Phương pháp giải toán tổ hợp

Bài tập chương 2 Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. 1.1Trên giá sách có 9 quyển sách tiếng Việt (khác nhau), 5 quyển sách tiếng Hoa (khác nhau) và 16 quyển sách tiếng Anh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách chọn a/ Một quyển sách ? b/ Ba quyển sách với ba thứ tiếng khác nhau ? c/ hai quyển sách tiêng khác nhau ? hướng dân a/theo quy tắc cộng ta có : 9+5+16 b/theo quy tắc nhân ta có : 9*5*16 c/theo quy tắc nhân và quy tac cộng ta có : 9*5+9*16+5*16 Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc. Tính số cách chọn ra một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến, sao cho : a/ Hai người đó là một cặp vợ chồng ? b/ Hai người đó không là vợ chồng ? HD :a/ Có 10 cách chọn người đàn ông và 1 cách chọn người đàn bà là vợ người đàn ông đó . vậy có 10*1 b/ Có 10 cách chọn người đàn ông và 9 cách chọn người đàn bà không là vợ người đàn ông đó , vậy có 10*9 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? Hd từ các số từ 0..9 có 5 số chẵn 0,2,4,6,8 Có 4 cách chọn số hàng chục và có 5 cách chọn số hàng đơn vi vậy có 4*5 cách 1.4 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên a/ Có hai chữ số ? b/ Có hai chữ số khác nhau ? HD : a/ số hàng chục có 6 cách , số hàng đơn vị có 7 vậy có 6*7 cách b/ số hàng chục có 6 cách, số hàng đơn vị có 6 (7-1hàng đơn vị) a1/ có 3 chữ số 6*7*7 b1/ Có 3 chữ số khác nhau 6*6*5 Bài toán quy tắc cộng mở rộng : Lớp 11A có 25 hs giỏi toán và 13 hs giỏi văn 8 hs giỏi toán và văn . hoi trong lớp có bao nhiêu hs ? HD : số hs = 25 +13-8=30hs Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3n Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Tất cả n phần tử đều có mặt Mổi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử 2.1 cho A={1,2,3,4,5} từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau HD:Gọi số có 5 chữ số đó là : a1a2a3a4a5 a1 có 5 cách a2 có 4 cách 3 2 1 Vậy có 5.4.3.2.1 cách hay có P5 cách 2.2 Có  8 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen đánh số theo thứ tự 1,2,3có bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu này thành dãy sao cho 2 quả cầu cùng màu không nằm gần nhau HD:Ta thấy có 2 trường hợp xảy ra các quả cầu trắng ở vị trí lẻ và đen chẵn và ngược lại Vậy có 8! + 8! Cách 2.3 tìm các số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau HD ;ta có số hoán vi của 5 phần tử là P5 = 120 trong đó kể cả hoán vị mà 2 phần tử 1 và 2 đứng cạnh nhau. Với cặp 12 ta có 4 cách sắp và cặp 21 ta có 4 cách với mổi cặp như vậy ta có 3! Cách sắp xếp các cặp còn lai vậy ta có số cách chọn là 120-2.4.3! cách Mở rộng với n chữ số ta có n!-2(n-1)!=(n-2)(n-1)! Cách 2.4 cho A=(0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó số 1 co mặt 3 lần mổi số khác có mặt 1 lần ? HD : đây là dạng toán hoán vị 8 vật có 3 vật giống nhau. Kq=8!/3! Kể cả những số có số 0 đầu tiên.số các số này là hoán vị 7!/3! Vậy số cần tìm là 8!/3 !-7 !/3 ! Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn 3.1 : Cho các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên . Hỏi a. Có bao nhiêu số chẵn b. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1 Giải : a. Gọi số đã cho có dạng :a1a2a3a4 ( a4 là chữ số chẵn) - Tìm số các số dạng trên kể cả a1 = 0 : - a4 có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có =210 cách chọn nên số các số nầy là :630 số - Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 : - a4 có 2 cách chọn , các vị trí còn lại có =30 cách chọn nên số các số nầy là :60 số Vậy số các số chẵn cần tìm là :630 –60 = 570 số b. Gọi số đã cho có dạng :a1a2a3a4 - Tìm số các số dạng trên kể cả a1 = 0 : - Chọn vị trí cho chữ số 1 : có 4 cách , các vị trí còn lại có =210 cách chọn nên số các số nầy là :840 số - Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 : - ai =1 có 3 cách chọn ,a1=0 có 1 cách chọn , các vị trí còn lại có =30 cách chọn nên số các số nầy là :90 số Vậy số các số cần tìm là :840 – 90 = 750 số . 3.2 cho A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9) từ A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mổi số chứa chữ số 5 ? trong các số đó có bao nhiêu số không chia hết chọ 5 ? HD : số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5a6 -số cần tìm có số 5 có 6 cách . mổi bộ số cần tìm cho 5 vị trí còn lại có ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 8 phần tử . vậy có 6.A58 cách.trong những số trên, số chia hết cho 5 khi A6 = 5 tức là có A58 số vậy các số cần tìm không chia hết cho 5 là 6A58 – A58 = 5A58 số Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọ n 4.1 Một tổ có 10n gồm 6 nam và 4 nữ cần lập đoàn đại biểu gồm 5n a/ có bao nhiêu cách lập ? b/có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có 3 nam và 2 nữ / HD : a/ Do không phân biệt số người được chọn nên ta dung tổ hợp chập 5 của 10n nên : C510 b/Tương tự ta có C36.C24 cách 4.2 Có 4 đội bóng hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu để mổi đội gặp nhau 2 lần HD : ta có 2.C24 Bài 4:Cho các chữ số 0, 1 , 2 , 3 . Tạo một số gồm 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 2 lần , các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần . Giải : Gọi số có dạng : a1a2a3a4a5 - Tìm số các số dạng trên kể cả a1 = 0 - Chọn vị trí cho chữ số 1 :=10 , các vị trí còn lại : P3=6 Số các số dạng nầy là : 10.6=60 số -Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 : - Chọn vị trí cho chữ số 1 : =6 , các vị trí còn lại : P2= 2 Số các số dạng nầy là :6.2=12 số Vậy số các số cần tìm là : 60 – 12 = 48 số