Paul Dirac và ba người câu cá

Giai thoại về các nhà vật lí Paul Dirac và ba người câu cá Paul Dirac là nhà vật lí thuyết nổi tiếng người Anh, giải thưởng Nobel về vật lí năm mới 31 tuổi. Ông cũng là một trong số những người sáng lập môn cơ học lượng tử, một lí thuyết cùng với thuyết tương đối hẹp và thuyết tương đối rộng của Einstein tạo nên ba trụ cột của lâu đài vật lí hiện đại. Trong số những thành tựu vĩ đại của ông, có lẽ ấn tượng nhất là tiên đoán sự tồn tại của các phản hạt, mà cụ thể là phản electron hay positron. Trước hết, chúng ta hãy nói qua về con đường dẫn Dirac tới tiên đoán này. Hồi đó Dirac đã lập được phương trình mô tả hành trạng của electron, trong đó có tính đến các hiệu ứng của thuyết tương đối. Phương trình này đã giải thích được một cách tuyệt vời một loạt các sự kiện thực nghiệm, nhưng ông phát hiện thấy có một điều hơi "lạ", đó là một phần các nghiệm của phương trình đó lại ứng với các giá trị năng lượng âm. Phải làm gì với các nghiệm này đây? Vứt bỏ chúng hay cố gắng làm sáng tỏ ý nghĩa vật lí còn ẩn giấu trong đó? Đối với Dirac câu trả lời đã là rõ ràng. Chúng tôi xin trích ra đây lời phát biểu của ông trong một bài giảng thực ra là để kỉ niệm Einstein cùng với thuyết tương đối, nhưng cũng rất thích hợp cho chính Dirac: "Bất kì ai hiểu sự hài hoà sâu xa liên hệ những hiện tượng tự nhiên và những nguyên lí toán học tổng quát đều phải cảm thấy rằng nếu một lí thuyết đẹp đẽ và tao nhã như lí thuyết của Einstein thì về căn bản nó nhất thiết phải là đúng đắn". Và quả thật ông đã đưa ra một giả thuyết độc đáo và táo bạo cho rằng các nghiệm tưởng như không có ý nghĩa vật lí trong phương trình của ông thực ra là những nghiệm mô tả một hạt sơ cấp mà hồi đó còn chưa ai biết. Hạt này hầu như giống hệt electron nhưng điện tích của nó có dấu ngược lại (tức là bằng +e). Đó chính là tiên đoán hạt positron mà ta nói ở trên. Và chỉ trong năm tiếp sau (1932) hạt này đã được phát hiện thấy trong tia vũ trụ. Có lẽ chính do thành công này trong cuộc đời đầy những thành tựu sáng tạo của Dirac mà đã hình thành một giai thoại được lưu truyền trong nhiều cuốn sách phổ biến khoa học dưới nhiều dị bản khác nhau. Người ta kể rằng thời trẻ Dirac tình cờ đã gặp bài toán sau: Có ba người đi câu đêm.Quá nửa đêm, do mệt quá họ lăn ra ngủ và chẳng buồn chia nhau số cá đã câu được. Gần sáng, một người thức dậy, do không muốn quấy rầy hai ông bạn, anh ta bèn chia số cá làm ba phần bằng nhau, và sau khi ném 1 con cá còn dư xuống sông, anh ta mang phần cá của mình đi về nhà. Sau đó, người thứ hai thức dậy. Do không biết người thứ nhất đã lấy phần cá của mình, anh ta lại chia số cá còn lại thành ba phần bằng nhau, vứt xuống sông 1 con cá còn dư, rồi mang phần của mình đi về. Cuối cùng, người thứ ba thức dậy. Do không biết việc hai người trước đã làm, anh ta cũng hành động hệt như họ, tức là chia số cá còn lại làm ba phần bằng nhau, vứt 1 con cá còn dư xuống sông rồi lặng lẽ mang phần cá của mình về nhà. Hỏi ba người cả thảy đã câu được bao nhiêu con cá?. Theo truyền thuyết thì Dirac đã giải bài toán đó và tìm ra đáp số là: "Ba người đã câu được...âm hai con", và người ta còn đồn là Dirac đã bị ám ảnh bởi các con số âm từ thời đó. Dễ dàng kiểm tra lại rằng về mặt hình thức thì ở đây không có gì là sai cả. Thực vậy, khi người thứ nhất phát hiện thấy cả thảy chỉ có âm hai (-2) con (!), bèn ném một con xuống sông và lấy một phần ba số cá còn lại (là -3 con). Người thứ hai và thứ ba cũng làm hệt như vậy, nghĩa là mỗi người mang về âm một (-1) con cá. Thật khó có thể tìm được ví dụ nào đơn giản và tao nhã hơn để minh hoạ cho sự táo bạo của ý tưởng và niềm tin vào "tính hiệu quả không sao hiểu nổi của toán học trong các khoa học tự nhiên", như nhà vật lí Mĩ, giải thưởng Nobel về vật lí, Wigner đã diễn tả. Tuy nhiên, bài toán về ba người câu cá bản thân nó cũng đã là một bài toán thú vị. Bây giờ chúng ta hãy thử giải bài toán này. Trước hết chúng ta hãy chuyển những điều kiện của bài toán thành các phương trình. Giả sử N = N0 là tổng số cá ba người câu được, N1 là số cá còn lại sau lần chia thứ nhất, N2 - số các còn lại sau lần chia thứ hai và N3 - số cá còn lại sau lần chia thứ ba. Khi đó, hiển nhiên ta có và nói chung với k = 0, 1, 2 ta có: (1) Bài toán đặt ra là tìm số nguyên N để cho cả các số N1, N2, N3 cũng là số nguyên. Chúng ta cũng sẽ đòi hỏi tất cả các số đều là không âm. Dĩ nhiên, ngay cả với hạn chế như thế, bài toán cũng vẫn có vô số nghiệm. Chúng ta sẽ cố gắng rút ra công thức tổng quát để tính số N. Bây giờ ta hãy tạm thời bỏ điều kiện không âm (!). Chúng ta thấy ngay rằng bài toán sẽ cho một và chỉ một nghiệm trong đó tất cả các số Nk đều bằng nhau và cùng bằng D. Khi đó từ (1) ta rút ra phương trình tìm D là , từ đó suy ra D = -2. Đó chính là "nghiệm" của Dirac. Bây giờ giả sử {Nk} là một dãy tùy ý thoả mãn hệ thức (1). Ta hãy khảo sát hiệu của hai nghiệm của bài toán - cụ thể là hiệu của nghiệm Nk và nghiệm Dirac D: (hay ). Vì nên dãy {} là một cấp số nhân với công bội là 2/3. Do đó: (2) Từ đó suy ra các số Nk với k = 0, 1, 2 và 3 khi và chỉ khi N+2 chia hết cho 33 =27. Bởi vậy N = -2 + 27n, trong đó n là số nguyên bất kỳ. Số N3 và cũng có nghĩa là các số Nk với k Ê 3, sẽ là không âm nếu n ³1. Đặc biệt nghiệm không âm nhỏ nhất Nmin = 25 nhận được khi n = 1, còn khi n = 0 ta nhận được nghiệm Dirac N = -2. P.V.T (Sưu tầm và giới thiệu)