Phân thức đại số

Phân thức đại số A. Định nghĩa - tính chất- rút gọn phân thức đại số. Quy đồng mẫu nhiều phân thức I. Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số là biểu thức dạng ( A, B: Đa thức; B ạ 0) A: Tử ( Tử thức, tử số); B: Mẫu (Mẫu thức, mẫu số) Mỗi đa thức là một phân thức có mẫu số bằng 1. 2. TXĐ của phân thức một biến là tập hợp các giá trị của biến làm cho MS ạ 0. Biểu thức nguyên xác định "x. Tập xác định của là {(x,y)\ B(x,y) ạ 0} 3. Định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức và gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C 4. = 0 Û 4. Số trị của một phân thức đại số có thể được xác định bởi gía trị các chữ có mặt trong phân thức đó (khi đó việc tính số của biểu thức được đưa về việc thực hiện các phép tính về số hữu tỉ), cũng có thể được xác định bởi hệ thức giữa các chữ có mặt trong biểu thức( trong trường hợp này ta sử dụng phép biến đổi đồng nhất đưa về trường hợp 1.) Chú ý: - Cần rút gọn phân thức (nếu có thể) trước khi tính số trị của nó. - Khi tính số trị của PTĐS biết hệ thức liên hệ giữa các chữ có mặt phân thức ấy, ta có thể biến đổi thành phân thức mới chỉ chứa một chữ bằng phương pháp thế. - Để so sánh số trị của PTĐS hoặc tìm GTNN, GTLN của một PTĐS ta thường quy về việc so sánh các phân thức có cùng mẫu hoặc cùng tử. 5. Tính chất cơ bản của phân thức đại số: - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. - Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. = = (C: Đa thức; Cạ 0) 6. Quy tắc đổi dấu: = = - = - . 7. Mọi phân thức có hệ số hữu tỷ đều viết được dưới dạng PTĐS có TT; MT là những đa thức có hệ số nguyên. 8. Hai BTĐS bằng nhau trên tập S nếu chúng có cùng giá trị với mọi giá trị của biến lấy trên S. 9. Rút gọn PT: - định nghĩa : Rút gọn phân thức đại số là biến đổi phân thức ấy thành phân thức mới đơn giản hơn và bằng phân thức đai số đã cho. - Qui tắc: . Phân tích tử, mẫu thành nhân tử (nếu cần). . Chia tử, mẫu cho nhân tử chung. 10. Qui đồng mẫu. a. Định nghĩa: Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đó thành các phân thức mới lần lượt bằng các phân thức đã cho và có cùng mẫu thức. MTC: Là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng) với các luỹ thừa có mạt trong các mẫu, mỗi luỹ thừa lấy số mũ cao nhất. b. Qui tắc: . Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm MTC. . Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu. . Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. II. Bài tập: Rút gọn các phân thức đại số:a) A = ; b) B = c) C = d) D = Hướng dẫn a) A = b) Cách 1: Vì a4 + = (a2 + )2 - a2 = (a2 + a + )( a2 - a + ) và a2 + a + = (a + 1)2 - (a + 1) + đ B = = Cách 2: áp dụng a4 + 1 = [ a (a-1) +][ a (a+1) +] Cách 3: B = áp dụng n4 + 4 = [ (n -1)2 + 1][ (n +1)2 + 1] Tương tự ta có B1 = = C = = = = = 2; D = 7. Rút gọn các phân thức đại số sau: a. b. c. d. (TSvà MS có n chữ số 9) HướNG DẫN : a. =( Với ạ 0) b. TT =(a - b)(b - c)(c - a) Thay a,b,c bởi a2, b2,c2 được MT = (a2 - b2)( b2 - c2)( c2 - a2) ĐS: a ạ ± b, b ạ ± c; c ạ ± a c. n4 + 4 = (n2 +2)2 - (2n)2 = [n(n-2) +2][ n(n+2) +2] đ ĐS: d. C1: Rút gọn cho 1 99...9 (n chữ số 9) C2: Tìm thương của phép chia A = a + a2 + ... + a100 cho B = (có thể thay 100 bởi n) HướNG DẫN : A= a101.B A: B = a101. * Cho A = 1 + x4+ x8+ .... + x4k; B = 1 + x2+ x4+ .... + x2k. Tính . HướNG DẫN : A = ; B = = . * So sánh: A = với . HướNG DẫN : A = Mà (n +1) - 1 = (n -1) + 1 và (n - 1)2 - (n + 1) + 1 = n2 + n + 1. đ A = = < . Tìm tập xác định và tìm giá trị của biến để mỗi BT sau có giá trị bằng 0 A = ; B = ;; Hướng dẫn * Tìm tập xác định, tìm tập tất cả các giá trị của biến để MT ạ 0 * Tìm giá trị của biến để BT bằng 0 Û Tìm giá trị của biến để * Viết A = (x2 - x +1)( x4 - x2 +1) ( x8 - x4 +1) ( x16 - x8 +1) B = (x2 -x +1)(x4 - x2+1)(x8 - x4 +1) ...(x24 - x12 +1) dưới dạng phân thức mà tử là những đa thức dạng chính tắc trong đó đa thức mẫu bậc 2. Hướng dẫn A = * Chứng minh: 1+x + x2 + ... + x31 = ( x +1)(1 + x2)(1+ x4) ...(1+x16) Nêu BTTQ. Hướng dẫn + Với x = 1 đ VT = VP ( = 32) + Với x ạ 1 thì (1) Û VT (1 - x) = (1 - x) VP (= 1 - x32) Cách khác: Biến đổi VT về VP ( Có thể thay 31 bởi 2n -1 còn 16 bởi n với n là luỹ thừa của 2) * Cho = = 0. Rút gọn A = ( Có thể mở rộng biểu thức đối với nhiều tỉ số bằng nhau) Hướng dẫn: C1: Đặt = = = k đ x = ak; y = bk; z = ck thay vào đ A = 1 C2: GTđ xb = ya; yc = zb thay vào đ đáp số. C3: TT = ( ax.+ yb.+ cz. )( ax.+ yb.+ cz. ) C4: GT đ == k == Nhân từng vế hai đẳng thức đ ” * Chứng minh= Hướng dẫn: Đặt 40 = a; 51 = b; 91 = a + b ta có: * Cho 2001 số khác 0: a1, a2 ... a2001 thoả mãn ak2 = ak -1. ak +1( k = 2,2000) Tính S2000 = ai2000 : (ai2000). theo a1; a2001 HướNG DẫN : GT đ == .... = đ = = .... = đ S20002000 = . ..... = ()2000 đ S2000 = . * Cho 4a + b = 0. Tính P = . HướNG DẫN : Cách 1: Thay b = - 4a vào P hoặc a = - b Cách 2: P = = = = -3 Cách 3: + Nếu b = 0, GT đ a = 0 đ P không xác định. + Nếu b ạ 0 đ P = = = - 3 Cách 4: P = = = - 3 Cách 5: P = = = - = - 3. Tương tự, nếu 3a + b = 0 thì P = -5 khi a ạ 0; P vô nghĩa khi a = 0. Cho 2a - 3b = 0 Tính * Cho: 3a2 + 3b2 = 10ab (b > a > 0) Tính P = Hướng dẫn: C1: P2 = = = = Mà b > a > 0 đ a - b 0 đ P < 0 Vậy P = - C2: Biểu thị b theo a rồi tính P GT đ 3a2 +3b2 -10ab = 0 ( 3a - b)( a - 3b) = 0 mà a - 3b ạ 0 (Do b > a > 0) đ 3a - b = 0 đ b = 3a. Thay vào tính được P = - . Tương tự ta có: Q = = 2. * Cho 4a2 - b2 = 3ab Tính (1) hướng dẫn GT (a-b)(4a+b) = 0 a = b hoặc a = - . Thay vào (1) P = hoặc P = - * Cho ax + by + cz = 0 ; a + b + c = m ạ 0. Tính A = HướNG DẫN : GT đ a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2(axby + axcz + bycz ) = 0 đ MT = bcy2 + bcz2 + acx2 + acz2 + abx2 + aby2 - 2( bcyz+ acxz + abxy) = (aby2 + acx2 + c2z2) + (acx2 + abx2 + b2y2) + (acz2 + aby2 a2x2) = (a + b + c)( ax2 + by2 + cz2) đ A = = Cho đ ĐS * Cho A = Tính A với 200 chữ số thập phân HướNG DẫN : A = * Cho và x1999 = 2. Tìm y. HướNG DẫN : Quy luật: mà x1999 = 2 đ x3 = 2 đ -đ 3.* Cho a + b + c = m. Tính HướNG DẫN : Cho ; nN. Rút gọn rồi tính HướNG DẫN : . Vì A= - 2 nếu n chẵn ;A = 2 nếu n lẻ. * Cho . C/M: HướNG DẫN : Sử dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, từ giả thiết ta có: Cách khác: Từ (a) biểu thị x,y,z theo k,a,b,c rồi suy ra 3 phân thức đều bằng . * Cho x > y > 0 Chứng minh Dùng định nghĩa. Chứng minh: HướNG DẫN : Dùng ĐN. * Tìm: a) Giá trị nhỏ nhất b) Giá trị lớn nhất HướNG DẫN : a. đ b. đA2 Max = * Tìm Min A biết với x > 0 ( có thể thay thế 1999 bởi n) HướNG DẫN : đ Min A = khi x = 1999 Cách 2: A= 1- * Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Hướng dẫn: Pmax Û ( 1+x2) min Û x = 0 đ Pmax = 1 Vì P(x) > P(x+1) " x đ không tồn tại P(Min) * Tìm GTNN Hướng dẫn: đ Min y = khi x ± 3 Cho phân số sau tối giản với HướNG DẫN : Cách 1: Gọi ( TS, MS) = d chứng minh d = 1. Cách 2: Dùng thuật toán ơclit. C/m (TS; MS) = 1 * Chứng minh phân số: không tối giản HướNG DẫN : TS và MS đều chia hết cho n2 + n +1 > 1 (Do ) * Tìm để BT có giá trị nguyên. HướNG DẫN : C1: mà - đ ĐS Cách 2: (n2 + 1) [n(n2 + 1) - n - 1] (n2 + 1) (n + 1) (n2 + 1) (1) n (n + 1)] (n2 + 1) n (n2 + 1) (2) Từ (1) và (2) 1 (n2 + 1) n2 + 1 = 1 n = 0. * Tìm kẻZ để có giá trị nguyên. ĐS: k = 0 * Tìm nẻN để có giá trị nguyên. HướNG DẫN : AẻZ Û ẻZ đ vì n >3 thì > 3n + 4 > 0 Xét nẻ đ ĐS: nẻ B. Các phép tính về phân thức đại số I. Kiến thức cần nhớ 1. Quy tắc cộng phân thức đại số: - Cộng hai phân thức cùng mẫu: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: đ rút gọn - Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. 2. Tính chất của phép cộng: - Giao hoán. - Kết hợp. - Cộng với 0. 3. Định nghĩa phân thức đối: Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. 4. Quy tắc trừ phân thức đại số: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng phân thức với phân thức đối của phân thức : 5. Quy tắc nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau. .= 6. Tính chất phép nhân: - Giao hoán. - Kết hợp. - Phân phối đối với phép cộng. 7. Định nghĩa phân thức nghịch đảo: Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. 8. Quy tắc chia: Muốn chia phân thức cho phân thức ta nhân phân thức với phân thức nghịch đảo của : ( 0) 9. định nghĩa biểu thức hữu tỉ: Là một phân thức hoặc một dãy các phép toán cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức. 10. Chú ý: Khi làm tính trên phân thức, ta chỉ việc theo các qui tắc của các phép toán mà không cần quan tâm đến gía trị của biến. Nhưng khi làm những bài toán liên quan đến gía trị của phân thức thì trước hết phải tìm điều kiện của biến để gía trị của phân thức được xác định. Nếu tại gía trị của biến mà gía trị của một phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức rút gọn có cùng gía trị. II. Bài tập: * Tính HướNG DẫN : Tính từ trái sang phải: ĐS: * Tính HướNG DẫN : = (p - m)(m + n + p) thay pđ m đ n đ p được m2 + mp - n2 - np =(m - n)(m + n + p) ĐS: 0 * Rút gọn: HướNG DẫN : * Rút gọn: hãy chứng minh D < 1 HướNG DẫN : đ * Rút gọn HướNG DẫN : Đặt m - n = a; n - p = b; p - m = c đ a + b + c = 0 * Thực hiện phép tính HướNG DẫN : áp dụng hằng đẳng thức a3 + b3 + c3 - 3a.b.c = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 -ac - bc -ac) và sử dụng phép toán hoán vị vòng quanh được G = x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz * Tính HướNG DẫN : * Cho: Tính A: B Vậy A: B = n * Tính HướNG DẫN : C1: C2: III. Bài tập tương tự Chứng minh HướNG DẫN : Biến đổi VT và VP về . Rút gọn: Hướng dẫn: * Chứng minh " nẻN; n > 1; a1, a2, ...anẻ N khác nhau, lớn hơn 1 thì HướNG DẫN : Giả sử 2 Ê a1 < a2 < ...< an đ ak ³ k+1 đ VT < * Tính HướNG DẫN : áp dụng hằng đẳng thức a3 +b3 + c3 - 3a.b.c = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 - ac - bc - ac) và sử dụng phép toán hoán vị vòng quanh ta được A = B = 2(a+b+c) Tính: HướNG DẫN : a. b. Vì nên * Cho Tính A: B HướNG DẫN : áp dụng Vậy A: B = * Tính HướNG DẫN : * Rút gọn: và chứng minh bằng quy nạp. HướNG DẫN : C1: A1= 1 - A2 A3 Dự đoán An * C/M: HướNG DẫN : VT đ *Cho Chứng minh: HướNG DẫN : a. cách khác: b. ( — ) * Chứng minh: HướNG DẫN : C1: Dùng quy nạp C2: * Cho "nẻN thì là số thập phân vô hạn tuần hoàn. HướNG DẫN : có mẫu chia hết cho 3, tử không chia hết cho 3. * Chứng minh: 1.4+2.7+3.10+ ...+n.(3n+1) = n(n+1)2 HướNG DẫN : Chứng minh quy nạp. * Cho nẻN ; n ³ 1. Chứng minh: không là số nguyên. HướNG DẫN : Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho 3k không vượt quá 2n + 1. Chọn mẫu chung là 3k . B1(B1 là tích các số nguyên tố khác 3 không vượt quá 2n + 1 ) đ chỉ có một thừa số phụ duy nhất của phân thức không chia hết cho 3, còn mọi thừa số phụ khác đều chia hết cho 3 đ Sau khi qua đồng mẫu ta mẫu chia hết cho 3, tử không chia hết cho 3. đ B ẽ Z (đpcm). * Cho c/m sau khi quy đồng mẫu thì tử số S chia hết cho 1999. HướNG DẫN : Các số hạng cách đều 2 đầu của S có tổng là: Sau khi quy đồng mẫu Sk, tử của Sk là: Tk = (1997-k)( 1998-k)(1999-k) +k(k+1)(k+2) đ Tk chia hết cho 1999. ( đpcm) . * Chứng minh biểu thức: không phụ thuộc vào giá trị của biến. HướNG DẫN : = 4 ( đpcm). * Tính HướNG DẫN : B là đa thức bậc 2 biến x đ B -1 là đa thức bậc 2 biến x. Mà B -1 nhận x = a; x = b; x = c là 3 nghiệm phân biệt đ B -1 là đa thức 0 đ B = 1. * Chứng minh: HướNG DẫN : chứng minh quy nạp. * Chứng minh: HướNG DẫN : * Chứng minh: 1.2+ 2.3 + 3.4 + ...+ n(n+1) = HướNG DẫN : C1: Dùng quy nạp C2: * Chứng minh: "xẻN , n ³ 2 thì không là số nguyên. HướNG DẫN : Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho 2k Ê n. Chọn mẫu chung 2k A1(A1: là tích các số lẻ không vượt quá n) đ chỉ có 1 thừa số của là số lẻ còn mọi thừa số phụ thuộc khác đều là số chẵn đ AẽZ ( đpcm). * Cho , tính: * Cho Tính A chính xác đến 0,005 Vậy A = 0,095 (Sai kém 0,005). * Viết phân thức thành tổng các phân thức có mẫu là các phân thức bậc nhất. HướNG DẫN : Giả sử: Vì VT là đa thức bậc 2 ị A, B, C ẻ Q. Cách 1: (*) (A+B+C)x2+[2A+B+C].x-2B Cách 2: thay x = 0; -2; 1 vào (*) ta có: Vậy . * Cho a, b, c đôi một khác nhau C/m: là bình phương của một số hữu tỉ. HướNG DẫN : ( đpcm). * Cho x ạ 0; Tính HướNG DẫN : .Với n >1 thì . Với n = 2 đ mà vậy Cách 2: * Cho . Tìm hệ thức giữa a, b, c. HướNG DẫN : Lại có: ()= (x2 + y2) + = Từ đó: (a.b - c).c = a2 + b2 – 4, hay hệ thức phải tìm là : a2 + b2+c2 –a.b.c = 4. * Cho tính . HướNG DẫN : . Nếu a = 0đ M = 0 . Nếu a ạ 0đ M ạ 0 C1: mà Nên C2: Giả thiết Vậy trong mọi trường hợp thì . * Cho a2 + a + 1 = 0 Tính P = a1981 + Hướng dẫn: Giả thiết * Cho : Tính : Hướng dẫn: Giả thiết (Do Thay vào Q và rút gọn được * Cho Chứng minh HướNG DẫN : giả thiết tính được y + 1; y – 1 thay vào VT VP. * Cho x > 0; x2 + chứng minh: x5 +ẻZ. Tính x5 + HướNG DẫN : mà x > 0 đ =3 Lại có: * Cho Tính HướNG DẫN : Cách 1: đ Vì Vì Thay (2), (3) vào (1) ta được Cách 2: Sử dụng * Cho m+n+p =a Tính HướNG DẫN : * Cho Tính HướNG DẫN : Từ giả thiết ta có: Nếu x + y + z + t ạ 0 thì x = y = z = t đ P = 4 Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 * Cho Tính A = u + v + u.v HướNG DẫN : u + v + u.v = (u+1)(v+1) – 1= * Cho a1, a2, a3 ạ 0; Tính (1) hướng dẫn Vì Nên từ (1) Nếu Tương tự đ a1= a2= a3 đ P = (1+1) (1+1)(1+1) = 8. * Cho Tính HướNG DẫN : Đặt b.c = x; c.a = y; a.b = zđ x.y.z ạ 0 Giả thiết đ Nếu x + y+z = 0, áp dụng công thức: (x + y + z)3=x3+ y3+ z3+3(x+y)(y+z)(z+x) đ (x3+ y3+ z3)= 3(x+y)(y+z)(z+x) đ -3.x.y.z =3(x+y)(y+z)(z+x) đ - x.y.z = (x+y)(y+z)(z+x) đ đ đ đ Nếu x = y = z đ đ a = b = c. Khi đó P = (1+1) (1+1)(1+1) = 8 * Cho Tính hướng dẫn: Ta có: đđđ M = 0. * Cho a.b.c.d = 1. Tính: HướNG DẫN : Giả thiếtđ. thay vào đ N = 1. Cách 2: thay a.b.c.d = 1 ta có: ( Có thể thay 1 bởi m). * Cho (I) Tính HướNG DẫN : (I) đ * Cho x.y.z = a. Tính HướNG DẫN : Giả thiết * Cho . Tính HướNG DẫN : Vì * Cho a + b + c = 0. Tính HướNG DẫN : Đặt * Cho Tính HướNG DẫN : Cách 1: GT đ đ C2: Tương tự * Cho abc=1; Chứng minh trong a, b, c có 1 số bằng bình phương của số còn lại. HướNG DẫN : Cách 1: Đặt đ x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 đ đpcm. Cách 2: giả thiếtđ đpcm. * Cho C/M HướNG DẫN : C1: (1) đ (3) đ Nếu: Nếu: Nếu: