Phát triển tư duy lôgíc gắn lý thuyết vào thực tiễn giải toán

Phát triển tư duy lôgíc gắn lý thuyết vào thực tiễn giải toán. Nguyễn Quang Huy – THPT Lý Bôn A. Đặt vấn đề. Trong chương trình hình học 10 đưa vào chương “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng”. Đây là chương mở đầu cho việc Đại số hoá hình học. Nó giúp cho học sinh có thể giải các bài toán hình học dễ dàng hơn, phục vụ tốt hơn cho việc xây dựng và phát triển các bài toán hình học. Đây cũng là chương mở đầu quan trọng vì các phần tiếp theo như “Phương pháp toạ độ trong không gian”, “Hình học afin”... sau này đều được mở rộng một cách tương tự. Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT, thi đại học. Phần lý thuyết rất đơn giản nhưng dạng bài tập thì nhiều, các bài tập có mối quan hệ với những kiến thức hình học trước đây đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgíc, có sự liên hệ giữa lý thuyết và thực tế mới có thể giải được. Trong SGK hình học 10 có đưa vào ba bài: “Phương trình đường thẳng”, “Phương trình đường tròn” và “Phương trình đường elíp” với nội dung đã được giảm tải khá nhiều. Các bài tập thuộc ba bài trên có liên quan với nhau và đa số là những bài toán hình học đã biết giờ được gắn các con số để giải theo cách số hoá. Vấn đề đặt ra là làm sao cho học sinh thấy được mối quan hệ đó để có thể tự giải các dạng bài tập tương tự. Các dạng bài tập tôi đưa ra chủ yếu dựa trên những mối quan hệ hình học đã biết để giải. ở đây tôi chỉ đề cập đến cách giải các bài toán thuộc phần đường thẳng bằng phương pháp toạ độ. Mối liên hệ giữa lý thuyết về đường thẳng trong mặt phẳng và cách giải bằng số hoá. Mục đích là làm sao cho học sinh hiểu rõ các mối liên hệ và các dạng bài toán cơ bản để có thể giải các bài toán khác. B. Nội dung. Trong phần lý thuyết SGK hình học 10 đã nói rõ hai dạng phương trình đường thẳng là: “Phương trình tham số” và “Phương trình tổng quát” và đã nói rõ mối quan hệ giữa các dạng phương trình với véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến. Ngoài các công thức trong SGK, điều học sinh cần nắm đó là: muốn viết phương trình đường thẳng bắt buộc phải biết véctơ chỉ phương hoặc véctơ pháp tuyến của đường thẳng và một điều kiện ràng buộc của đường thẳng (thông thường là đi qua một điểm). Dạng toán 1: Trắc nghiệm. Mục đích: Học sinh nhận biết được véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến của đường thẳng và xác định được dạng phương trình đường thẳng. Biết xác định vị trí tương đối của hai được thẳng, xác định toạ độ giao điểm, tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng. Bài 1: Cho A(-3;2) và B(1;4) a) Toạ độ véc tơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A, B là: A. (4;2) B. (-2;6) C. (-2;4) D. (6;2) b) Toạ độ véctơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A, B là: A. (4;2) B. (-2;6) C. (-2;4) D. (6;2) c) Toạ độ véctơ chỉ phương của đường thẳng song song với AB là: A. (2;1) B. (-1;3) C. (-1;2) D. (3;1) d) Toạ độ véctơ pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với AB là: A. (2;1) B. (-1;3) C. (-1;2) D. (3;2) Bài 2: Cho đường thẳng . a) Toạ độ véc tơ chỉ phương của đường thẳng song song với ∆ là: A. (2;1) B. (-2;1) C. (1;2) D. (-1;2) b) Toạ độ véc tơ pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với ∆ là: A. (2;1) B. (-2;1) C. (1;2) D. (-1;2) Bài 3: Cho đường thẳng . a) Toạ độ véc tơ chỉ phương của đường thẳng song song với ∆ là: A. (2;3) B. (-2;3) C. (3;2) D. (-3;2) b) Toạ độ véc tơ pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với ∆ là: A. (2;3) B. (-2;3) C. (3;2) D. (-3;2) Bài 4: Toạ độ véctơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox là: A. (1;0) B. (0;1) C. (1;1) D. (1;-1) Bài 5: Toạ độ véctơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy là: A. (1;0) B. (0;1) C. (1;1) D. (1;-1) Bài 6: Toạ độ véctơ chỉ phương của đường phân giác góc xOy là: A. (1;0) B. (0;1) C. (1;1) D. (1;-1) Bài 7: Toạ độ véctơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ II và IV là: A. (1;0) B. (0;1) C. (1;1) D. (1;-1) Bài 8: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(2;-1) và B(2;5) là: A. B. C. D. Bài 9: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(3;-1) và B(-6;2) là: A. B. C. D. Bài 10: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm O(0;0) và song song với đường thẳng là: A. B. C. D. Bài 11: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I(-1;2) và vuông góc với đường thẳng là: A. B. C. D. Bài 12: Chọn từ thích hợp từ các từ sau: Song song; Trùng nhau; Cắt nhau nhưng không vuông góc; Vuông góc để điền vào dấu (...) về vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: a) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h) và . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 13: Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng và : A. (2;-6) B. (5;2) C. (5;-2) D. Đáp án khác. Bài 14: Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng và : A. (-3;-3) B. (1;7) C. (1;-3) D. (3;1) Bài 15: Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng và : A. (10;25) B. (-1;7) C. (2;5) D. (5;3) Bài 16: Khoảng cách từ điểm M(1;3) đến đường thẳng là: A. 1 B. C. D. Bài 17: Khoảng cách từ M(2;0) đến đường thẳng là: A. 2 B. C. D. Bài 18: Côsin của góc giữa hai đường thẳng và : A. B. C. D. Bài 19: Côsin của góc giữa hai đường thẳng và : A. B. C. D. Bài 20: Côsin của góc giữa hai đường thẳng và : A. B. C. D. Dạng toán 2: Cơ bản. Mục đích: Học sinh hiểu và viết được phương trình đường thẳng. Biết vận dụng những kiến thức liên quan để giải bài tập. Bài 1: Cho hai điểm A(1;-3) và B(-2;6) a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B. b) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB. Hướng dẫn: - Đường thẳng AB có véctơ véctơ chỉ phương hay véctơ pháp tuyến được xác định như thế nào? Từ đó suy ra phương trình AB. - Đường trung trực của AB có véctơ véctơ chỉ phương hay véctơ pháp tuyến được xác định như thế nào và đi qua điểm nào? Từ đó suy ra phương trình đường trung trực của AB. Bài 2: Cho tam giác ABC biết A(2;5), B(-1;4), C(3;2) a) Viết phương trình các đường cao AH, BH, CH của tam giác ABC. b) Viết phương trình các đường trung tuyến trong tam giác ABC. Hướng dẫn: - Tìm véctơ pháp tuyến của các đường cao. Từ đó suy ra phương trình các đường cao. - Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, AC. Từ đó viết phương trình các đường trung tuyến. Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M(1;2), N(3;-1), P(-4;-2) lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Hướng dẫn: - Các cạnh của tam giác có véctơ chỉ phương hay véctơ pháp tuyến được xác định như thế nào? - Viết phương trình các cạnh của tam giác đi qua trung điểm và có véctơ chỉ phương tương ứng. Bài 4: Cho ba điểm A(5;-1), B(3;7), I(-2;3). Lập phương trình đường thẳng qua I và cách đều hai điểm A, B. Hướng dẫn: - Đường thẳng cách đều hai điểm A, B có tính chất gì? - Căn cứ vào tính chất của đường thẳng cần tìm, hãy chỉ ra véctơ chỉ phương hoặc véctơ pháp tuyến của đường thẳng? Bài 5: Cho đường thẳng . Hãy viết các phương trình đường thẳng song song và cách (d) một khoảng bằng 1? Hướng dẫn: - Xác định dạng của đường thẳng song song với (d)? - Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song? - Dự đoán có bao nhiêu đường thẳng thoả mãn bài toán? - Gắn vào bài tập để viết các đường thẳng cần tìm? Bài 6: Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC biết toạ độ các đỉnh A(-1;2), B(5;7), C(4;-3). Hướng dẫn: - Trực tâm là giao của ba đường nào trong tam giác? - Cần viết mấy phương trình đường cao? - Ngoài ra có thể dùng phương pháp véctơ để tìm toạ độ trực tâm tam giác. Bài 7: Cho điểm M(1;6) và đường thẳng . a) Viết phương trình đường thẳng (d1) đi qua M và song song với (d). b) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua M và vuông góc với (d), xác định toạ độ hình chiếu của M lên đường thẳng (d). Hướng dẫn: - Đường thẳng (d1) song song với (d) có dạng như thế nào? Và đi qua M suy ra phương trình (d1). - Đường thẳng (d2) vuông góc với (d) có dạng như thế nào? Và đi qua M suy ra phương trình (d2). - Toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d) là giao điểm của hai đường thẳng nào? Từ đó suy ra toạ độ hình chiếu của M. Bài 8: Cho đường thẳng và hai điểm M(3;3), N(-5;19). Hạ MK^(d) tại K và gọi P là điểm đối xứng của M qua (d). a) Tìm toạ độ của K và P? b) Tìm điểm A trên (d) sao cho AM+AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó? Hướng dẫn: - Xác định K là giao điểm của hai đường thẳng nào? Từ đó suy ra cách tìm toạ độ điểm K. - Xác định mối quan hệ giữa ba điểm M, K và P? Từ đó suy ra cách tìm toạ độ điểm P. - Có nhận xét gì về vị trí của M và N so với (d)? (Đây là phần ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn). - Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng, so sánh AM+AN và AP+AN. Từ đó nhận xét tổng AP+AN nhỏ nhất khi nào? - Điểm A là giao của hai đường thẳng nào? Suy ra toạ độ điểm A. Bài 9: Cho hai đường thẳng và . Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2) Hướng dẫn: - Những điểm nằm trên đường phân giác có tính chất gì? - Gọi M(x;y) nằm trên đường phân giác thì khoảng cách từ M đến (d1) và (d2) bằng nhau. Từ đó suy ra phương trình đường phân giác phải tìm. Bài 10: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3. Hướng dẫn: - Phương trình đường thẳng qua P có dạng như thế nào (với điều kiện kèm theo)? - áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm Q đến đường thẳng bằng 3. - Giải phương trình hai ẩn bằng cách chọn giá trị cho một ẩn và tìm giá trị của ẩn còn lại (giá trị của hai ẩn phải thoả mãn điều kiện)? - Kết luận phương trình đường thẳng tìm được. Dạng toán 3: Tổng hợp. Mục đích: Học sinh biế tư duy lôgíc, liên hệ kiến thức đã biết để áp dụng giải bài tập. Bài 1: Tam giác ABC biết A(2;-1). Phương trình các đường cao BH và CH lần lượt là: và . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao thứ ba? Hướng dẫn: - Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CH. - Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH. - Tìm toạ độ B, C. Viết phương trình cạnh BC. - Viết phương trình đường cao AH qua A và vuông góc với BC. Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;-1) và phương trình các cạnh AB: và AC: . a) Tìm toạ độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC. b) Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình cạnh BC. Hướng dẫn: - Toạ độ đỉnh A là giao của AB và AC. - Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác để tìm toạ độ điểm M thông qua toạ độ đỉnh A. - Gọi toạ độ đỉnhB, C. Dựa vào mối liên hệ với điểm M và giả thiết để tìm toạ độ B, C. - Viết phương trình cạnh BC khi biết toạ độ B, C. Bài 3: Cho tam giác ABC với đường cao BH:, đường cao CH: và cạnh BC: . Lập phương trình các cạnh AB, AC và đường cao AH của tam giác ABC. Hướng dẫn: - Tìm toạ độ đỉnh B. Viết phương trình cạnh AB vuông góc với CH. - Tìm toạ độ đỉnh C. Viết phương trình cạnh AC vuông góc với BH. - Tìm toạ độ đỉnh A. Viết phương trình đường cao AH vuông góc với BC. Bài 4: Cho tam giác ABC biết đỉnh A(-1;0), hai đường trung tuyến xuất phát từ B và C lần lượt có phương trình: và . a) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Lập phương trình ba cạnh của tam giác ABC. Hướng dẫn: - Toạ độ trọng tâm G là giao của hai đường trung tuyến. - Tương tự bài 2. Tìm toạ độ trung điểm M của BC và từ đó tìm toạ độ B, C. - Viết phương trình ba cạnh của tam giác khi biết ba đỉnh. Bài 5: Cho tam giác ABC biết và . Trực tâm . Viết phương trình cạnh BC và các đường cao trong tam giác. Hướng dẫn: - Tìm toạ đỉnh A và vhiết phương trình đường cao AH. - Viết phương trình đường cao BH qua H và vuông góc với AC. Suy ra toạ độ đỉnh B. - Viết phương trình đường cao CH qua H và vuông góc với AB. Suy ra toạ độ đỉnh C. - Viết phương trình BC khi biết toạ độ B, C. Bài 6: Cho tam giác ABC biết phương trình ba cạnh , , . a) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Viết phương trình đường phân giác trong góc A. Hướng dẫn: - Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C. - Viết phương trình đường trung trực của AB và BC. Giao của hai đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp phải tìm. - Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi AB và AC. - Kiểm tra điều kiện B, C nằm về hai phía của đường phân giác trong góc A ta được phương trình đường phân giác phải tìm. (Dùng bất phương trình bậc nhất hai ẩn) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC biết B(2;2)và hai đường trung tuyến , . Viết phương trình các cạnh của tam giác và đường trung tuyến CP. Bài 2: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là: và . Tính diện tích tam giác. Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(-4;-5) và hai đường cao có phương trình và . Bài 4: Cho đường thẳng và ba điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4). a) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM+BM nhỏ nhất. b) Tìm điểm N thuộc đường thẳng (d) sao cho AN+CN nhỏ nhất. Bài 5: Cho tam giác cân ABC, cạnh BC có phương trình: , cạnh AB có phương trình: . Đường thẳng AC đi qua điểm M(-4;1). Tìm toạ độ đỉnh C. Bài 6: Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là: và . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm của tam giác trùng với gốc toạ độ. Bài 7: Cho tam giác ABC có diện tích , hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng . Tìm toạ độ đỉnh C. Bài 8: Tam giác ABC có phương trình cạnh AB: . Các đường cao qua đỉnh A và B theo thứ tự là: và . Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba. Bài 9: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3), trọng tâm G(4;-2), dường trung trực của AB có phương trình là: . Xác định toạ độ đỉnh B, C và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC? Bài 10: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đường cao qua A và đường phân giác trong góc C lần lượt có phương trình là: và . C. Kết luận. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng đóng một vai trò to lớn trong việc phát triển và làm đơn giản hoá các bài toán hình học. Nó cũng chiếm một phần kiến thức trong các kỳ thi. Mục đích của tôi là giúp cho học sinh có thể thấy được mối liên hệ giữa Đại số và Hình học. Giúp các em biết tư duy uyển chuyển giữa Đại số và Hình học, để các em thấy các bài toán Hình học không còn quá khó khi đã được số hoá. Đây cúng là bước tạo tiền đề để các em có thể học tốt hơn và dễ tiếp cận với “Phương pháp toạ độ trong không gian” trong chương trình Hình học 12 và các môn hình học sau này. Trên đây là một số dạng bài tập mà tôi thấy phù hợp với học sinh khi bắt đầu học bài “Đường thẳng”. Trên cơ sở các bài tập đó các em có thể tự mở rộng các dạng bài tập, phát huy các ý nhỏ trong từng bài. Đó cũng là ý kiến chủ quan của cá nhân, xin nhận được sự góp ý của các thầy, cô để việc dạy học ngày càng đạt chất lượng, hiệu quả cao hơn. Xác nhận của nhà trường