. * f đồng biến trên K nếu với mọi * f nghịch biến trên K nếu với mọi Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó : * Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì với mọi * Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì với mọi Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a) Định lý 2:1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I * Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I. * Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I. * Nếu thì hàm số f không đổi trên I 2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b). * Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b) * Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b) B. Bài Tập : Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn Bài giải: Xét hàm số liên tục trên đoạn Ta có Vì sinx > 0 nên Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn * Hàm số f liên tục trên đoạn, ta có , nên phương trình cho không có nghiệm * Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục ( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn phương trình có nghiệm duy nhất Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R Bài giải: Để hàm số đồng biến trên R thì * !/ m = -2 thì không thỏa !!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa *, khi đó để thì Vậy hàm số đổng biến trên R Bài tập 3: Cho hàm số : . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 Bài giải : * Tập xác định : D = R * * , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn Bài tập tự luyện: 1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất. 2/Cho hàm số có đồ thị là ( Cm); m là tham số. a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4. c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến? Bài giải: * Tập xác định D = R * ; với * Để hàm số đồng biến trên D khi Bài tập 5:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng Bài giải: . Để hàm số đồng biến trong khoảng PP1: , do đó PP2: * m = 0 khi đó . Thế m = 0 có nhận không nhỉ ??? * !/ Hàm số đồng biến trên D khi Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng !!/ Giả sửthì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm Bài tập tự luyện: 1/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?. 2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến ?. 3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm 4/ Cho hàm số . Tìm m để 5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng 6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng