Phương pháp chứng minh

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 1. Các yêu cầu của một chứng minh: Bất kì một chứng minh nào cũng gồm có 3 phần: w Luận đề: Mệnh đề cần chứng minh. w Luận cứ: Các mệnh đề đúng đã biết như tiên đề, định nghĩa, định lí,. w Luận chứng: Các quy tắc kết luận logic. Mỗi một chứng minh phải đạt 3 yêu cầu sau: w Yêu cầu 1: Luận cứ phải chân thực. Những tiền đề dùng trong chứng minh phải đúng đắn. w Yêu cầu 2: Luận chứng phải chặt chẽ. Các phép suy luận dùng trong chứng minh phải là các phép suy luận hợp logic. w Yêu cầu 3: Không được đánh tráo luận đề. Không được thay thế mệnh đề cần chứng minh bằng những mệnh đề không tương đương với nó. Sau đây là một số ví dụ về những sai lầm do vi phạm những yêu cầu cần thiết khi thực hiện một chứng minh: ú Ví dụ 1: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 1) Bài tập 16/trang 12 – SGK lớp 9, tập 1: Chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” sau đây: Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có: Cộng cả hai vế với 2mV, ta có: Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được: Do đó: Từ đó ta có: 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!) Sai lầm trong chứng minh trên đây là do ngộ nhận, đưa vào ứng dụng một mệnh đề sai, đó là: , dẫn đến sai lầm cho rằng: nên có được (!) ú Ví dụ 2: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 2) Chứng minh định lí 4/trang 67 – SGK lớp 9, tập 1: “Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông”. Một cách chứng minh sai: Ta có: Do (2) đúng nên (1) đúng. Vậy định lí đã được chứng minh. Sai lầm trong chứng minh này là sai lầm về luận chứng, suy luận không hợp logic, vi phạm quy tắc Modusponens: (A kéo theo B, A đúng thì B đúng), ở đây lại dùng quy tắc sai: (A kéo theo B, B đúng thì A đúng), đó là một sai lầm rất phổ biến đối với học sinh chúng ta hiện nay; bởi vậy giáo viên phải thường xuyên uốn nắn, sửa sai cho học sinh trong từng tiết dạy. (để cách chứng minh trên trở thành đúng, ta có thể thay dấu bằng dấu hoặc chứng minh như SGK lớp 9, tập 1/trang 67). ú Ví dụ 3: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 3) Giải phương trình: Giải: Phương trình (2) có 2 nghiệm là: Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là: Sai lầm trong bài làm này là người giải đã đưa vào các bước biến đổi không tương đương, do không đặt điều kiện của phương trình. Tức là người giải đã tùy tiện chứng minh phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương với nhau, dẫn đến phương trình đã cho dư nghiệm. Để khắc phục sai sót này, giáo viên tập cho học sinh có thói quen thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình, nhờ đó học sinh sẽ phát hiện ra mình đã quên đặt điều kiện của bài. 3. Phân tích một chứng minh: Để thực hiện tốt một chứng minh thì việc đi phân tích chứng minh đó đóng một vai trò khá quan trọng. Ta có thể hiểu rằng: phân tích một chứng minh là chỉ ra được trong phép chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng những mệnh đề nào, những phép suy luận nào? Thường ta phân tích một chứng minh bằng hai phương pháp: w Phương pháp1: Khai thác triệt để giả thiết bài toán, liệt kê cụ thể các vấn đề cần thiết cho chứng minh. Có thể nắm bắt cách phân tích này bằng sơ đồ bên: ( có A ắt có A1, có A1 ắt có A2, .., có An-1 ắt có An, có An ắt có B tức là có được điều cần phải chứng minh ) w Phương pháp 2: Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán (cách phân tích này rất hay và quan trọng, giúp cho học sinh hiểu được mối quan hệ logic giữa điều cần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận, óc sáng tạo và chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh. Tuy nhiên không phải chứng minh nào cũng dùng phương pháp này được). Sơ đồ bên là sơ đồ của môt phân tích đi lên: ( Muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B1, muốn chứng minh được B1 thì cần phải chứng minh được B2, muốn chứng minh được Bn-1 thì cần phải chứng minh được Bn, muốn chứng minh được Bn thì cần có GT A ) Dựa vào hai cách phân tích trên đây, giáo viên cho học sinh trình bày lại hoàn chỉnh bài toán chứng minh, bằng cách bổ túc những cơ sở, luận cứ và các thuật ngữ thường dùng như: “Ta có”, “Ta lại có”, “Vì”, “Bởi vì”, “Do đó”, “Nên”, “Cho nên”, “Mà”, “Mặt khác”, “Hay”, “Suy ra”, “Tức là”, “Vậy”,. Cùng một chứng minh, nhưng có thể có nhiều cách phân tích khác nhau. Cho nên cứ sau mỗi phân tích giáo viên nhắc học sinh phải tự đặt ra câu hỏi là: có còn cách phân tích nào khác nữa không? Nhờ vậy chúng ta sẽ tìm ra được nhiều cách chứng minh khác nhau, trên cơ sở đó giáo viên chọn lựa ra cách chứng minh phù hợp nhất với thực lực của lớp để giải cho học sinh. ú Ví dụ 1: Khi giải bài tập 22/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2: “Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (M khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA2 = MB.MC”. a) Phân tích theo phương pháp 1: (Khai thác giả thiết bài toán) Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đề, chú ý kết luận của bài: MA2 = MB.MC; rồi có thể lập luận rằng: đây là dạng chứng minh hệ thức tích, nên ta thường dùng phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng (đặc biệt là trường hợp góc góc), hoặc là dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải. Từ đó giáo viên cho học sinh vẽ hình, định hướng cách giải theo lập luận trên. w Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh trên bằng phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng: w Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh đã cho bằng phương pháp dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Qua một số phân tích trên, rõ ràng cách phân tích dựa vào hệ thức: “Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền” là cách làm phù hợp nhất đối với bài toán đã cho. b) Phân tích theo phương pháp 2: (Phân tích đi lên) Cách 1: Cách 3: Cách 2: ú Ví dụ 2 : Phân tích đi lên đối với bài toán: “Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B nằm giữa A và C . Vẽ tam giác đều DAB và tam giác đều EBC sao cho D và E ở về cùng một phía đối với đường thẳng AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DC và AE. Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác đều”. (Trích đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 toàn quốc, năm 1982) Phân tích: ( bài này cũng có thể phân tích bằng nhiều cách khác) 4. Chứng minh trực tiếp: Khi chúng ta thực hiện một chứng minh xuất phát từ một mệnh đề đúng cho trước bằng các phép suy luận hợp logic, để chứng minh tính chất đúng đắn của kết luận, thì ta nói rằng ta đã chứng minh trực tiếp mệnh đề đã cho (đây là chứng minh phổ biến nhất trong chương trình Toán THCS, đa phần giáo viên bộ môn thực hiện thành thạo và hiệu quả phương pháp chứng minh trực tiếp. Chính vì vậy, nội dung SKKN sẽ không đi sâu phương pháp này). ú Ví dụ : Bài tập 39/trang 83 – SGK lớp 9, tập 2: “Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM” Giải: 5. Chứng minh gián tiếp: a) Phương pháp loại dần: (Phương pháp này sử dụng không nhiều trong chương trình Toán THCS) ú Ví dụ 1 : Trong các số sau, số nào khai phương được? (chỉ có một lựa chọn đúng): Giải: Không chọn A vì 64 là số âm nên không thể khai phương được. Không chọn B vì 4000 có số chữ số 0 tận cùng lẻ nên không thể khai phương được. Không chọn D vì 41 là số nguyên tố nên không thể khai phương được. Vậy chọn C chắc chắn đúng. ú Ví dụ 2 : Một trường THCS chọn bốn em học sinh lớp 9 có tên là Trâm, Mai, Hoa, Lan dự thi học sinh giỏi 19/4 tỉnh Bình Thuận. Kết quả có ba em đạt các giải nhất, nhì, ba và một em không đạt giải, khi mọi người ở trường hỏi kết quả các em trả lời như sau: Trâm: em đạt giải nhì hoặc ba. Mai: em đã đạt giải. Hoa: em đạt giải nhất. Lan: em không đạt giải. Biết rằng trong đó có ba bạn nói thật và một bạn nói đùa. Hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, học sinh nào đạt giải nhất và học sinh nào không đạt giải? Giải: Nếu Trâm nói đùa thì cả ba bạn Mai, Hoa, Lan đều nói thật. Như vậy cả Trâm và Hoa đều đạt giải nhất. Điều này vô lí (vì chỉ có một em đạt giải nhất), vậy Trâm đã nói thật. Nếu Mai nói đùa thì cả ba bạn Trâm, Hoa, Lan đều nói thật. Như vậy cả Mai và Lan đều không đạt giải. Điều này vô lí (vì chỉ có một em không đạt giải), vậy Mai đã nói thật. Nếu Lan nói đùa thì cả ba bạn Trâm, Mai, Hoa đều nói thật. Như vậy cả bốn bạn đều đạt giải. Điều này vô lí (vì chỉ có ba em đạt giải), vậy Lan đã nói thật. Do đó ta kết luận được cả Trâm, Mai và Lan đều nói thật, Hoa nói đùa. Có nghĩa là Hoa đạt giải nhì hoặc ba, Trâm đạt giải nhì hoặc ba, Mai đạt giải nhất, còn Lan không đạt giải. b) Phương pháp chứng minh phản chứng: Phương pháp này thường được sử dụng đối với các chứng minh có chứa các từ: “Tồn tại”, “Với mọi”, hoặc sử dụng để chứng minh các định lí đảo, định lí về sự tồn tại và tính duy nhất,... b1) Khái niệm: Một mệnh đề Toán học hoặc là đúng, hoặc là sai mà không thể đồng thời vừa đúng vừa sai. Muốn chứng minh một mệnh đề đúng ta có thể chứng minh nó không sai. Nói cách khác, giả sử mệnh đề đó sai thì sẽ dẫn đến một điều vô lí. Phương pháp chứng minh như vậy được gọi là chứng minh bằng phản chứng (còn được gọi là reductio ad absurdum, tiếng Latinh có nghĩa là: “Thu giảm đến sự vô lí”). b2) Các bước chứng minh bằng phản chứng: Một phép chứng minh bằng phản chứng gồm 3 bước: w Bước giả định: Giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai. w Bước truy nguyên: Xuất phát từ việc giả sử mệnh đề sai ta dẫn đến một điều vô lí (hoặc trái với giả thiết, hoặc là mâu thuẫn với một định lí, tiên đề, một kết luận đã được chứng minh là đúng, hoặc dẫn đến hai mâu thuẫn khác nhau) w Bước kết luận: Điều vô lí nêu trong bước truy nguyên chứng tỏ rằng mệnh đề đã cho không sai, tức là công nhận mệnh đề đã cho đúng. ú Ví dụ 1: Chứng minh là một số vô tỉ. Giải: Giả sử là số hữu tỉ, ta sẽ biểu diễn được: Bình phương 2 vế của (1) ta được: 2b2 = a2 (2) Suy ra: a2 là số chẵn, mà a là số nguyên nên a là số chia hết cho 2 (bất kì số nguyên nào có bình phương là số chẵn thì số đó luôn chia hết cho 2) Ta viết được a = 2c (cz), thay vào (2) ta sẽ có: 2b2 = (2c)2 = 4c2b2 = 2c2 Lập luận tương tự, ta có: Do cả a và b đều chia hết cho 2, nên chưa tối giản. Điều này trái với giả thiết là: tối giản. Vậy là một số vô tỉ. ú Ví dụ 2: Bài tập 20/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2. “Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng”. Giải: Giả sử ba điểm C, B, D không thẳng hàng. Suy ra BC và BD là hai đường thẳng phân biệt. Mà là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên: Như vậy, qua điểm B ta có hai đường thẳng phân biệt BC và BD cùng vuông góc với AB. Điều này trái với tiên đề Ơclit. Do đó BC và BD phải trùng nhau, hay ba điểm C, B, D thẳng hàng. ú Ví dụ 3: Bài tập 30/trang 79 – SGK lớp 9, tập 2. “Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là: (Xem hình vẽ) Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), số đo bằng nửa số đo cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc BAx thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.” Giải: Giả sử cạnh Ax không phải là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A mà là cát tuyến đi qua A, và giả sử nó cắt (O) tại C. Khi đó là góc nội tiếp và . Điều này trái với giả thiết (góc đã cho có số đo bằng ). Vậy cạnh Ax không thể là cát tuyến, mà phải là tia tiếp tuyến ú Ví dụ 4: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các bất đẳng thức: Giải: Giả sử tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời (1), (2), (3). Ta có: Nhân vế theo vế của (4), (5), (6), ta được: Chứng tỏ không tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các bất đẳng thức (1), (2), (3) đã cho. ú Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD, về phía trong của tứ giác, ta dựng những nửa hình tròn có đường kính theo thứ tự là các cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tứ giác ABCD hoàn toàn bị phủ kín. Giải: Giả sử tồn tại một điểm M thuộc miền trong của tứ giác lồi ABCD không bị phủ kín bởi 4 nửa hình tròn đã dựng, như vậy M nằm ngoài cả 4 nửa hình tròn đó. Nên ta có: Điều này vô lí. Vậy tứ giác ABCD hoàn toàn bị phủ kín.