Ôn thi vào lớp 10 năm học: 2011 - 2012 - Chuyên đề I: Căn thức bậc hai - bậc ba các phép biến đổi căn thức bậc hai - bậc ba

ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2011 - 2012 Chuyên đề i: căn thức bậc hai - bậc ba Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba A. Những công thức biến đổi căn thức: 1) 2) ( với A 0 và B 0 ) 3) ( với A 0 và B > 0 ) 4) (với B 0 ) 5) ( với A 0 và B 0 ) ( với A < 0 và B 0 ) 6) ( với AB 0 và B 0 ) 7) ( với B > 0 ) 8) ( Với A 0 và A B2 ) 9) ( với A 0, B 0 và A B B. Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau: a) b) c) d) HD: a) b) c) d) Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x 0 ) a) b) x2 - 5 c) x - 4 d) HD: a) b) c) d) Bài 3: Đưa các biểu thức sau về dạng bình phương. a) b) c) d) HD: a) b) c) d) Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: a) b) c) (với x 5) d) ( với ) HD: a) b) c) d) Bài 5: Tìm giá trị của x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên. a) ( với x 0) b) ( với x 0) c) ( với x 0 và x 4) HD: a) b) c) Bài 6: Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) b) c) d) HD: a) x = 14 b) c) x = 81 d) C. Bài tập tổng hợp: Bài 1: Cho biểu thức: A = a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị biểu thức A khi x = . c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1. HD: a) ĐKXĐ là: , rút gọn biểu thức ta có: A = . b) x = thì A = 3 c) . Bài 2: Cho biểu thức: B = Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B. Tìm x để B = 2. HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: B = . B = 2 x = 16. Bài 3: Cho biểu thức: C = Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C. Tìm giá trị a để C dương. HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: C = C dương khi a > 4. Bài 4: Cho biểu thức D = Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D. Tính giá trị của D khi x = . HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: D = . b) D = Bài 5: Cho biểu thức E = a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E. b) Tìm x để E = -1. HD: a) Điều kiện: ,rút gọn biểu thức ta có: E = . x = 4. Bài 6: Cho biểu thức: F = a) Tỡm TXẹ roài ruựt goùn bieồu thửực F. b) Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực F khi x=3 +; c) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa x ủeồ bieồu thửực F coự giaự trũ nguyeõn ? HD: a) ĐKXĐ: ,rút gọn biểu thức ta có: F = b) x = 3+ A = c) Biểu thức A nguyên khi: x = {0; 1; 9; 16; 36} D. Bài tập luyện tập: Bài1: Cho biểu thức : Tìn ĐKXĐ và rút gọn P. Tính giá trị của P khi: a = . Tìm giá trị của a để P < 1. Bài2 : Cho biểu thức: Q= a. Rút gọn Q. b. Tìm giá trị của a để Q dương. Bài3: Cho biểu thức: A = a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A. b, Tìm các giá trị của x để A > 1. c, Tìm các giá trị của x Z để A Z. Bài4 : Cho biểu thức: C = a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C. b, Tìm các giá trị của x để C = 1. Bài5: Cho biểu thức: M = a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị của x để M dương. c) Tìm giá trị lớn nhất của M. Bài6: Cho biểu thức: P = Tìm ĐKXĐ và rút gọn P Tìm các giá trị của x để P > 0 Tìm x để P = 6. Chuyên đề II PHƯƠNG TRèNH - HỆ PHƯƠNG TRèNH - BẤT PHƯƠNG TRèNH (Bậc nhất) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trỡnh bậc nhất một ẩn -Quy đồng khử mẫu. -Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) -Nghiệm duy nhất là 2.Phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu -Tỡm ĐKXĐ của phương trỡnh. -Quy đồng và khử mẫu. -Giải phương trỡnh vừa tỡm được. -So sỏnh giỏ trị vừa tỡm được với ĐKXĐ rồi kết luận. 3.Phương trỡnh tớch Để giỏi phương trỡnh tớch ta chỉ cần giải cỏc phương trỡnh thành phần của nú. Chẳng hạn: Với phương trỡnh A(x).B(x).C(x) = 0 4.Phương trỡnh cú chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trỡnh) Dạng phương trỡnh này sau khi biến đổi cũng cú dạng ax + b = 0. Song giỏ trị cụ thể của a, b ta khụng biết nờn cần đặt điều kiện để xỏc định số nghiệm của phương trỡnh. -Nếu a ≠ 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất . -Nếu a = 0 và b = 0 thỡ phương trỡnh cú vụ số nghiệm. -Nếu a = 0 và b ≠ 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm. 5.Phương trỡnh cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối Cần chỳ ý khỏi niệm giỏ trị tuyệt đối của một biểu thức: 6.Hệ phương trỡnh bậc nhất Cỏch giải chủ yếu dựa vào hai phương phỏp cộng đại số và thế. Chỳ ý phương phỏp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện cỏc biểu thức giống nhau ở cả hai phương trỡnh. 7.Bất phương trỡnh bậc nhất Với bất phương trỡnh bậc nhất thỡ việc biến đổi tương tự như với phương trỡnh bậc nhất. Tuy nhiờn cần chỳ ý khi nhõn và cả hai vế với cựng một số õm thỡ phải đổi chiều bất phương trỡnh. B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải cỏc phương trỡnh sau a) b) c) d) (*) Giải (Vụ lý) Vậy phương trỡnh vụ nghệm. Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 6. c) ĐKXĐ: Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = - 4. d) Lập bảng xột dấu x 3 7 x – 3 - 0 + + x - 7 - - 0 + -Xột x < 3: (*) (loại) -Xột : (*) (t/món) -Xột : (*) (loại) Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 4. VD2.Giải và biện luận phương trỡnh sau a) (1) b) (2) Giải a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0. -Nếu b – a ≠ 0 thỡ -Nếu b – a = 0 thỡ phương trỡnh cú vụ số nghiệm. Vậy: -Với b ≠ a, phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 2(b + a). -Với b = a, phương trỡnh cú vụ số nghiệm b) ĐKXĐ: -Nếu a + 1 ≠ 0 thỡ -Nếu a + 1 = 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm. Vậy: -Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất -Với a = -1 hoặc a = -2 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm. VD3.Giải cỏc hệ phương trỡnh sau Giải hoặc b) ĐK: đặt Khi đú, cú hệ mới Thay trở lại, ta được: c) C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải cỏc phương trỡnh sau 2.Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau 3.Giải cỏc hệ phương trỡnh sau 4.Cho hệ phương trỡnh a) Giải hệ với m = - b) Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất sao cho x + y dương. Chuyên đề iii : Hàm số và đồ thị i.Kiến thức cơ bản 1.Hàm số Khái niệm hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng của x và x được gọi là biến số Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức Đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R Nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R 1.1Hàm số bậc nhất Khái niệm hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0 Tính chất Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: Đồng biến trên R khi a > 0 Nghịch biến trên R khi a < 0 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó + + + + Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b - Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b Một số phương trình đường thẳng Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là Hàm số bậc hai Định nghĩa - Hàm số có dạng y = ax2 (a 0) Tính chất - Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và: + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 + Nếu a 0 Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị 2.Kiến thức bổ xung 2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức 2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*) Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*) + Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt II. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d). Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 2: Cho hai đường thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). Tìm các giá trị của k để: (d1) và (d2) cắt nhau. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. (d1) và (d2) song song với nhau. (d1) và (d2) vuông góc với nhau. (d1) và (d2) trùng nhau. Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m ≠ 52 có đồ thị là đường thẳng d . Tìm giá trị của m để : Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến) (d) đi qua điểm (2;-1) (d)// với đường thẳng y =3x-4 (d) // với đường thẳng 3x+2y = 1 (d) luôn cắt đường thẳng 2x-4y-3 =0 (d) cắt đường thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2 Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đường thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 . Tìm m để : Đường thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt (d) tiếp xúc với (P) (d) và (P) không giao nhau. Bài 5: Cho hàm số: cú đồ thị (P). Tỡm cỏc điểm A, B thuộc (P) cú hoành độ lần lượt bằng –1 và 2. Viết phương trỡnh đường thẳng AB. Viết phương trỡnh đường thẳng song song với AB và tiếp xỳc với (P). Tỡm tọa độ tiếp điểm. Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 cú đồ thị (P). Tỡm m để hàm số đồng biến khi x > 0. Với m = – 2. Tỡm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3. Tỡm m để (P) tiếp xỳc với (d): y = 2x – 3. Tỡm tọa độ tiếp điểm. Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luụn tiếp xỳc với Parabol (P) biết: a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2. b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2. Bài 8: Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luụn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phõn biệt: (d): y = –3x + 4; (P): y = x2. (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2. Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong cỏc trường hợp trờn. Bài 9: Cho Parabol (P) cú phương trỡnh: y = ax2 và hai đường thẳng sau: (d1): (d2): 4x + 5y – 11 = 0 Tỡm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy. Vẽ (P), (d1), (d2) trờn cựng hệ trục tọa độ với a vừa tỡm được. Tỡm tọa độ giao điểm cũn lại của (P) và (d2). Viết phương trỡnh đường thẳng tiếp xỳc với (P) và vuụng gúc với (d1). Bài 10: Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1. Tỡm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) cú hoành độ bằng – 2. Tỡm m để (d) tiếp xỳc với (P). Tỡm tọa độ tiếp điểm Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm cú hoành độ cựng dương. Tỡm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm cú hoành độ x1 ạ x2 thỏa món: Bài 11: Cho hàm số: y = ax2 cú đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1cú đồ thị (d). Chứng minh (d) luụn đi qua một điểm M cố định. Tỡm a để (P) đi qua điểm cố định đú. Viết phương trỡnh đường thẳng qua M và tiếp xỳc với Parabol (P). Chuyên đề iv: phương trình bậc hai PHẦN I KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG 1. Cụng thức nghiệm: Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú D = b2- 4ac +Nếu D < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm +Nếu D = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 = +Nếu D > 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt: x1 = ; x2 = 2. Cụng thức nghiệm thu gọn: Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú D’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu D’ < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm +Nếu D’= 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 = +Nếu D’> 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt: x1 = ; x2 = 3. Hệ thức Vi-ột a) Định lớ Vi-ột: Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (aạ0) thỡ : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = b) Ứng dụng: +Hệ quả 1: Nếu phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: a+b+c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm: x1 = 1; x2 = +Hệ quả 2: Nếu phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: a- b+c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm: x1 = -1; x2 = c) Định lớ: (đảo Vi-ột) Nếu hai số x1; x2 cú x1+x2= S ; x1.x2 = P thỡ x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh : x2- S x+P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ³ 0) Chỳ ý: + Định lớ Vi-ột chỉ ỏp dụng được khi phương trỡnh cú nghiệm (tức là D ≥ 0) + Nếu a và c trỏi dấu thỡ phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu PHẦN II. BÀI TẬP RẩN LUYỆN II. TOÁN TỰ LUẬN LOẠI TOÁN RẩN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CễNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN Bài 1: Giải phương trỡnh a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2-)x2 + 2x – 2 – = 0 Giải: a) Giải phương trỡnh x2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dựng cụng thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) D = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51 Do D > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: ; + Lời giải 2: Ứng dụng của định lớ Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 Nờn phương trỡnh cú nghiệm: x1 = - 1; x2 = + Lời giải 3: D = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lớ Viet ta cú : Vậy phương trỡnh cú nghiệm: x1 = - 1; x2 = b) Giải phương trỡnh (2-)x2 + 2x – 2 – = 0 Giải: + Lời giải 1: Dựng cụng thức nghiệm (a = 2-; b = 2; c = – 2 –) D = (2)2- 4(2-)(– 2 –) = 16; = 4 Do D > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: ; + Lời giải 2: Dựng cụng thức nghiệm thu gọn (a = 2-; b’ = ; c = – 2 –) D’ = ()2- (2-)(– 2 –) = 4; = 2 Do D’ > 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: ; + Lời giải 3: Ứng dụng của định lớ Viet Do a + b + c = 2- + 2+ (- 2 - ) = 0 Nờn phương trỡnh cú nghiệm: x1 = 1; x1 = *Yờu cầu: + Học sinh xỏc định đỳng hệ số a, b, c và ỏp dụng đỳng cụng thức + Áp dụng đỳng cụng thức (khụng nhẩm tắt vỡ dễ dẫn đến sai sút) + Gv: cần chỳ ý rốn tớnh cẩn thận khi ỏp dụng cụng thức và tớnh toỏn * Bài tương tự: Giải cỏc phương trỡnh sau: 1. 3x2 – 7x - 10 = 0 2. x2 – 3x + 2 = 0 3. x2 – 4x – 5 = 0 4. 3x2 – 2x – 3 = 0 5. x2 – (1+)x + = 0 6.x2 – (1-)x – 1 = 0 7.(2+)x2 - 2x – 2 + = 0 Bài 2: Tỡm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Do u+v = 42 và u.v = 441 nờn u và v là nghiệm của phương trỡnh x2 – 42x + 441 = 0 (*) Ta cú: D’ = (- 21)2- 441 = 0 Phương trỡnh (*) cú nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tương tự: 1. Tỡm hai số u và v biết: a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 2. Tỡm kớch thước mảnh vườn hỡnh chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tớch bằng 30m2 Bài 3: Giải cỏc phương trỡnh sau (phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai) a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 b) c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 Giải a) Giải phương trỡnh x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1) (1) Û (x2 - 2)(x + 3) = 0 Û (x + )(x - )(x + 3) = 0 Û x = -; x = ; x = - 3 Vậy phương trỡnh (1) cú nghiệm x = -; x = ; x = - 3 b) Giải phương trỡnh (2) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thỡ (2) Û 2x(x- 4) = x2 – x + 8 Û x2 – 7x – 8 = 0 (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nờn phương trỡnh (*) cú nghiệm x1 = -1(khụng thoả món ĐK) ; x2 = 8 (thoả món ĐK) Vậy phương trỡnh (2) cú nghiệm x = 8 c) Giải phương trỡnh 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta cú: (3) Û 5x4 – 3x2 – 26 = 0 Đặt x2 = t (t ³ 0) thỡ (3) Û 5t2 – 3t – 26 = 0 Xột D = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ị = 23 Nờn: t1 =(thoả món t ³ 0) ; t2 = (loại) Với t = Û x2 = Û x = Vậy phương trỡnh (3) cú nghiệm x1 = ; x2 = d) Giải phương trỡnh 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4) Đặt x2+x = t . Khi đú (4) Û 3t2 – 2t – 1 = 0 Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nờn t1 = 1; t2 = t1 = 1Û x2+x = 1Û x2 + x – 1 = 0 D1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nờn x1 = ; x2 = t2 = Û x2+x = Û 3x2 + 3x + 1 = 0 (*) D2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nờn (*) vụ nghiệm Vậy phương trỡnh (4) cú nghiệm x1 = ; x2 = * Bài tương tự: Giải cỏc phương trỡnh sau: 1. x3+3x2+3x+2 = 0 2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 3. x4 – 5x2 + 4 = 0 4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 6. 7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0 8. 9. Bài 4: Cho phương trỡnh x2 + x - = 0 cú 2 nghiệm là x1 và x2 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau: A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23 Giải Do phương trỡnh cú 2 nghiệm là x1 và x2 nờn theo định lớ Viet ta cú: x1 + x2 =; x1.x2 = A = ; B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= C = ; D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = * Bài tương tự: Cho phương trỡnh x2 + 2x - 3 = 0 cú 2 nghiệm là x1 và x2 . Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau: A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23 E = ; F = LOẠI TOÁN RẩN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trỡnh bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài toỏn tổng quỏt) Tỡm điều kiện tổng quỏt để phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: 1. Cú nghiệm (cú hai nghiệm) Û D ³ 0 2. Vụ nghiệm Û D < 0 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kộp, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0 4. Cú hai nghiệm phõn biệt (khỏc nhau) Û D > 0 5. Hai nghiệm cựng dấu Û D³ 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trỏi dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm õm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm õm cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm dương cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c 0 (ở đú: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) * Giỏo viờn cần cho học sinh tự suy luận tỡm ra điều kiện tổng quỏt, giỳp học sinh chủ động khi giải loại toỏn này Bài 2: Giải phương trỡnh (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k) Giải D’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu D’ 1 ị phương trỡnh vụ nghiệm Nếu D’= 0 Û 1- k = 0 Û k = 1 ị phương trỡnh cú nghiệm kộp x1= x2=1 Nếu D’> 0 Û 1- k > 0 Û k < 1 ị phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1 = 1- ; x2 = 1+ Kết luận: Nếu k > 1 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm Nếu k = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x=1 Nếu k < 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+ Bài 3: Cho phương trỡnh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tỡm m để (1) cú nghiệm b) Tỡm m để (1) cú nghiệm duy nhất? tỡm nghiệm duy nhất đú? c) Tỡm m để (1) cú 1 nghiệm bằng 2? khi đú hóy tỡm nghiệm cũn lại(nếu cú)? Giải a) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: D’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghiệm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ + Kết hợp hai trường hợp trờn ta cú: Với m ³ thỡ phương trỡnh cú nghiệm b) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghiệm duy nhất Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (thoả món m ≠ 1) Khi đú x = +Vậy với m = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = với m = thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3 c) Do phương trỡnh cú nghiệm x1 = 2 nờn ta cú: (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) Theo đinh lớ Viet ta cú: x1.x2 = Vậy m = và nghiệm cũn lại là x2 = 6 * Giỏo viờn cần khắc sõu trường hợp hệ số a cú chứa tham số (khi đú bài toỏn trở nờn phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sút) Bài 4: Cho phương trỡnh: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu c) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng õm d) Tỡm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trỡnh thoả món x12+x22 10. e) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc vào m f) Hóy biểu thị x1 qua x2 Giải a) Ta cú: D’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = Do với mọi m; ị D > 0 với mọi m ị Phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt Hay phương trỡnh luụn cú hai nghiệm (đpcm) b) Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu Û a.c -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm Khi đú theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đú phương trỡnh cú hai nghiệm õm Û S 0 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm Theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đú A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2= 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A ³ 10 Û 4m2 – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0 Vậy m ³ hoặc m Ê 0 e) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm Theo định lớ Viet ta cú: ị x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc m f) Từ ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - 8 Û x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) Û Vậy () Bài 5: Cho phương trỡnh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số) a) Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 thoả món 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trỡnh ẩn y thoả món ; với x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ở trờn Giải a) Ta cú D’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau Vậy m = 2 b) Ta cú D’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trỡnh cú nghiệm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m Ê 2 (*) Khi đú theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3) Từ (1) và (3) ta cú: Thế vào (2) ta cú: 5(-7) = m -1 Û m = - 34 (thoả món (*)) Vậy m = -34 là giỏ trị cần tỡm d) Với m Ê 2 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm Theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) Khi đú: (m≠1) (m≠1) ị y1; y2 là nghiệm của phương trỡnh: y2 - .y + = 0 (m≠1) Phương trỡnh ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0 *Yờu cầu: + HS nắm vững phương phỏp + HS cẩn thận trong tớnh toỏn và biến đổi + Gv: cần chỳ ý sửa chữa những thiếu sút của học sinh, cỏch trỡnh bày bài và khai thỏc nhiều cỏch giải khỏc * Bài tương tự: 1) Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp này b) Định m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt đều õm. 2) Cho phương trỡnh : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. b) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: x12 + x22 = 10 3) Cho phương trỡnh: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) C/m , phương trỡnh luụn luụn cú hai nghiệm khi m thay đổi b) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: 1 < x1 < x2 <6 4) Cho phương trỡnh bậc hai cú ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 với mọi m. b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 *) CMR: A = 8m2 – 18m + 9 **) Tỡm m sao cho A =27 c) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia 5) Cho phương trỡnh ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xỏc định m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất. b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. c) Tỡm hệ thức giữa x1 , x2 khụng phụ thuộc vào m 6) Cho phương trỡnh : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) C/m phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xỏc định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trỡnh bậc hai ẩn y cú 2 nghiệm y1 và y2 thoả món: y1 + y2 = x1 + x2 và 7) Cho phương trỡnh : x2 + ax + 1 = 0. Xỏc định a để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 , x2 thoả món : > 7 8) Cho phương trỡnh : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1) a) Giải và biện luận phương trỡnh (1) theo m b) Khi phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2: * Tỡm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tỡm m sao cho Dạng 5: Tỡm m để phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món đẳng thức cho trước. Bài 1: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món x12 + x22 = 8. Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món x12 + x22 = 10. Bài 3: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món Bài 4: Tỡm m để phương trỡnh: cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món Bài 5: Tỡm m để phương trỡnh: cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món Bài 6: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món Bài 7: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món Bài 8: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món Bài 9: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1,x2 thoả món Bài 10: Tỡm m để phương trỡnh : cú 2 nghiệm x1, x2 thoả món x1 = 2x2. Bài 11: Tỡm m đ