Phương pháp điều kiện càn và đủ giải và biện luận phương trình và hệ phương trình

Lời nói đầu Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh lúng túng khi gặp các bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thoả mãn một tính chất nào đó như: nghiệm duy nhất, nghiệm đúng trên một miền cho trước, hai phương trình tương đươngDo đó tôi đã hướng dẫn học sinh sử dụng một phương pháp rất có hiệu lực để giải dạng toán này là : phương pháp điều kiện cần và đủ. Nội dung của phương pháp thực hiện theo hai bước sau: Bước 1(Điều kiện cần): Giả sử bài toán đã thỏa mãn các tính chất đãn cho( Nghiệm duy nhất). Dựa vào đặc thù của tính chất đó và dạng của phương trình( hệ phương trình ) đã cho mà ta tìm được điều kiện dàng buộc của tham số. Đó chính là điều kiện cần để thoả mãn tính chất của bài toán. Bước 2( Điều kiện đủ): Ta xét xem trong những giá trị của tham số vừa tìm được giá trị nào thỏa mãn tính chất bài toán. Nói chung bước này ta thường chỉ việc xét các bài toán với giá trị tham số cụ thể ( không còn tham số). Kết hợp cả hai bước ta tìm được điều kiện cần và đủ của tham số thoả mãn bài toán. Để minh hoạ cho phương pháp trên, ta xét một số ví dụ sau. Tôi cố gắng phân chia ra một số dạng (điều này chỉ mang tính chất tương đối), với mỗi dạmg tôi dưa ra một số nhận xét, đây chính là nêu ra các giải bài toán dạng tương ứng. Các bài toán minh hoạ Bài 1.Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất Giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có nghiệm x= x0 , dễ thấy (1) cũng có nghiệm x= 1-x0, nên để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện cần là x0= 1-x0 , suy ra x0= . Thay x0= vào (1) ta có m = Vậy điều kiện cần để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là m = Điều kiện đủ: Thay m = vào phương trình (1) ta được: (2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ( dấu bằng xảy ra khi x=) ( dấu bằng cùng xảy ra khi x=) Do đó ta có: dấu bằng xảy ra khi x= Vậy (2) x=, suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=. Tóm lại phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m =. Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : (1) Giải Điều kiện cần: Ta thấy rằng x0 là nghiệm của (1) thì 3- x0 cũng là nghiệm của (1). Vì Vậy điều kiện cần để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x0= 3- x0 x0= Thay vào (1),ta có m =. Điều kiện đủ: Thay m = vào (1) ta có phương trình: áp dụng Bunhiacospki ta có: (2) áp dụng Cauchy ta có : (3) Dấu bằng đồng thời xảy ra ở (2) và (3) tại x= . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=. Tóm lại: điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm duy nhất là m =. Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm ra điều kiện cần ở các ví dụ trên là nêu ra được nhận xét đặc trưng của phương trình đang xét. Các nhận xét cần chú ý đến là tính chẵn lẻ, tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong phương trình. Như ở các ví dụ vừa xét ta thấy biểu thức f(x) dạng : , khi đó f(x) = f(b-a-x).Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó thoả mãn x=b-a-x.Từ đó tìm được điều kiện cần. Bài 3. Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: (1) Giải Điều kiện cần: Ta thấy nếu x0 là một nghiệm của phương trình (1) thì 1-x0 cũng là nghiệm của (1). Do đó, (1) có nghiệm duy nhất thì ta phải có: x0 = 1- x0 suy ra x0 = . Với x0 = , khi đó (1) trở thành: Điều kiện đủ: +với m = 0, là nghiệm duy nhất. + Với m= 1, phương trình này có ít nhất hai nghiệm x= 0 và x =1. + Với m = -1, khi đó: Vậy m= 0, m=1 thì phương trình có nghiệm duy nhất. Bai 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: Giải Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x0,y0) là nghiệm của hệ thì cặp số sau đây cũng là nghiệm của hệ :(y0,x0),(4-x0,4-y0), (4-y0,4-x0). Bởi thế (x0,y0) là nghiệm duy nhất thì y0=x0= 4-x0 y0=x0=2 Thay y0=x0=2 vào hệ ta được m= 4. Điều kiện đủ: Với m = 4 hệ trở thành: Từ hệ suy ra: Theo Bunhiacopski, ta có: Vậy: Suy ra (3) tương đương với dấu bằng ở (6) xảy ra (4) và (5) xảy ra dấu bằngx=y=2 Ta thấy x= y=2 thoả mãn hệ (II) Do đó (II) có nghiệm duy nhất Tóm lại: m=4 hệ có nghiệm duy nhất. Lưu ý: Hệ đối xứng kép dạng: có nghiệm duy nhất Điều kiện cần: Thấy rằng (x0,y0) là nghiệm của hệ thì cặp số sau đây cũng là nghiệm của hệ (y0,x0) (b-a-x0,b-a-y0), (b-a-y0,b-a-x0). Bởi thế (x0,y0) là nghiệm duy nhất thì y0=x0= b-a-x0 y0=x0= Thay vào hệ ta tìm được Điều kiện đủ: Thay vào hệ. Giải hệ ( thường áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh hệ có nghiệm duy nhất). Bài 5. Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất Giải Điều kiện cần: Thấy rằng (x0,y0) là nghiệm của hệ thì cặp số sau đây cũng là nghiệm của hệ: (y0,x0) (4-x0,4-y0), (4-y0,4-x0). Bởi thế (x0,y0) là nghiệm duy nhất thì y0=x0= 4-x0 y0=x0=2. Thay vào hệ ta được: với điều kiện: 2<a< (1) Đặt (2). Ta có hệ: Trừ từng vế ta có: Suy ra (3) thoả mãn (1), (2) Điều kiện đủ: Với a=3, hệ trở thành: Cộng vế theo vế hai phương trình ta có : Theo Bunhiacopski: Cộng theo vế ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi thoả mãn hệ (II) Suy ra hệ có nghiệm duy nhất x=y=2. Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a=3. Bài 6: Tìm a để hệ sau có nghiệm: Giải Ta có (2) (2’) Nhân (2’) với -3 rồi cộng vào bất phương trình (1) ta có: Vậy (I) Điều kiện cần: Từ (3) suy ra Điều kiện đủ: Xét hệ: thay vào hệ (II) ta có: đúng với mọi . Do đó (II) có nghiệm, suy ra (I) có nghiệm. Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi . Lưu ý: Hệ bất phương trình đẳng cấp bậc hai hai ẩn Tìm m để hệ có nghiệm Phương pháp: Làm xuất hiện phương trình hệ quả : Biến đổi (1) Suy ra: Do vậy(1) Điều kiện cần: Từ (2) suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm là: Gọi D là tập nghiệm của hệ (3) với ẩn m. Vậy là điều kiện cần của bài toán. Điều kiện đủ: +Với , ta có suy ra nếu (x0,y0) là nghiệm của hệ Thì (x0,y0) cũng là nghiệm của hệ (2) với . +Giải hệ(4) để chứng tỏ có nghiệm. Bài 7: Tìm a để hệ sau có nghiệm: Giải Điều kiện cần: Phương trình Do đó hệ Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ ta được: Nên hệ Từ (3) suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm là: Điều kiện đủ: Xét hệ: Với mọi ta có: nên kết quả (4) cũng là nghiệm của (III). Vậy là tập giá trị cần tìm. Bài 8 Tìm a để hệ phương trình sau có nghệm duy nhất: Giải Hệ tương đương với hệ: Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) suy ra hệ có nghiệm (-x0, y0) nên để hệ có nghiệm duy nhất thì x0=-x0 x0=0. Thay vào hệ ta được bất phương trình Vì hệ (1),(2) có nghiệm duy nhất suy ra (3) có nghiệm duy nhất Vậy là điều kiện cần để hệ có nghiện duy nhất. Điều kiện đủ: Với thì hệ (1),(2) Cộng vế của (4) và (5) ta được: Như vậy mọi nghiệm của hệ (4)(5) đều là nghiệm của (6). Mặt khác x=0; y= là nghiệm của hệ (4)(5).Suy ra hệ (4)(5) có nghiệm duy nhất: Vậy là điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 9 Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất Giải Điều kiện cần: Ta thấy rằng nếu hệ có nghiệm (x0,y0) thì hệ lại có nghiệm nữa là (y0,x0). Bởi vậy, điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x0=y0.Khi đó hệ trở thành: Ta thấy rằng hệ luôn có một nghiệm x0=y0=0 với . Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0. Nhưng ta thấy phương trình (1) không thể có nghiệm kép bằng 0. Do đó (1) vô nghiệm Điều kiện đủ: Với . Trừ hai vế của các phương trình trong hệ, ta có: Để ý thấy: Nên Suy ra hệ Vậy là điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm duy nhất. Chú ý: Hệ đối xứng hai ẩn x, y có nghiệm (x,y) thì sẽ có nghiệm (y,x) để hệ có nghiệm duy nhất điều kiện cần là x=y. Từ đó tìm được giá trị của tham số. Bài 10 Tìm m để phương trình: nghiệm đúng với mọi Giải Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình (1) nghiệm đúng với , suy ra (1) nghiệm đúng với x=1. Thay x=1 vào (1) ta được Vậy điều kiện cần là Điều kiện đủ: Với Ap bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: (4+x), (6-x), ta có: VP(1) =, VT(1) = Vậy đúng với . Suy ra là các giá trị cần tìm. Lưu ý 1: Với bài toán dạng trên (cô lập được tham số một vế) cách giải trên chỉ mang tính minh hoạ, cách giải sau hay hơn và dễ chấp nhận hơn. Ta có: đặt và vậy . Bài toán trở thành tìm m để Lập bảng biến thiên hàm f(t): t -1/2 0 5 f(t) 6 -24 Từ BBT ta có Lưu ý 2: + Dạng nghiệm đúng với + Dạng có nghiệm + Dạng nghiệm đúng với + Dạng có nghiệm Bài 11. Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với . Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) nghiệm đúng suy ra x= 0 thoả mãn phương trình (1) do đó: (1) Điều kiện đủ: Thay m=3 vào (1) ta được phương trình: luôn đúng . Vậy với m = 3 phương tình nghiệm đúng . Bài 12. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi b. Giải Điều kiện cần: Hệ có nghiệm , ắt hẳn phải có nghiện với b = 0. Khi đó ta có hệ: Điều kiện đủ: +Với a=0, hệ (I) trở thành với ta có (1) nhưng không thỏa mãn (2). Vậy a=0 không thoả mãn. +Với a= 1 hệ (I) trở thành Ta thấy rằng hệ luôn có nghiệm x=y=0 với mọi b, suy ra a= 1 thoả mãn. Vậy a= 1 là giá trị cần tìm. Bài 13. Tìm a, b để phương trình sau nghiệm đúng . (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm suy ra x=0 là nghiệm của (1) Khi đó, (1) Với a=1 thì (1) Vậy a=1 , b=0 là điều kiện cần để phương trình nghiện đúng . Điều kiện đủ: với a=1 , b=0, khi đó (1) trở thành luôn đúng với Kết luận: phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi a=1, b=0. Bài14. Tìm a,b,c để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Giải Điều kiện cần. Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x=x0. Khi đó ta có: suy ra x=a+b-x0 cũng là nghiệm. Vì phương trình có nghiệm duy nhất, ta có: x0= a+b-x0 thay vào (1) ta được: Điều kiện đủ: Với , khi đó phương trình (1) trở thành: +Nếu thì có thể giả sử khi đó vậy phương trình không có nghiệm duy nhất. +Nếu a=b thì vậy (3) có nghiệm duy nhất. Khi đó với a= b suy ra . Vậy tóm lại điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất là a= b và . Bài 15 Tìm m để hai phương tình sau tương đương: Giải Ta có phương trình (1)sinx[2sin6x-(1- m)sin2x +(2m3-2m-1)]=0 Phương trình Điều kiện cần: Ta thấy phương trình (1) luôn có nghiệm , do đó để thì phải thỏa mãn (2), nên Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là: Điều kiện đủ: +Nếu , thì (1) Mặt khác phương trình: Từ (5) và (6) suy ra m=0 thì hai phương trình (1) và (2) tương đương. +Nếu m=1, thì Lại có: (8) Từ (7) và (8) suy ra (1) và (2) không trương đương. Do đó m=1 không thoả mãn. +Nếu m=-1, thì Ta có: với . Vì vậy Còn phương trình : Từ (9) và (10) suy ra m=-1 thoả mãn. Vậy với m=0 và m=-1 thì hai phương trình (1) và (2) tương đương. Bài toán 16 Tìm a, b sao cho mọi nghiệm của phương trình sin(x+y) = a đều là nghiệm của phương trình cos(x+y) = b. Giải Điều kiện cần: Giả sử mọi nghiệm của phương trình sin(x+y) = a cũng là nghiệm của phương trình cos(x+y) = b. Ta thấy, nếu (x0,y0) là nghiệm của phương trình sin(x+y) = a thì cũng là nghiệm của phương trình sin(x+y) = a. Từ đó (x0,y0) và cũng là nghiệm của phương trình cos(x+y) = b, tức là: mà suy ra b = 0. Do đó b = 0 là điều kiện cần. Điều kiện đủ: Với b = 0 thì phương trình: Vậy để mọi nghiệm của sin(x+y)=a cũng là nghiệm của thì Tóm lại : hoặc là điều kiện cần và đủ để thỏa mãn yêu cầu bài toán.